Часть 2. Преобразования координат при реализации относительного метода навигационных определений

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для выполнения курсового проекта “Определение координат наземных пунктов с использованием геодезических навигационных спутниковых систем” по курсу “Спутниковые технологии для геодезического обеспечения государственного кадастра недвижимости”

 

Часть 1. Преобразования координат при реализации абсолютного метода навигационных определений

 

1. Переход от геодезических координат В, L, Н наземного пункта (НП), заданных в общеземной системе WGS-84, к пространственным прямоугольным X_G, Y_G, Z_G выполняется по формулам

X_G = (N_G + H)·cosB·cosL,

Y_G = (N_G + H)·cosB·sinL,

Z_G = [N_G·(1-e²) + H]·sinB,

N_G = a/(√1- e²·sin²B),

где N_G – радиус кривизны общего земного эллипсоида WGS-84 в плоскости первого вертикала;

а, е – большая полуось и эксцентриситет общего земного эллипсоида WGS-84.

 

2. Связь референцной системы координат CR-42 с общеземной WGS-84 имеет вид

 

 

Преобразование пространственных координат НП из общеземной системы WGS-84 в референцную СК-42 выполняется с помощью матричного выражения

,

где - трехмерный вектор-столбец смещения начала референцной системы относительно начала общеземной системы; - трехмерный вектор-столбец малых углов поворота координатных осей референцной системы относительно осей общеземной системы; k - поправка к масштабу референцной системы координат (k=0); - радиус-вектор НП в референцной системе координат; - радиус-вектор НП в общеземной системе координат.

Матрица малых поворотов координатных осей имеет вид

.

3.Переход от пространственных прямоугольных координат НП к геодезическим выполняется по формулам

tgL = Y_Г/X_Г,

tgB = (Z_Г + N_Г·e²·sinB)/(X_Г·cosL+ Y_Г·sinL),

N_Г = a/(√1- e²·sin²B),

H_Г = X_Г/(cosB·cosL) –N_Г,

где N_Г – радиус кривизны референц-эллипсоида СК-42 в плоскости первого вертикала; H_Г – геодезическая высота; а, е – большая полуось и эксцентриситет референц-эллипсоида СК-42.

Значение широты определяется методом последовательных приближений

tgB⁽¹⁾ = Z_г/(X_г·cosL+ Y_г·sinL),

tgB⁽²⁾ = (Z_г+ N_Г⁽¹⁾·e²·sinB⁽¹⁾)/(X_г·cosL+ Y_г·sinL),

...

tgB⁽ⁿ⁾ = (Z_г+ N_Г^(n-1)·e²·sinB^(n-1))/(X_г·cosL+ Y_г·sinL)

до достижения заданной точности

B⁽ⁿ⁾- B^{(n-1 )}≤ε,

где ε – абсолютная ошибка вычисления геодезической широты.

 

4. Переход от эллипсоидальных координат к плоским прямоугольным в проекции

Гаусса-Крюгера

,

,

где

,

, , , .

Здесь N_Г - радиус кривизны референц-эллипсоида СК-42 в плоскости первого вертикала; n – номер зоны; L₀ – осевой меридиан зоны.

 

5. Расчет нормальной высоты выполняется по формуле

Н₄₂ = Н _Г42 – γ₄₂,

где Н _Г42 – геодезическая высота; Н₄₂ – нормальная высота; γ₄₂ – аномалия высоты.

 

 

Часть 2. Преобразования координат при реализации относительного метода навигационных определений

 

1. Пространственное положение R _Г2 = [ X _Г2 Y _Г2 Z _Г2]^T НП-2 в референцной системе координат СК-42 определяется по известным в этой же системе положению R _Г1= [ X _Г1 Y _Г1 Z _Г1]^T НП-1 и базовому вектору Δ R _Г = [Δ X _Г Δ Y _Г Δ Z _Г]^T по формуле

R _Г2 = R _Г1 + Δ R _Г.

 

2. Преобразование полученного в системе координат WGS-84 значения базового вектора Δ R _G = [Δ X_G Δ Y_G Δ Z _G ]^T в систему координат CR-42 выполняется по формуле

.

Здесь базовый вектор Δ R _G определяется в общеземной системе координат WGS-84 после математической обработки выполненных относительных GPS-измерений спутников навигационной системы GPS (NAVSTAR).

3. Преобразование высот. Для решения поставленной задачи по формуле Стокса с использованием модели EGM-96 (либо EGM-08) рассчитывается аномалия высоты ζ₈₄ относительно общего земного эллипсоида (ОЗЭ) WGS-84. Затем уже определяется аномалия высоты ζ₄₂ относительно референц-эллипсоида (РЭ) Красовского как

 

ζ₄₂ = ζ₈₄ – (H _Г84 – H _Г42) = ζ₈₄ – dH, (1)

dH = (H _Г84 – H _Г42),

dH = (-ω _Y · Z _Г + ω _Z · Y _Г + dX)·cos B ·cos L + (ω _X · Z _Г – ω _Z · X _Г + dY)·cos B ·sin L +

+ (-ω _X · Y _Г + ω _Y · X _Г + dZ)· sin B – (1 – 0,5· e ²₄₂ ·sin² B)·(a ₈₄ – a ₄₂) +

+ 0,5· a ₄₂·(1 + 0,5· e ²₄₂ ·sin² B)^1/2 ·(e ²₈₄ – e ²₄₂)·sin² B,

 

где H _Г84 – геодезическая высота точки относительно ОЗЭ WGS-84; H _Г42 – геодезическая высота точки относительно РЭ Красовского; dH – разность геодезических высот между ОЗЭ и РЭ в заданном НП; B, L – геодезические широта и долгота точки в системе РЭ; N – радиус кривизны РЭ в плоскости первого вертикала; da – разность больших полуосей ОЗЭ и РЭ; de ² – разность квадратов эксцентриситетов ОЗЭ и РЭ; a ₄₂, e ₄₂ – большая полуось и эксцентриситет РЭ Красовского; a ₈₄, e ₈₄ – большая полуось и эксцентриситет ОЗЭ WGS-84.

После того, как по формуле (1) будет вычислена аномалия высоты ζ₄₂, можно найти геодезическую высоту Н _Г42 точки относительно РЭ как

H ₄₂= Н _Г42 – ζ₄₂.

При этом значение нормальной высоты H ₄₂ выбирается из каталога координат.