Construction sets by operations over two given sets of universal set

Филиппский Алексей Валерьевич, студент

Юго-Западный государственный университет, Курск

Научный руководитель: Т.В. Шевцова, преподаватель

ПОСТРОЕНИЕ МНОЖЕСТВ С ПОМОЩЬЮ ОПЕРАЦИЙ НАД ДВУМЯ ЗАДАННЫМИ МНОЖЕСТВАМИ УНИВЕРСУМА

В статье рассмотрены способы построения множеств с помощью операций сложения и вычитания. В качестве теоретической базы для обоснования существования получаемых множеств выбрана система аксиом Цермело-Френкеля.

Ключевые слова: множество, элемент, универсум, аксиома, объединение, пересечение, разность, симметрическая разность множеств.

Filippskiy A.V., student

е-mail: [email protected]

Southwest State University, Kursk

Scientific supervisor: T.V. Shevtsova, Lecturer

CONSTRUCTION SETS BY OPERATIONS OVER TWO GIVEN SETS OF UNIVERSAL SET

In the article the ways of construction sets by operation of union and difference are considered. The system of axioms of Tsermelo-Frenkelja is chosen as theoretical base.

Keywords: set, element, universal set, axiom, union, crossing, difference, symmetric difference of sets.

Современная теория множеств строится на основе системы аксиом, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств. В рамках настоящей статьи выбрана система аксиом Цермело-Френкеля, являющаяся наиболее распространённой сегодня.

Рассмотрим два множества A и B, содержащиеся в некотором фиксированном множестве-универсуме U (рис. 1) и поставим задачу построить из них всевозможные множества, используя основные операции: сложение (нахождение объединения), умножение (нахождение пересечения), вычитание (нахождения разности) и симметрическое вычитание (нахождение симметрической разности).

Рис. 1

Возможность рассмотрения операций над множествами постулируется аксиоматикой теории множеств. Приведем некоторые аксиомы одной из возможных формулировок аксиоматики Цермело-Френкеля.

1. Аксиома суммы гласит, что для произвольных множеств A и B существует множество, элементами которого являются все элементы множества А и все элементы множества В и которое никаких других элементов не содержит. Указанное множество называют объединением (или суммой) множеств A и B и обозначают .

2. Аксиома разности говорит, что для произвольных множеств A и B существует множество, элементами которого являются те и только те элементы множества А, которые не являются элементами множества В. Это множество называют разностью множеств A и B и обозначают .

Покажем, что остальные операции (операции нахождения пересечения и симметрической разности) могут быть сведены к вышеупомянутым (операциям нахождения объединения и разности).

Заметим, что из аксиомы разности следует также существование множества . Легко видеть, что указанное множество состоит из объектов, являющихся одновременно элементами множеств A и B. Его называют пересечением множеств A и B и обозначают .

Итак, .

Из аксиом суммы и разности множеств вытекает существование множества . Это множество называют симметрической разностью и обозначают A Δ B. Очевидно, что множество А Δ В состоит из элементов, принадлежащих только одному из множеств А и В.

Итак, А Δ В = .

Таким образом, использование четырёх основных операций над множествами при построении множеств можно свести к использованию только двух операций – операций нахождения объединения и разности множеств.

Определим число всевозможных множеств, которые можно получить в рамках поставленной задачи.

Очевидно, что искомые множества могут содержать в качестве подмножеств какие-то из четырёх непересекающихся множеств А ₁, А ₂, А ₃, А ₄, изображённых на рис. 2.


A ₁	A ₂	A ₃	A ₄
Рис. 2

Следовательно, число искомых множеств равно .

Найдём множества, которые получаются при использовании только операции сложения множеств. Отметим, что указанная операция коммутативна: .

Итак, имеем:

1) (рис.3)

2) (рис. 4)

3) (рис. 5)

4) (рис.6)


Рис. 3	Рис. 4	Рис. 5	Рис. 6

Никаких других множеств здесь не может быть получено.

Используем теперь только операцию нахождения разности, не являющуюся коммутативной.

Имеем:

5) (рис.7)

6) (рис. 8)

7) (рис. 9)

8) (рис.10)


Рис. 7	Рис. 8	Рис. 9	Рис. 10

9) (рис. 11)

10) (рис.12)

11) (рис. 13)

12) (рис. 14)


Рис. 11	Рис. 12	Рис. 13	Рис. 14

Заметим, что уже полученные множества А и В можно построить через разность:

Оставшиеся множества получим, используя обе операции:

13) Δ (рис. 15)

14) (рис. 16)

15) (рис. 17)

16) (рис. 18)


Рис. 15	Рис. 16	Рис. 17	Рис. 18

Таким образом, в статье установлено практически, что, используя основные операции над двумя множествами из универсума, можно построить 16 различных множеств.

Библиографический список

1) Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. – М.: Мир, 2000. 340 с.

2) Лавров И. А. Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. – М.: Физматлит, 2004. 256 с.

3) Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов. – Москва: Техносфера, 2005. 320 с.