Преобразуем формулу 
, (1)
выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, воспользовавшись выражением для емкости плоского конденсатора и разности потенциалов между его обкладками. Тогда
Sd= 
(2)
Где V=Sd – объем конденсатора.
Формула (2) показывает, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, — напряженность Е.
Формулы (1) и (2) соответственно связывают энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и с напряженностью поля. Возникает, естественно, вопрос о локализации энергии и что является ее носителем — заряды или поле? Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Электростатика изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, т. е. в ней поля и обусловившие их заряды неотделимы друг от друга, поэтому электростатика ответить на поставленные вопросы не может. Дальнейшее развитие теории эксперимента показало, что переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать обособленно, независимо от возбудивших их зарядов, и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн, способных переносить энергию. Это убедительно подтверждает основное положение теории близкодействия: энергия локализована в поле и носителем энергии является поле.
2.5. В электродинамике — разделе учения об электричестве, в котором рассматриваются явления и процессы, обусловленные движением электрических зарядов или макроскопических за ряженных тел, — важнейшим понятием является понятие электрического тока.
Электрическим током называется любое упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов. В проводнике под действием приложенного электрического поля Ё свободные электрические заряды перемещаются: положительные — по полю, отрицательные — против поля, т.е. в проводнике возникает электрический ток, называемый током проводимости. Если же упорядоченное движение электрических зарядов осуществляется перемещением в пространстве заряженного макроскопического тела, то возникает так называемый конвекционный ток.
Для возникновения и существования электрического тока необходимо, с одной стороны, наличие свободных носителей тока — заряженных частиц, способных перемещаться упорядочение, а с другой — наличие электрического поля, энергия которого, каким-то образом восполняясь, расходовалась бы на их упорядоченное движение. За направление тока условно принимают направление движения положительных зарядов.
Силы неэлектростатического происхождения, действующие на заряды со стороны источников тока, называются сторонними. Природа сторонних сил может быть различной. Например, в гальванических элементах они возникают за счет энергии химических реакций между электродами и электролитами; в генераторе — за счет механической энергии вращения ротора генератора и т. п. Роль источника тока в электрической цепи, образно говоря, такая же, как роль насоса, который необходим для перекачивания жидкости в гидравлической системе. Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические заряды движутся внутри источника тока против сил электростатического поля, благодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепи течет постоянный электрический ток. Сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов. Физическая величина, определяемая работой, совершаемой сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС), действующей в цепи:
Эта работа производится за счет энергии, затрачиваемой в источнике тока, поэтому величину 
можно также называть электродвижущей силой источника тока, включенного в цепь. Часто, вместо того чтобы сказать: «в цепи действуют сторонние силы», говорят: «в цепи действует ЭДС», т.е. термин «электродвижущая сила» употребляется как характеристика сторонних сил. ЭДС, как и потенциал, выражается в вольтах.
Сторонняя сила 
, действующая на заряд 
, может быть выражена как
где 
— напряженность поля сторонних сил.
Работа сторонних сил по перемещению заряда на замкнутом участке цепи:
= 
(1)
Разделив (1) на , получим выражение для ЭДС, действующей в цепи:
т.е. ЭДС, действующая в замкнутой цепи, может быть определена как циркуляция вектора напряженности поля сторонних сил. ЭДС, действующая на участке 1 — 2, равна
(2)
На заряд помимо сторонних сил действуют также силы электростатического поля 
. Таким образом, результирующая сила, действующая в цепи на заряд равна
Работа, совершаемая результирующей силой над зарядом QQ на участке 1 — 2, равна
Используя выражение (2), можем записать
(3)
Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю, поэтому в данном случае
Напряжением U на участке 1 — 2 называется физическая величина, определяемая работой, совершаемой суммарным полем электростатических (кулоновских) и сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда на данном участке цепи. Таким образом, согласно (3),
Понятие напряжения является обобщением понятия разности потенциалов: напряжение на концах участка цепи равно разности потенциалов в том случае, если на этом участке не действует ЭДС, т. е. сторонние силы отсутствуют
Количественной мерой электрического тока служит сила тока I — скалярная физическая величина, определяемая электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени:
Если сила тока и его направление не изменяются со временем, то такой ток называется постоянным. Для постоянного тока
где Q — электрический заряд, проходящий за время t через поперечное сечение проводника. Единица силы тока —ампер (А)
Физическая величина, определяемая силой тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока, называется плотнос-тью тока:
i= 
Выразим силу и плотность тока через скорость 
упорядоченного движения зарядов в проводнике. Если концентрация носителей тока равна п и каждый носитель имеет элементарный
заряд е (что не обязательно для ионов), то за время dt через поперечное сечение S проводника переносится заряд dQ=ne(𝝊)Sdt Сила тока
а плотность тока j — ne(v).
Плотность тока — вектор; направление вектора j совпадает с направлени-
ем упорядоченного движения положительных зарядов:
Единица плотности тока — ампер на метр в квадрате (А/ 
).
Сила тока сквозь произвольную поверхность S определяется как поток вектора j, т.е.
где dS = ndS (n — единичный вектор нормали к площадке d5, составляющей с вектором j угол а).
2.6. Немецкий физик Г. Ом (1787 —1854) экспериментально установил, что сила
тока I, текущего по однородному металлическому проводнику (т.е. проводнику, в котором не действуют сторонние силы), пропорциональна напряжению U на концах проводника
(1)
где R — электрическое сопротивление проводника.
Уравнение (1) выражает закон Ома для участка цепи (не содержащего источника тока): сила тока в проводнике прямо пропорциональна приложенному напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению проводника. Формула (1) позволяет установить единицу сопротивления ом (Ом): 1 Ом — сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет постоянный ток 1 А. Величина
называется электрической проводимостью проводника. Единица проводимости — сименс (См): 1 См — проводимость участка электрической цепи сопротивлением 1 Ом. Сопротивление проводников зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого проводник изготовлен. Для однородного линейного проводника сопротивление R прямо пропорционально его длине I и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S
(2)
где 𝞀 — коэффициент пропорциональности, характеризующий материал проводника и называемый удельным электрическим сопротивлением.
Единица удельного электрического сопротивления — ом-метр (Ом*м). Наименьшим удельным сопротивлением обладают серебро (1,6 • 10"8 Ом • м) и медь (1,7-10~8 Ом • м). На практике наряду с медными применяются алюминиевые провода. Хотя алюминий и имеет большее, чем медь, удельное сопротивление (2,6 • 1СГ8 Ом • м), но зато обладает меньшей плотностью по сравнению с медью.
Закон Ома можно представить в дифференциальной форме. Подставив выражение для сопротивления (2) в закон Ома (1), получим
(3)
где величина, обратная удельному сопротивлению
называется удельной электрической проводимостью вещества проводника. Ее единица — сименс на метр (См/м). Учитывая, что 
= Е — напряженность электрического поля в проводнике, 
= j — плотность тока, формулу (3) можно записать в виде
(4)
Так как в изотропном проводникt носители тока в каждой точке движутся в направлении вектора Ё, то направления j и Е совпадают. Поэтому формулу (4) можно записать в виде
(5)
Выражение (5) — закон Ома в дифференциальной форме, связывающий плотность тока в любой точке внутри проводника с напряженностью электрического поля в этой же точке. Это соотношение справедливо и для переменных полей.
Опыт показывает, что в первом приближении изменение удельного сопротивления, а значит и сопротивления с температурой описывается линейным законом:
(1+αt)
где 𝞀 и 
, R и 
— соответственно удельные сопротивления и сопротивления проводника при t и О °С; а — температурный коэффициент сопротивления, для чистых металлов (при не очень низких температурах) близкий к 1/273 
. Следовательно, температурная зависимость сопротивления может быть представлена в виде
где Т— термодинамическая температура.
При низких температурах наблюдается отступление от этой зависимости.
Выделим в проводнике элементарный цилиндрический объем dV с образующими, dl параллельными вектору плотности тока 
в данной точке. Через поперечное сечение dS цилиндра течет ток силой . Напряжение, приложенное к цилиндру, равно 
, где Е - напряженность поля в данном месте. Сопротивление цилиндра 
. Подставив эти значения в уравнение, получим
Впоследствии было обнаружено, что сопротивление многих металлов (например, Al, Pb, Zn и др.) и их сплавов при очень низких температурах 
(0,14 — 20 К), называемых критическими, характерных для каждого вещества, скачкообразно уменьшается до нуля, т.е. металл становится абсолютным проводником. Впервые это явление, названное сверхпроводимостью, обнаружено в 1911 г. Г. Камерлинг-Оннесом для ртути.
Явление сверхпроводимости объясняется на основе квантовой теории. Практическое использование сверхпроводящих материалов (в обмотках сверхпроводящих магнитов, в системах памяти ЭВМ и др.) затруднено из-за их низких критических температур. В настоящее время обнаружены и активно исследуются керамические материалы, обладающие сверхпроводимостью при температуре выше 140 К.
На зависимости электрического сопротивления металлов от температуры основано действие термометров сопротивления, которые позволяют по градуированной взаимосвязи сопротивления от температуры измерять температуру с точностью до 0,001 К. Термометры сопротивления, в которых в качестве рабочего вещества используются полупроводники, изготовленные по специальной технологии, называются термисторами. Они позволяют измерять температуру с точностью до миллионных долей кельвин.
Носителями тока в металлах являются свободные электроны, т.е. электроны слабо связанные с ионами кристаллической решетки металла. Наличие свободных электронов объясняется тем, что при образовании кристаллической решетки металла при сближении изолированных атомов валентные электроны, слабо связанные с атомными ядрами, отрываются от атома металла, становятся "свободными", обобществленными, принадлежащими не отдельному атому, а всему веществу, и могут перемещаться по всему объему. В классической электронной теории эти электроны рассматриваются как электронный газ, обладающий свойствами одноатомного идеального газа.
Электроны проводимости в отсутствии электрического поля внутри металла хаотически двигаются и сталкиваются с ионами кристаллической решетки металла. Тепловое движение электронов, являясь хаотическим, не может, привести к возникновению тока. Средняя скорость теплового движения электронов
при T=300K
Электрический ток в металле возникает под действием внешнего электрического поля, которое вызывает упорядоченное движение электронов. Выразим силу и плотность тока через скорость 𝓿 упорядоченного движения электронов в проводнике. За время dt через поперечное сечение S проводника пройдет N электронов
dt
→ 
→ 
следовательно, даже при очень больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения электронов 
, обуславливавшего электрический ток, значительно меньше их скорости теплового движения 
.
1. Электрический ток в цепи устанавливается за время 
, где L длина цепи, 
- скорость света в вакууме. Электрический ток возникает в цепи практически одновременно с ее замыканием.
2. Средняя длина свободного пробега электронов λ по порядку величины должна быть равна периоду кристаллической решетки металла λ ≅ 
3. С ростов температуры увеличивается амплитуда колебаний ионов кристаллической решетки и электрон чаше сталкивается с колеблющимися ионами, поэтому его длина свободного пробега уменьшается, а сопротивление металла растет,
Рассмотрим однородный проводник, к концам которого приложено напряжение U. За время dt через сечение проводника переносится заряд 
. При этом силы электростатического поля и сторонние силы совершают работу.
(1)
Если сопротивление проводника R, то, используя закон Ома, получим, что работа тока
(2)
Из (1) и (2) следует, что мощность тока
(3)
Если сила тока выражается в амперах, напряжение — в вольтах, сопротивление — в омах, то работа тока выражается в джоулях, а мощность в ваттах. На практике применяются также внесис-темные единицы работы тока: ватт-час (Вт • ч), киловатт-час (кВт • ч); 1 Вт • ч —работа тока мощностью 1 Вт в течение 1 ч; 1 Вт • ч = 3600 Вт • с = 3,6 • 
Дж; 1 кВт • ч = ; Вт • ч = 3,6 • 
Дж.
Если ток проходит по неподвижному металлическому проводнику, то вся работа идет на его нагревание и, по закону сохранения энергии,
(4)
Таким образом, используя выражения (4), (1) и (2), получим
(5)
Выражение (5) представляет собой закон Джоуля —Ленца, экспериментально установленный независимо друг от друга Дж. Джоулем и Э. X. Ленцем
Выделим в проводнике элементарный цилиндрический объем 
(ось цилиндра совпадает с направлением тока), сопротивление которого 
. По закону Джоуля-Ленса время dt в этом объеме выделится теплота
Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема, называется удельной тепловой мощностью тока. Она равна
(6)
Используя дифференциальную форму закона Ома (
) и соотношение 
, получим
(7)
Формулы (6) и (7) являются обобщенным выражением закона Джоуля —Ленца в дифференциальной форме, пригодным для любого проводника.
Тепловое действие тока находит широкое применение в технике, которое началось с открытия в 1873 г. Русским инженером А.Н.Лодыгиным (1847 —1923) лампы накаливания.
На нагревании проводников электрическим током основано действие электрических муфельных печей, электрической дуги [открыта русским инженером В. В. Петровым (1761 —1834)],контактной электросварки, бытовых электронагревательных приборов и т. д.
2.8. Действие движущихся зарядов (электрических токов) друг на друга отличается от кулоновского взаимодействия неподвижных зарядов. Взаимодействие движущихся зарядов называется магнитным.
Примеры проявления магнитного взаимодействия:
· притяжение или отталкивание двух параллельных проводников с током;
· магнетизм некоторых веществ, например, магнитный железняк, из которых изготавливаются постоянные магниты; поворот легкой стрелки, сделанной из магнитного материала, вблизи проводника с током;
· вращение рамки с током в магнитном поле.
Магнитное взаимодействие осуществляется посредством магнитного поля.
Подобно тому как в пространстве, окружающем электрические заряды, возникает электростатическое поле, так и в пространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возника-ет силовое поле, называемое магнитным. Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому действию на внесенные в него проводники с током или постоянные магниты. Название «магнитное поле» связывают с ориентацией магнитной стрелки под действием поля, создаваемого током [это явление впервые обнаружено датским физиком X. Эрстедом (1777— 1851)].
Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся в нем электрические заряды. Важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на дви- жущиеся в нем электрические заряды. Опыт показывает, что характер воздействия магнитного поля на ток различен в зависимости от формы проводника, по которому течет ток, от расположения проводника и от направления тока. Следовательно, чтобы охарактеризовать магнитное поле, надо рассмотреть его действие на определенный ток.
Подобно тому как при изучении электростатического поля использовались точечные заряды, при исследовании магнитного поля пользуются замкнутым плоским контуром с током (рамка с током), линейные размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле. Ориентация контура в пространстве определяется направлением нормали к контуру. Направление нормали задается правилом правого винта: за положительное направление нормали принимается направление поступательного движения винта, головка которого вращается в направлении тока, текущего в рамке (рис. 162).
(рис. 162)
Опыты показывают, что магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие, поворачивая ее определенным образом. Этот результат используется для выбора направления магнитного поля. За направление магнитного поля в данной точке принимается направление, вдоль которого располагается положительная нормаль к рамке.
За направление магнитного поля может быть также принято направление, совпадающее с направлением силы, которая действует на северный полюс магнитной стрелки, помещенной в данную точку. Так как оба полюса магнитной стрелки лежат в близких точках поля, то силы, действующие на оба полюса, равны друг другу. Следовательно, на магнитную стрелку действует пара сил, поворачивающая ее так, чтобы ось стрелки, соединяющая южный полюс с северным, совпадала с направлением поля.
Рамкой с током можно воспользоваться также и для количественного описания магнитного поля. Так как рамка с током испытывает ориентирующее действие поля, то на нее в магнитном поле действует пара сил. Вращающий момент сил зависит как от свойств поля в данной точке, так и от свойств рамки и определяется по формуле:
где 
— вектор магнитного момента рамки с током; В — вектор магнитной индукции (количественная характеристика магнитного поля).
Для плоского контура с током
где S — площадь поверхности контура (рамки); n — единичный вектор нормали к поверхности рамки
Таким образом, направление совпадает с направлением положительной нормали.
Если в данную точку магнитного поля помещать рамки с различными магнитными моментами, то на них действуют различные вращающие моменты, однако отношение 
(
—максимальный вращающий момент) для всех контуров одно и то же и поэтому может служить характеристикой магнитного поля, называемой магнитной индукцией:
Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. Следует отметить, что вектор В может быть выведен также из закона Ампера и из выражения для силы Лоренца.
Так как магнитное поле является силовым, то его, по аналогии с электрическим, изображают с помощью линий магнитной индукции — линий, касательные к которым в каждой точке со-впадают с направлением вектора В. Их направление задается правилом правого винта: головка винта, ввинчиваемого по направлению тока, вращается в направлении линий магнитной индук-ции.
Линии магнитной индукции можно «проявить» с помощью железных опилок, намагничивающихся в исследуемом поле и ведущих себя подобно маленьким магнитным стрелкам. Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током. Этим они отличаются от линий напряженности электростатического поля, которые являются разомкнутыми [начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных].
Магнитное поле макротоков описывается вектором напряженности Н. Для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции связан с вектором напряженности следующим со-отношением:
Где 
— магнитная постоянная; 𝝁 — безразмерная величина — магнитная проницаемость среды, показывающая, во сколько раз магнитное поле макротоков H усиливается за счет поля микротоков среды.
Сравнивая векторные характеристики электростатического (
) и магнитного (
) полей, укажем, что аналогом вектора напряженности электростатического поля 
является вектор магнитной индукции 
, так как векторы 
и 
определяют силовые действия этих полей и зависят от свойств среды. Аналогом вектора электрического смещения 
является вектор напряженности 
магнитного поля.
Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774 —1862) и Ф.Саваром (1791-1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П.Лапласом.
Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током 
, элемент dl которого создает в некоторой точке А (рис. 164) индукцию поля dB, записывается в виде
(1)
где 
— вектор, по модулю равный длине 
элемента проводника и совпадающий по направлению с током; 
— радиус-вектор, проведенный из элемента проводника в точку A поля; r — модуль радиуса-вектора .
Направление 
перпендикулярно 
, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть за-дано по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.
Модуль вектора 
определяется выражением
(2)
где 𝝰 — угол между векторами 
.
Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: вектор магнитной индукции результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущими-ся зарядами, равен векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности
(3)
Расчет характеристик магнитного поля 
по приведенным формулам в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био — Савара —Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера.
1. Магнитное поле прямого тока —тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 165). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, век-торы от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов 
можно заменить сложением их модулей.
В качестве постоянной интегрирования выберем угол 𝝰 (угол между векторами ), выразив через него все остальные величины. Из рис. 165 следует, что
(радиус дуги CD вследствие малости равен 
, поэтому угол FDC можно считать прямым). Подставив эти выражения в (2), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элемен-том проводника, равна
(4)
Так как угол 𝝰 для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от О до π, то, согласно (3) и (4),
Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока
(5)
2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 168). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления — вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin a = 1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно
Тогда
Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током
Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия сил на отдельные ее элементы. Обобщая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током, А. Ампер установил, что сила dF, с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнитном поле, равна
(1)
где d 
— вектор, по модулю равный d 
и совпадающий по направлению с током, 
— вектор магнитной индукции.
Направление вектора d может быть найдено, согласно (1), по общим правилам векторного произведения, откуда следует правило левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца — по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.
Модуль силы Ампера [см. формулу (1)] вычисляется по формуле
(2)
где 𝝰 — угол между векторами d 
и d .
Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных тока 
(на рис. 169 токи направлены пер- пендикулярно плоскости чертежа к нам), расстояние между которыми равно R. Каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током.
(рис.169)
Рассмотрим, с какой силой действует магнитное поле тока 
на элемент dl второго проводника с током 
. Ток создает вокруг себя магнитное поле, линии индукции которого представляют собой концентрические окружности. Направление вектора 
определяется правилом правого винта, его модуль равен
Направление силы d 
(с которой поле действует на участок dl второго тока, определяется по правилу левой руки и указано на рисунке. Модуль силы, согласно (2), с учетом того, что угол 𝝰 между элементами тока и вектором 
прямой, равен
Подставляя значение для 
получим
(3)
Рассуждая аналогично, можно показать, что сила 
, c которой магнитное поле тока действует на элемент dl первого проводника с током направлена в противоположную сторону и по модулю равна
(4)
Сравнение выражений (3) и (4) показывает, что
т. е. два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой
(5)
Если токи имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяемая по формуле (5).
Опыт показывает, что магнитное поле действует не только на проводники с током, но и на отдельные заряды, движущиеся в магнитном поле. Сила, действующая на электрический заряд Q, движущийся в магнитном поле со скоростью v, называется силой Лоренца и выражается форму-лой
(1)
где В — индукция магнитного поля, в котором заряд движется.
Направление силы Лоренца определяется с помощью правила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор 
, а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора 
(для Q > 0 направления 
и совпадают, для Q < 0 — противоположны), то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на положительный заряд. На рис. 171 показана взаимная ориентация векторов 
(поле направлено от нас, на рисунке показано крестиками) и для положительного и отрицательного зарядов. На отрицательный заряд сила дей-ствует в противоположном направлении. Модуль силы Лоренца [см. (1)]
(рис. 171)
где 
— угол между 
Отметим еще раз, что магнитное поле не действует на покоящийся электрический заряд. В этом существенное отличие магнитного поля от электростатического. Магнитное поле действует только на движущиеся в нем заряды.
Выражение (1) для силы Лоренца может быть использовано для определения вектора магнитной индукции .
Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения заряженной частицы, поэтому она изменяет только направление этой скорости, не меняя ее модуля. Следовательно, сила Лоренца работы не совершает. Иными словами, постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей и кинетическая энергия этой частицы при движении в магнитном поле не изменяется.
Если на движущийся электрический заряд помимо магнитного поля с индукцией действует и электрическое поле с напряженностью 
, то результирующая сила , приложенная к заряду, рав-на векторной сумме сил — силы, действующей со стороны электрического поля, и силы Лоренца:
Это выражение называется формулой Лоренца. Скорость v в этой формуле есть скорость заряда относительно магнитного поля.
2.9. Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку 
называется скалярная физическая величина, равная
(1)
где 
— проекция вектора на направление нормали к площадке dS ( — угол между векторами 
); 
— вектор, модуль которого равен dS, а направление его совпадает с направлением нормали 
к площадке.
Поток вектора может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака 
(определяется выбором положительного направления нормали п). Поток вектора свя-зывают с контуром, по которому течет ток. В таком случае положительное направление нормали к контуру нами уже определено: оно связывается с током правилом правого винта. Следовательно, магнитный поток, создаваемый контуром через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.
Поток вектора магнитной индукции 
через произвольную поверхность S равен
(2)
Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору 
и
Из этой формулы определяется единица магнитного потока вебер (Вб): 1 Вб — магнитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 
, расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл (
).
Теорема Гаусса для поля : поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:
(3)
Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.
Итак, для потоков векторов и сквозь замкнутую поверхность в вихревом и потенциальном полях получаются различные выражения [см. (3)].
В качестве примера рассчитаем поток вектора сквозь соленоид. Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью равна
Магнитный поток сквозь один виток соленоида площадью S равен
а полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида и называемый потокосцеплением,
На проводник с током в магнитном поле действуют силы, определяемые законом Ампера. Если проводник не закреплен (например, одна из сторон контура изготовлена в виде подвижной перемычки, рис. 179), то под действием силы Ампера он будет в маг-нитном поле перемещаться. Следовательно, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током.
(рис. 179)
Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I (он может свободно перемещаться), помещенный в однородное внешнее магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура. Сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение — по закону Ампера равна
Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на отрезок dx из положения 1 в положение 2. Работа, совершаемая магнитным полем, равна
где 
— площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле; 
— поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь.
Таким образом
(1)
т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником. Полученная формула спра-ведлива и для произвольного направления вектора .
Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с постоянным током в магнитном поле. Предположим, что контур М перемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения займет положение М', изображенное на рис. 180 штриховой линией. Направление тока в контуре (по часовой стрелке) и магнитного поля (перпендикулярно плоскости чертежа — за чертеж) указано на рисунке. Контур М мысленно разобьем на два соединенных своими концами проводника: ABC и CDА.
(рис. 180)
Работа dA, совершаемая силами Ампера при рассматриваемом перемещении контура в магнитном поле, равна алгебраической сумме работ по перемещению проводников ABC (
) и CDA (
), т. е.
(2)
Силы, приложенные к участку CDA контура, образуют с направлением перемещения острые углы, поэтому совершаемая ими работа > 0. Согласно (1), эта работа равна произведению силы тока / в контуре на пересеченный проводником CDА магнитный поток. Проводник CD А пересекает при своем движении поток 
сквозь тонированную поверхность и поток 
, пронизывающий контур в его конечном положении. Следовательно,
(3)
Силы, действующие на участок ABC контура, образуют с направлением перемещения тупые углы, поэтому совершаемая ими работа < 0. Проводник ABC пересекает при своем движении поток 
сквозь тонированную поверхность и поток 
, пронизывающий контур в начальном положении. Следовательно,
(4)
Подставляя (3) и (4) в (2), получим выражение для элементарной работы:
где — = 
' — изменение магнитного потока сквозь площадь, ограниченную контуром с током.
Таким образом
(5)
Проинтегрировав выражение (5), определим работу, совершаемую силами Ампера, при конечном произвольном перемещении контура в магнитном поле:
(6)
т.е. работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром. Формула (6) остается справедливой для контура любой формы в произвольном магнитном поле
Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого, по закону Био —Савара — Лапласа, пропорциональна току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф поэтому пропорционален току в контуре:
(1)
где L — коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура.
При изменении силы тока в контуре будет изменяться также и сцепленный с ним магнитный поток; следовательно, в контуре будет индуцироваться ЭДС. Возникновение ЭДС индукции в про-водящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией.
Из выражения (126.1) определяется единица индуктивности генри (Гн): 1 Гн — индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1 А равен 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб/А = 1 В • с/А.
Рассчитаем индуктивность бесконечно длинного соленоида. Полный магнитный поток
сквозь соленоид (потокосцепление) равен 
Подставив это выражение в формулу (1), получим
(2)
т.е. индуктивность соленоида зависит от числа 
витков соленоида, его длины , площади 
и магнитной проницаемости 𝝁 вещества, из которого изготовлен сердечник соленоида.
Можно показать, что индуктивность контура в общем случае зависит только от геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости той среды, в которой он находится. В этом смысле индуктивность контура — аналог электрической емкости уединенного проводника, которая также зависит только от формы проводника, его размеров в диэлектрической про-ницаемости среды.
Контур, обладая определенной индуктивностью, приобретает электрическую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индук-тивность контура.
Проводник, по которому протекает электрический ток, создает в окружающем пространстве магнитное поле, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезнове-нием тока.
Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля.
Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток I. С данным контуром сцеплен магнитный поток , причем при изменении тока на dI магнитный поток изменяется на 
. Однако для изменения магнитного потока на величину необходимо совершить работу 
. Тогда работа по созданию магнитного потока будет
Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром,
(1)
Исследование свойств переменных магнитных полей, в частности распространения электромагнитных волн, явилось доказательством того, что энергия магнитного поля локализована в пространстве. Это соответствует представлениям теории поля.
Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, характеризующих это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный случаи — однородное магнитное поле внутри длинного соленоида.
Поскольку 
(2)
Где 
объем соленоида.
Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью
(3)
Формула (130.3) выведена для однородного поля, но она справедлива и для неоднородных по-лей. Выражение (130.3) справедливо только для сред, для которых зависимость B от H линейная, т.е. оно относится только к пара- и диамагнетикам.
