ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ
ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ. РАСЧЕТЫ НА ЖЕСТКОСТЬ
Методические указания
для выполнения самостоятельной работы студентов,
обучающихся по дисциплине «Прикладная механика»
по направлению подготовки 35.03.06 «Агроинженерия»,
профиль подготовки
«Электрооборудование и электротехнологии в АПК»
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
УДК 539.3/6
Миронов А.В. Определение перемещений в балках при прямом изгибе. Расчеты на жесткость. Методические указания для выполнения самостоятельной работы студентов, обучающихся по дисциплине «Прикладная механика» по направлению подготовки 35.03.06 «Агроинженерия», профиль подготовки «Электрооборудование и электротехнологии в АПК».
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
кандидат технических наук, доцент каф. «Автомобили, тракторы и технический сервис» СПбГАУ Р.Т. Хакимов;
кандидат технических наук, доцент каф. «Электрообеспечение предприятий и электоротехнологии» СПбГАУ Р.А. Зейнетдинов.
Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по дисциплине «Прикладная механика» по направлению подготовки 35.03.06
«Агроинженерия», профиль «Электрооборудование и электротехнологии в АПК». Они составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине.
Содержание задач, помещенных в методических указаниях, учитывает специфику подготовки студентов по указанному направлению подготовки. Приводятся необходимые сведения и справочная литература для определения линейных и угловых перемещений элементов конструкций.
Рекомендованы к публикации Учебно-методическим советом СПбГАУ, протокол № от 2016 года.
© А.В.Миронов, 2016
© ФГБОУ ВО СПбГАУ, 2016
Содержание
1.Ввдение……………………………………………………… ……….4
2. Перемещения при изгибе. Основные понятия……………….………..5
3. Определение перемещений с использованием интеграла Мора….6
4. Правило Верещагина……………………………………………..…12
5. Определение перемещений с использованием универсальных
уравнений изогнутой оси балки…………………………………….22
6.Задания для выполнения самостоятельной работы…...……… …..26
6.1. Задания для расчета балок на прочность……………….………..26
6.2. Задачи для расчета балок на прочность…………… … ……….27
6.3. Задания для расчета балок на жесткость………..………………..28
7. Основные размеры двутавровых балок………………… …………29
8. Пример расчета консольной балки на прочность………………….30
9. Примеры расчета балок на жесткость………………………………34
9.1. Расчет на жесткость консольной балки……………..……………34
9.2. Расчет на жесткость балки опирающейся на две опоры… ……39
10. Литература…………………………………………………………..44
Введение
Расчеты деталей машин базируются на знании основ сопротивления материалов – науки о прочности и жесткости механических конструкций и методах их расчета. В данной работе рассматриваются методы расчета элементов конструкций на жесткость. Жесткостью называют способность материала или элемента конструкции сопротивляться упругим деформациям. Можно также сказать, что жесткостью конструкции называют её способность воспринимать нагрузку без существенного изменения геометрических размеров.
При проектировании конструкций, расчет деталей на прочность должен обеспечить выбор таких её размеров, при которых упругие перемещения вызванные рабочими нагрузками, будут лежать в допустимых пределах.. Если размеры выходят за указанные пределы, то конструкция либо прекращает нормальное функционирование, либо масса, а значит и стоимость деталей превысит оптимальные значения.
Материал, изложенный в данной работе, способствует формированию у студентов профессиональных компетенций ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4.
2. Перемещения при изгибе. Основные понятия
В ряде случаев работающие на изгиб элементы машиностроительных и строительных конструкций должны быть рассчитаны не только на прочность, но и на жесткость. К деталям, рассчитываемым на жесткость, относятся, в частности, валы зубчатых и червячных передач и многие части металлорежущих станков.
Расчет на жесткость элемента конструкции, имеющего форму бруса, заключается в определении наибольших перемещений его поперечных сечений и сопоставлении их с допускаемыми, зависящими от назначения и условий эксплуатации данного элемента. Например, рассчитывая вал на жесткость при кручении, ограничивают углы поворота поперечных сечений вокруг его продольной оси. Необходимо также помнить, что решение статически неопределимых задач на растяжение (сжатие) связано с составлением уравнений перемещений, т. е., по существу, с определением линейных перемещений поперечных сечений рассчитываемых брусьев.
Расчет на жесткость при изгибе, очевидно, требует предварительного изучения вопроса о перемещениях поперечных сечений балок. Рассмотрим простую консоль, нагруженную на свободном конце силой F, линия действия которой совпадает, с одной из главных осей поперечного сечения балки (рис.1).
При деформации балки центры тяжести ее поперечных сечений получают линейные перемещения, а сами сечения поворачиваются вокруг своих нейтральных осей. Допущение о малости перемещений позволяет считать, что направления линейных перемещений перпендикулярны продольной оси недеформированного бруса. Эти перемещения принято называть прогибами. Прогиб произвольного сечения обозначим v, а наибольший прогиб — стрелу прогиба — f. Геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированного бруса; т. е. ось изогнутого бруса, условно называют изогнутой осью или чаще упругой линией. Эта линия — плоская кривая, лежащая в силовой плоскости. Совпадение плоскости деформации с плоскостью действия нагрузки является характерной особенностью прямого изгиба. Более того, можно сказать, что именно по этой причине рассматриваемый случай изгиба называют прямым.
Рис.1. Линейное и угловое перемещение сечений балки.
При повороте поперечные сечения остаются перпендикулярными изогнутой оси бруса, следовательно, угол поворота поперечного сечения θ равен углу между касательной к упругой линии в данной точке и осью недеформированного бруса.
Таким образом, ордината упругой линии и угол наклона касательной, проведенной к ней в данной точке, полностью определяют линейное и угловое перемещения соответствующего поперечного сечения балки; следовательно, отыскание этих перемещений сводится к исследованию формы упругой линии.
3. Определение перемещений с использованием интеграла Мора
Метод Мора — универсальный способ для определения линейных и угловых перемещений в любых плоских и пространственных системах, состоящих из шарнирно или жестко соединенных прямых или кривых брусьев. Наибольшее применение метод Мора нашел для балок и рам, испытывающих деформацию изгиба, с целью определения линейных и угловых перемещений конкретных сечений.
Порядок определения перемещений. К балке, освобожденной от внешних нагрузок, к сечению, перемещение которого определяется, прикладывается единичная сила, если определяется линейное перемещение, или единичный момент, если определяется угловое перемещение, в направлении искомого перемещения.
Заданная балка с внешними нагрузками и балка с единичной нагрузкой разбиваются на одинаковые участки, и на каждом из них одинаковым образом задается координата произвольного сечения.
Составляются уравнения для изгибающего момента 
по участкам в заданной балке и 
в балке с единичной нагрузкой. Искомое линейное v и угловое перемещение θ определяется с помощью интегралов Мора:
, θ = 
(1)
где, 
– уравнение изгибающего момента от действующих нагрузок на i – товом участке,
- уравнение изгибающего момента от единичной нагрузки (силы или момента) на i – товом участке,
E – модуль продольной упругостиматериала балки,
I – осевой момент инерции сечения балки.
Произведение E I называется жесткостью балки.
Так как жесткость балки представляет собой постоянное число, то его можно вынести за знак интеграла.
, θ = 
(2)
Интегрирование проводится по длине каждого участка, суммирование—по всем участкам.
При применении метода Мора положительное значение искомого перемещения получается в том случае, если его направление совпадает с направлением приложенной единичной силы (единичного момента). Знак минус указывает на то, что искомое перемещение направлено против действия этой единичной силы (единичного момента)
| I I |
| I |
Рис.2 | Используя интеграл Мора определить прогиб и угол поворота крайнего правого сечения С. Изобразить изогнутую ось балки. М = 20 кН·м, Р = 20 кН, q = 30кН /м, Е = 2·105Мпа, = = 2·1011 Па, Jx = 3500 cм4 = = 35·10-6 м4 |
Решение.
1.Определение сил реакций в опорах.
Для определения RА и RВ требуется составить уравнения равновесия. Вначале надо определить равнодействующую равномерно распределенной нагрузки (РРН). На рис.2а она обозначена буквой G и приложена к точке пересечения диагоналей прямоугольника, т.е. в центре участка. Равнодействующая равна произведению интенсивности q надлину участка l1, к которой приложена РРН.
G = q · l1, l1 = 4 м. G = 30·4 = 120 кН.
Составляем уравнения суммы моментов относительно опор А и В.
; – G ·2 + RВ · l – М – Р · а = 0
RВ = 
кН.
; – RA · l + G ·2 – М - Р · а = 0
RА = 
кН.
После определения неизвестных сил реакций надо сделать проверку. В качестве проверки используют уравнение, которое не применялось в расчетах.
; RA – G + RВ – Р = 0
50 – 120 + 90 – 20 = 0
140 – 140 = 0
0 = 0
Если проверка не сойдется, то дальнейшие расчеты проводить нельзя, т.к. они будут неправильными. В таком случае надо пересчитать значения сил реакций.
2.Составление уравнений изгибающих моментов от действующих нагрузок.
Разбиваем балку на участки. Границами участков являются сечения, в которых меняется размер, либо приложена внешняя нагрузка. Силы реакций тоже относятся к внешним нагрузкам. В данном примере имеется два участка. Обозначим их слева направо римскими цифрами. На этих участках надо составить уравнения моментов изгибающих учитывая внешние нагрузки. Для составления уравнений используют метод сечений. В определенном месте участка мысленно проводят вертикальное сечение, которое делит балку на две части. Одну часть балки оставляют, а другую, отбрасывают. Оставляют обычно ту часть балки, на которую действует меньше нагрузок. Взаимодействие частей друг на друга заменят внутренними силовыми факторами. При изгибе ими являются поперечная сила Q и момент изгибающий 
и.
Уравнение момента изгибающего представляет собой уравнение суммы моментов от нагрузок, действующих на оставшуюся часть, относительно точки пересечения сечения с балкой.
| I |
– й участок. Расстояние от левого края балки до сечения обозначим х 1.
0 
х 1 
l = 4 Уравнение Ми имеет вид:
Ми1 =
| I I |
= 50 х 1 – 30 
= 50 х 1 – 15 х12
-– й участок. На втором участке удобнее оставить правую часть балки, т.к. на неё действует только одна нагрузка – сила Р.
0 х 2 а = 1 Уравнение Ми на втором участке имеет вид:
Ми2 = – Р · х 2 = – 20 х 2
3.Составление уравнений изгибающих моментов от единичной силы.
К точке, в которой надо определить перемещение надо приложить единичную силу(рис.2б). Эта сила равна единице и не имеет размерности. Для составления уравнений Ми на двух имеющихся участках, требуется определить силы реакций в опорах.
RB ' · 4 – 1· 5 = 0 RB ' = 
– RA ' · l – 1· а = 0 RA ' = 
Проверка. – RA ' + RB ' – 1 = 0
Уравнения Ми на участках при действии на точку С единичной силы.
| I |
х 1 l = 4 Ми1 = – RA ' · х 1 = 
I I – й участок. 0 х 2 а = 1 Ми2 = – 1 · х 2 = – х 2
4.Определение прогиба балки в точке С как суммы интегралов.
Вычисление 1– го интеграла. l = 4 м.
кН · м3 = – 26,6 · 103 Н · м3
Вычисление 2– го интеграла. а = 1м.
кН·м3 = 6,66 ·103 Н · м3
Прогиб балки в точке С. E Ix = 2 · 103 · 35 · 10-6 = 70 · 105 н · м2.
(– 26,6 · 103+ 6,66 ·103) = 
= – 0,00285 м = –2,85 мм.
Перемещение получилось с отрицательным знаком. Это говорит о том, что его надо откладывать в сторону, противоположную направлению единичной силы, т.е. вверх.
5.Определение угла поворота сечения балки в точке С.
При определении углового перемещения к рассматриваемому сечению прикладывают единичный момент (рис.2в). Он равен единице и не имеет размерности. Данный момент направляют в сторону предполагаемого поворота сечения. Определяем силы реакций в опорах.
RA " 
RA " 
.
RB " RB " = 
.
Проверка. 
RA " 
RB " 
M =0;
5 5 =0.
Составление уравнения Ми.
| I |
х 1 l = 4; Ми1 = RA " · х 1 = 
.
| I I |
х 2 а = 1; Ми2 = – 1.
Угловое перемещение сечения С.
Θс = 
.
Вычисление 1– го интеграла. l = 4 м.
=
= –12,5 
= –26,66 кН·м2 = –26,66 ·103 Н·м2.
Вычисление 2– го интеграла. а = 1 м.
=20 · 
=10 кН·м2 =10·103 Н·м2
Угловое перемещение сечения С.
Θс = 
=
= 
0,13 
Знак минус у полученного углового перемещения говорит о том, что сечение С поворачивается в сторону, противоположную направлению единичного момента.
Правило Верещагина
Вычисление перемещений по формуле Мора существенно упрощается, если одна из эпюр прямолинейна, а жесткость балки постоянна. Тогда при определении перемещений интеграл Мора вычисляют графоаналитически по правилу А. Н. Верещагина, предложенному им в 1925 г.
Основное преимущество этого правила состоит в том, что при его помощи можно обойтись без составления уравнения моментов и без интегрирования их произведений. Эти трудоемкие операции заменяются простейшими геометрическими вычислениями, заключающимися в «перемножении эпюр» изгибающих моментов от действительной и единичной нагрузок.
Уравнения изгибающих моментов 
и 
, входящие в формулу интеграла Мора, – это некоторые функции от х: = f1 (x), = f2 (x), а графики этих функций – эпюры 
и , (рис. 3).
Подынтегральное выражение формулы (2) можно представить в виде:
dx. (3)
f1(x)
|
|
| у |
|
|
|
|
| x |
| ц.т.
|
|
|
|
| x |
| dx |
| у |
| f2(x)
|
| у с=k xc+b |
| l |
| xc |
|
| x |
Рис. 3. Графики функций f1(x) и f2(x)
Предположим, что на участке длиной l функция f1(x) изменяется по произвольному, а функция f2(x) – по линейному закону.
Используя аналитическую запись линейного закона f2(x) = k x + b, выражение (3) представим в виде:
dx = 
f1(x) dx = k 
f1(x) dx + b 
Произведение f1(x)dx = d представляет собой площадь элементарной
криволинейной трапеции, заштрихованной на рис. 3.
Значит, первый интеграл – статический момент площади относительно оси у и равен произведению площади на координату её центра тяжести ус. Второй интеграл выражает собой площадь эпюры 
= 
Таким образом, 
k x + b) = 
,
где k x + b – ордината ус эпюры под центром тяжести .
Следует помнить, что ордината ус берется только из прямолинейной эпюры. Окончательно формула для определения перемещений принимает вид: 
.
Перемещение 
в пределах рассматриваемого участка положительно, если площадь и соответствующая ордината ус расположены по одну сторону от оси данного участка, и отрицательно, если они расположены по разные стороны.
По правилу Верещагина нельзя определить перемещение, если обе эпюры, 
и , криволинейные или жесткость элемента на рассматриваемом участке переменна. При сложном очертании эпюры или их делят на простые эпюры, площади и положение центра тяжести которых известны.
Для вычисления перемещений по правилу Верещагина надо выполнить следующие действия:
1) построить эпюру от реально приложенной нагрузки. Эту эпюру называют грузовой.
2) приложить единичный силовой фактор (силу или момент) в точке, где необходимо определить перемещение поперечного сечения.
3) построить эпюру изгибающих моментов от единичного силового фактора.
4) перемножить площадь грузовой эпюры на ординату взятую с эпюры от единичного силового фактора под центром тяжести (ц.т.) площади грузовой эпюры.
5) Полученное произведение разделить на жесткость поперечного сечения балки EI.
Пример 4.1.
Определить прогиб в т. К и А балки нагруженной силой Р.
| Р |
| l |
| у |
| х |
| х |
| В |
| А |
| К |
| l / 2 |
| а) |
|
|
3 vwEPiFzZ2TiAjbIO7qp+65Hs8/cO9LqTBZeu2uZxyNbg3ObX3H1j6cP4Nc7w2z/B4icAAAD//wMA UEsDBBQABgAIAAAAIQAzEZyJ3wAAAAsBAAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI9BTsMwEEX3SNzB GiQ2EbWTllJCJhVCgg2LQuEAbmycCHucxm4Sbo8RC1jOzNOf96vt7Cwb9RA6Twj5QgDT1HjVkUF4 f3u82gALUZKS1pNG+NIBtvX5WSVL5Sd61eM+GpZCKJQSoY2xLzkPTaudDAvfa0q3Dz84GdM4GK4G OaVwZ3khxJo72VH60MpeP7S6+dyfHIIwWZ4tn3bH6ficv9is4b03I+LlxXx/ByzqOf7B8KOf1KFO Tgd/IhWYRViL61VCEYpbUQBLxO/mgLBcbW6A1xX/36H+BgAA//8DAFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2 gziS/gAAAOEBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAG AAgAAAAhADj9If/WAAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAG AAgAAAAhAKG+JDsaAgAAUQQAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0A FAAGAAgAAAAhADMRnInfAAAACwEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAdAQAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBL BQYAAAAABAAEAPMAAACABQAAAAA= " strokecolor="black [3213]" strokeweight="1.25pt">
| – |
| – |
| Р |
| К |
| К |
| В |
| В |
| ЭМи от Р |
| ЭМи от 1 |
| С |
| -Р · l |
| б) |
| D |
| E |
|
| в) |
| -l |
|
Рис. 4.Схема балки и эпюры Ми для определения перемещения т. К
| I |
.. Определение перемещения т. К.
Балка имеет один участок. Для составления уравнения Ми надо воспользоваться методом сечений. 0 
х 
l
1.Построение эпюры Ми от действующей нагрузки. Эта эпюра называется грузовой.
Уравнение Ми. Ми = – Р · х, при х = 0 Ми = 0, при х = l Ми = – Р · l
2.К точке К прикладывается единичная сила. Максимальный изгибающий момент возникает в заделке. Ми = – 1· l = – l. Под грузовой эпюрой строят эпюру от единичной силы.
3.Определение площади грузовой эпюры и положения её центра тяжести относительно левого края балки (см. рис.4 б).
l · (– Р · l) = – 
. хc = 
4.Вычисление ординаты на эпюре Ми от единичной силы, взятой под центром тяжести грузовой эпюры.
.
5.Определение прогиба в точке К.
к = 
.
Положительный знак перемещения точки К означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы.
Если эпюра заданных сил линейная, то операция перемножения обладает свойством коммутативности. В этом случае безразлично, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или площадь второй эпюры на ординату первой.
Использование свойства коммутативности при расчете перемещения т. К.
1.Определение площади второй эпюры
.
2.Из подобия треугольников на грузовой эпюре можно составить соотношение:
, DE = 
.
3.Произведение площади второй эпюры на ординату DE первой эпюры:
DE = 
.
4. Перемещение т. К с учетом жесткости:
к = 
.
I I. Определение перемещения т. А.
а) умножением площади грузовой эпюры на ординату, взятую с эпюры единичной силы.
| у |
| Р |
| l |
| l / 2 |
| х |
3 bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAA/AUAAAAA " fillcolor="white [3201]" stroked="f" strokeweight=".5pt">
| х |
| В |
| А |
| К |
| а) |
|
| h |
| Р |
| К |
| К |
| В |
| ЭМи от 1 |
| – |
| ЭМи от Р |
| С тр |
| -Р · l |
|
| б) |
| a |
 |
|
| В |
| D |
| А |
| х |
– 
|
| С 1 |
| в) |
| E |
|
Рис. 5.Схема балки и эпюры Ми для определения перемещения т. А
1. Строим грузовую эпюру от действия силы Р.
2. К т. А прикладываем единичную силу и строим эпюру Ми (рис. 5. в.)
0 х l / 2. Ми = – 1 · х = – х. При х = 0 Ми = 0. При х = 
Ми = 
.
3. Грузовая эпюра над эпюрой от единичной силы имеет форму трапеции. Площадь трапеции определяют по формуле:
· h, где а, b и h – стороны трапеции.
Для определения стороны b, составим соотношениеиз подобия треугольников.
, отсюда b = 
= 
.
· = 
= 
Площадь трапеции имеет знак минус, так как грузовая эпюра отрицательная.
4. Расстояние ХС тр, от основания трапеции а до центра тяжести можно определить используя выражение:
ХС тр = 
.
5. Для определения ординаты DE на эпюре от единичной силы под центром тяжести трапеции вычисляем расстояние АD.
АD = 
. DE = АD = 
.
Знак минус у ординаты DE появился потому, что она находится ниже нулевой линии эпюры.
6. Произведение 
на DE: 
· 
7. Перемещение т. А с учетом жесткости EI: А = 
В данном примере перемещение А получилось с положительным знаком, значит прогиб балки происходит в направлении единичной силы.
Сравним перемещения точек А и К составив соотношение:
3,2.
Перемещение точки А в 3,2 раза меньше перемещения точки К.
б) определение перемещения точки А перемножением площади эпюры Ми от единичной силы на ординату взятую с грузовой эпюры.
1. Площадь эпюры от единичной силы (Рис.5 в):
Координата центра тяжести этой эпюры: ХС 1 = 
.
2. Ординату УС1 на грузовой эпюре над С1 можно определить из соотношения сторон треугольников: 
, отсюда: УС1 = 
3. На участке АК площадь эпюры Ми от единичной силы равен нулю, поэтому результат перемножения эпюр будет равен нулю. Перемножаются эпюры только на участке АВ. А = 
.
Пример 4. 2.
Для балки представленной на рисунке 6 требуется определить прогиб в точке С и углы поворота опорных сечений. Принять: l = 5 м, q = 800 Н/м,
I = 166 см4, Е = 2 
105 Н/мм2, АС = l/2.
Решение.
1.Определяем реакции опор, используя уравнения равновесия.
, 
, 
.
, 
, 
.
Проверка.
= 0, 
, 
, 0 = 0.
2. Строим эпюру изгибающих моментов. Весь пролет представляет собой один участок (Рис.6а). 0 х l.
| Ми = RA  x  q 
x = 0, Ми = 0
x = l, Ми = 0
x =  , Ми =  .
3. К заданной балке, к точке определения прогиба прикладываем единичную силу и строим эпюру Ми
(Рис.1б). Единичная эпюра состоит из двух одинаковых линейных участков. Грузовую эпюру разбиваем на две одинаковые части. Площадь и положение центра тяжести каждой из этих частей даны в справочной таблице. В данном случае достаточно выполнить перемножение эпюр для одного участка и результат удвоить.
|
Рис.6.Схема балки и эпюры Ми для определения
линейных и угловых перемещений
Если площадь всей грузовой эпюры равна 
h 
, то площадь её половины составит 
.
Ординату EF под центром тяжести грузовой эпюры можно вычислить из соотношения сторон треугольников единичной эпюры: 
= 
Максимальный момент изгибающий от единичной силы равный отрезку CD получается в из уравнения Ми,при x = : Ми = RA ' 
.
Из соотношения сторон треугольников:
EF = 
.
Произведение 
= 
.
Удвоенное произведение данного значения: 
.
Прогиб (перемещение) балки в точке С: C = 
.
Прежде чем подставить числовые данные, надо привести их к соответствующим размерностям: l = 5м = 5000мм, q = 800Н/м = 0,8Н/мм,
I = 166см4 = 166 
104 мм4.
Жесткость материала балки: EI = 2 105 166 104 = 332 109 
мм4 (Н мм2)
C = 
19,6 мм.
4. Угол поворота балки в сечении А.
Прикладываем единичный момент в т. А (Рис.6 в) и определяем силы реакций в опорах. 
, 
RA " l = 0, RA " =
