Матрицы преобразования лучей.

 

 

Траектория луча, поскольку он проходит через различные преломляющие поверхности системы, будет состоять из последовательности прямых линий. Каждая из этих прямых определяется координатами одной принадлежащей ей точки и углом, который составляет данная прямая линия с осью Oz. Выбирается любая плоскость Z = Const, перпендикулярная оси Oz и называется опорной плоскостью (ОП). Тогда луч можно определить по отношению к опорной плоскости двумя параметрами: высотой, на которой этот луч пересекает опорную плоскость, и углом, который он составляет с осью Oz. Хотя можно было бы попытаться описать все лучи, участвующие в вычислениях, по отношению к одной единственной опорной плоскос­ти, однако на практике оказывается гораздо более удобным на каж­дом этапе расчета выбрать новую ОП. Это означает, что параметры луча непрерывно переносятся с одной ОП на другую, по мере того как рассматриваются различные элементы системы. Уже отмечалось, что по отношению к любой ОП положение луча можно определить с помощью высоты “ y ” и угла “ V ” этого луча. Однако для проведения расчетов более удобно заменить угол луча “ V ” соответствующим ему оптическим направляющим косинусом nV, где n - показатель преломления среды, в которой распространяется луч. Согласно закону Снеллиуса, оптический направляющий косинус “ V ” остается неизменным при пересечении граничной поверхности двух оптически различных сред.

Для исследования поведения луча рассматривают два процесса: перемещение между двумя преломляющими поверхностями - оптический промежуток и преломление на граничной поверхности между двумя областями с различными показателями преломления. Для того чтобы определить величину отклонения прошедшего луча, необходимо знать радиус кривизны преломляющей поверхности и два значения показателя преломления граничных сред.

Нетрудно установить, что уравнения для двух оптических элементов являются линейными, и, следовательно, их можно записать в матричной форме.

 

 

Таким образом, каждому элементу оптической системы можно поставить в соответствие свою унимодулярную матрицу преобразования лучей. Для того чтобы получить общую матрицу преобразования лучей, описывающую всю оптическую систему в целом, следует перемножить в правильной последовательности все матрицы элементарных перемещений и преломлений, встречающихся в системе.

Матрица перемещения.

 

Для распространения лучей, проходящих слева направо путь t между двумя опорными плоскостями, можно записать:

 

 

 

Матрица перемещения предназначена для операций с такими параметрами луча, как высота луча и оптический направляющий косинус, а не просто его угол. Таким образом, если n - пока­затель преломления среды между ОП₁ и OП₂, то приведенное выше уравнение нужно переписать в виде

 

 

где Т = t/n - приведенная толщина оптического промежутка. Нет­рудно заметить, что “ V₁ ” и “ V₂ ” равны друг другу. Следовательно, для нового оптического направляющего косинуса можно написать уравнение

 

 

Полученные два уравнения теперь можно записать в матрич­ной форме:

 

 

Таким образом, перемещение луча вправо описывается матрицей

 

 

Матрица преломления.

 

Рассмотрим, как действует на распространение лучей кривая поверхность, разделяющая две области с показателями преломления n₁ и n₂. Радиус кривизны поверхности считается поло­жительным, когда центр кривизны расположен справа от поверхности.

На рисунке приведена поверхность положительной кривизны:

 

 

В случае параксиальных лучей расстояние между плоскостя­ми ОП₁, ОП₂ пренебрежимо мало. Отсюда имеем y₂ = y₁. Применяя закон Снеллиуса можно написать

n₁ Sin i₁ = n₂ Sin i₂

 

или в параксиальном приближении

 

n₁ i₁ = n₂ i₂

 

По теореме о внешнем угле треугольника

 

i₁ = V₁ + a = V₁ + y₁/r

i₂ = V₂ + a = V₂ + y₁/r

Следовательно

 

n₁(V₁ + y₁/r) = n₂(V₂ + y₁/r)

или

 

V₁ + n₁.y₁/r = V₂ + n₂.y₁/r

Таким образом, переписывая эти уравнения в матричной форме, окончательно получаем

 

 

Величину (n₂ – n₁ )/ r обычно называют оптической силой поверхности Ф.

Получили матрицу преломления:

 

 

 

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ВЫХОДНОГО ЛУЧА ПО ЗАДАННЫМ ПАРАМЕТРАМ ВХОДНОГО ЛУЧА

 

Если обозначить вектор луча , проходящего через r -ую опорную плоскость, как К_r, то для преобразования параметров луча из ОП_r в ОП_(r+1) можно написать следующее рекуррентное соотношение:

 

К_(r+1) = M_r К_r;

аналогично

 

К_r = M_(r-1).К_(r-1)

 

и так далее.

Используя повторно это рекуррентное соотношение, а также ассоциативное свойство умножения матриц, находим

 

K_(2n+2) = M_(2n+1) K_(2n+1) = M_(2n+1) (M_2n K_2n) = (M_(2n+1) M_2n)(M_(2n-1) K_(2n-1)) =

= (M_(2n+1) M_2n M_(2n-1) M_(2n-2)…M₃M₂M₁)K_1.

 

Следовательно, K_{(2n+2 )} = MK₁, где М представляет со­бой произведение всех матриц, взятых в нисходящем порядке но­меров.

Используем теперь R -матрицу для описания действия отражающих поверхностей.

 

 

Чтобы вычислить оптическую силу Ф отражающей кривой поверхности, преоб­разуем формулу P = (n₂ – n₁)/2, заме­нив в ней показатель преломления n₂ второй среды на отрицательное значение показателя преломления n той же среды, в которую погру­жен отражатель и в которой распространяется луч после своего отражения. Таким образом получим Р = - 2n/r и R - матрица запишется в виде

 

 

В результате всех вычислений должны получить результирую­щую матрицу, вида

 

Элементы А_p, В_p, С_p, D_p матрицы имеют вполне опреде­ленный смысл. Их значения характеризуют свойства системы. Для уяснения смысла коэффициентов матрицы преобразования лучей оптической системой можно поступить следующим образом: предположить, что коэффициенты равны нулю и выяснить, к чему это приведет.

 

 

Это значит, что все лучи идущие из одной и той же вход­ной опорной плоскости ОП₁, выходят из выходной опорной плоскос­ти под одним и тем же углом V₂ = C_p y₁ к оси системы (т.е. в виде параллельного пучка) независимо от того, под каким углом V₁ эти лучи входили в систему. Отсюда следует, что вход­ная плоскость ОП₁ должна быть передней фокальной плоскостью системы.

2. В_p = 0, тогда y₂ = A_p y₁ + 0V₁ = A_p y₁. Это означает, что все лучи проходящие через точку О₁ (с координатой y₁) плоскости ОП₁ пройдут через одну и ту же точку О₂ (с координа­той y₂) плоскости ОП₂. Следовательно, точки О₁ и О₂ являют­ся соответственно точкой-предметом и точкой- изображением плоскостей ОП₁ и ОП₂.

3. С_p = 0, тогда V₂ = D_p V₁. Это означает, что парал­лельный пучок лучей, вошедших в оптическую систему, выйдет из нее также в вице параллельного пучка, т.е. данная оптическая система является афокальной.

4. А_p = 0, тогда y₂ = B_p V₁. Это значит, что лучи, входя­щие в систему в виде параллельного пучка лучей, в выходной плоскости ОП₂ пройдут через одну и ту же точку. Следовательно, в этом случае плоскость ОП₂ является задней фокальной плоскос­тью оптической системы.

При расчетах чаще всего используют "приведенные значе­ния" (в отношении к показателю преломляющей среды). Использо­вание приведенных значений дает следующее преимущество: при пересечении плоской границы раздела двух сред приведенные зна­чения не изменяются.

 

Математическое содержание задачи.

Провести расчет для резонатора, образованного двумя вог­нутыми зеркалами.

Радиусы кривизны зеркал R₁ = R₂ (м)

Расстояние между зеркалами D (см)

Показатель преломления среды n = 1

Длина волны l (мкм)

Число проходов луча к = 1

Требуется определить тип резонатора и параметры гауссового пучка для рассматриваемого резонатора.

Указания к решению.