ГЛАВА V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Основные понятия и определения
Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = у(х) и ее производные у', у'',…, у(n), т.е. уравнение вида
F(х; у; у'; у'';…; у(n)) = 0.
Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция у = у(х)есть функция одной независимой переменной х.
Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в него.
Определение 3. Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (а; b) называется функция у = j(х), определенная на интервале (а; b) вместе со своими производными до n-го порядка включительно, которая будучи подставлена в дифференциальное уравнение обращает его в тождество, т.е.
F(x; j(х); j'(х);…; j(n)(х)) º 0.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Первого порядка. Основные понятия
Определение 1. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:
F(x; у; у') = 0. (4.1)
Если уравнение (4.1) удается разрешить относительно у', то получится
у' = f(x; у) (4.2)
- уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.
Иногда дифференциальные уравнения первого порядка записывают в дифференциалах
j(х; у) dх + g(x; у) dу = 0.
Определение 2. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = j(х; C), зависящая от одной производной постоянной C и удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению при любых допустимых значениях C.
Соотношение вида Ф(х; у; С) = 0, неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.
Определение 3. Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение, полученное из общего решения при каком-либо определенном значении постоянной С = С0, т.е. у = j(х; С0).
Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной С, называется частным интегралом дифференциального уравнения.
С геометрической точки зрения совокупность всех решений дифференциального уравнения представляет собой совокупность кривых, называемых интегральными кривыми, а каждое частное решение представляет отдельную интегральную кривую.
Определение 4. Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.
Задачей Коши в случае дифференциального уравнения первого порядка называют задачу нахождения решения у = у(х) уравнения у' = f(x; y), удовлетворяющего начальному условию у(х0) = у0 (
), где х0, у0 - заданные числа.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися
Переменными
Определение 1. Уравнение вида j(у) dу = g(x) dx называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.
Решение этого уравнения находится путем интегрирования обеих его частей. В результате чего его общий интеграл представляется в виде
F(y) = G(x) + C.
Определение 2. Уравнение вида у' = j(у) g(x)называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными находится с помощью следующего алгоритма.
1. Заменить производную у' отношением дифференциалов 
.
2. Умножить обе части уравнения на dх
dу = j(у) g(x) dх.
3. Разделить переменные, т. е. распределить их так, чтобы функция, зависящая от у, располагалась при дифференциале dу, а функция, зависящая от х, при дифференциале dх.
Для этого последнее уравнение необходимо разделить на j(у). Получим 
dу = g(x) dх – уравнение с разделенными переменными.
4. Проинтегрировать обе его части 
;
F(у) = G(x) + C – общий интеграл дифференциального уравнения.
5. Найти частный интеграл (решение), если задано начальное условие у(х0) = у0.
F(y) = G(x) + C0.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение х у у' + 1 + х2= 0, если у(1) = 1.
Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Решим его, используя предложенный алгоритм.
1. х у + 1 + х2= 0 ½ × dх.
2. х у dу + (1 + х2) dх = 0.
3. Разделим переменные, для чего разделим уравнение на х (х ¹ 0)
у dy = - 
.
4. Проинтегрируем обе части уравнения
,
*, С ¹ 0.
Преобразуя это выражение, получим общий интеграл в виде
x = С 
.
5. Найдем частный интеграл, используя начальное условие
у = 1 при х =1.
1 = С e-1, C = e.
Откуда х = 
.
Линейные дифференциальные уравнения
Первого порядка
Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид
у' + Р(х)у = Q(x), (4.3)
где Р(х) и Q(x) – заданные функции переменной х.
Если Q(x) º 0, то уравнение (4.3) называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение
у = 
.
Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа), который состоит в том, что решение уравнения (4.3) записывается в виде
у = 
,
где С(х) – новая неизвестная функция от х.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
у' + 2ху = 2х 
.
Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Рассмотрим однородное уравнение у' + 2ху = 0, соответствующее данному неоднородному. Это уравнение с разделяющимися переменными. Найдем его общее решение, используя алгоритм, рассмотренный в §3.
+ 2ху = 0 ½ × dх
dу + 2 х у dх = 0.
Разделим переменные, поделив последнее уравнение на у
+ 2х dх = 0.
В результате почленного интегрирования получим:
;
ln|у| + х2+ ln|С1| = 0, или ln|уС1| = -х2.
После потенцирования имеем у = С , 
.
Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде
у = С(х) ,
где С(х) – неизвестная функция переменной х.
Подставим данное выражение для у в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.
+ 2х С(х) = 2 х .
После дифференцирования и несложных преобразований получим дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции С(х):
.
Откуда после интегрирования имеем С(х) = х2+ C.
Итак, общее решение неоднородного уравнения будет
у = (х2+ C) ,
где C– постоянная интегрирования.
Существует другой метод (метод Бернулли) решения дифференциального уравнения (4.3), согласно которому нахождение общего решения уравнения (4.3) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными с помощью подстановки
у = u v, (4.4)
где u и v – неизвестные функции от х.
Дифференцируя (4.4), находим
у' = 
.(4.5)
Подставив значения у и у' в уравнение (4.3), получим
,
или 
. (4.6)
Так как искомая функция у подстановкой (4.4) представлена в виде произведения двух функций u и v, то одну из них, например u, мы можем выбрать по нашему усмотрению, кроме u = 0. Выберем u так, чтобы
. (4.7)
Решая это уравнение как уравнение с разделяющимися переменными, найдем функцию u = u(x). Найденную функцию подставим в уравнение (4.6).
U(x) 
= Q(x).(4.8)
Это уравнение с разделяющимися переменными, решая которое находим функцию v = v(x; C), содержащую произвольную постоянную C и являющуюся общим решением уравнения (4.8). Заменив в равенстве у = u v функции u и v найденными значениями, получим общее решение исходного дифференциального уравнения
у = u(x) v(x; C).
Частное решение находим, используя начальные условия.
Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения
х (х – 1) у' + у = х2(2х – 1), у(2) = 4.
Решение. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Действительно, в результате деления обеих его частей на x (х – 1) (х ¹ 0; х ¹ 1) оно преобразуется к виду уравнения (4.3).
у' + 
. (4.9)
Найдем общее решение преобразованного дифференциального уравнения с помощью подстановки у = u v. При этом у' = u' v + u v'.
Подставляя у и у' в уравнение (4.9), будет иметь
u' v + u v' + 
,
или
v 
. (4.10)
Выберем u так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т. е.
. (4.11)
Тогда уравнение (4.10) примет вид
. (4.12)
Решаем уравнение (4.11) как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
,
.
Раскладывая дроби в правой части последнего уравнения 
, после интегрирования получим одно из его частных решений
,
или 
. (4.13)
Подставив найденную функцию u(x) в уравнение (4.12), придем к дифференциальному уравнению относительно функции v.
,
,
интегрируя которое, получим
v(x; C) = х2– х + C. (4.14)
Заменив в подстановке у = u v функции u и v их выражениями из равенств (4.13) и (4.14), получим искомое общее решение данного дифференциального уравнения
(х2– х + С).
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию у = 4 при х = 2.
4 = 
(4 - 2 + С), т. е. С = 0.
Следовательно, искомым частным решением является функция
у = х2.
* В данном случае, не нарушая общности, постоянную интегрирования C удобно представить в виде ln|C|.
