При высокой температуре возбуждены все моды колебаний и для малопрочных кристаллов выполняются законы классической физики.

При низкой температуре часть мод не возбуждается, «вымерзает», и для прочных кристаллов существенны квантовые свойства.

Теплоемкость при высоких температурах. Для малопрочных кристаллов выполняется . Верхний предел интеграла (4.71)

меньше единиц, тогда . Экспоненту разлагаем в ряд, ограничиваемся двумя слагаемыми , и получаем

. (4.73)

Теплоемкость

удовлетворяет закону Дюлонга–Пти классической физики.

Теплоемкость при низких температурах. Для прочных кристаллов выполняется . Верхний предел интеграла (4.71)

с учетом подынтегральной экспоненциальной функции, считаем бесконечным. Используем

и получаем внутреннюю тепловую энергию кристалла

, (4.74)

где учтено (4.69)

Результат аналогичен внутренней энергии фотонного газа (4.63)

, .

Для теплоемкости кристаллической решетки прочных кристаллов получаем закон Дебая

. (4.75)

При низких температурах теплоемкость кристалла пропорциональна третьей степени температуры.

Теплоемкость для широкого интервала температур. Используем (4.71)

и получаем

. (4.76)

ПРИМЕРЫ

1. Получить вероятность обнаружения фонона с частотой в интервале в единице объема кристалла при низких температурах. Найти концентрацию фононов, наиболее вероятную энергию и длину волны.

Искомая вероятность

, ,

где n – концентрация фононов. Используем (4.70)

, .

Находим

, (П.12.1)

где N – числом элементарных ячеек в кристалле объемом V.

Нормировка вероятности

дает концентрацию фононов

Заменяем , используем , и получаем

. (П.12.2)

Низкая температура . Верхний предел интеграла считаем бесконечным

тогда

. (П.12.3)

При низких температурах в трехмерном кристалле средняя концентрация фононов пропорциональна числу элементарных ячеек в единице объема кристалла и третьей степени температуры. При получаем – концентрация фононов составляет сотые доли от концентрации элементарных ячеек кристалла.

Вероятность обнаружения фонона в единице объема в единичном интервале частоты около значения w находим из (П.12.1)

и (П.12.3)

в результате

. (П.12.4)

При низкой частоте из (П.12.4) получаем

При высокой частоте

Максимум функции

где , соответствует наиболее вероятной частоте w _m фонона. Из условия

получаем уравнение

Численное решение дает

Наиболее вероятная энергия фонона

Учитывая (4.72)

находим наиболее вероятную длину волны

где d – постоянная решетки. При низкой температуре наиболее вероятная длина волны фонона во столько раз превышает постоянную решетки, во сколько раз температура кристалла меньше температуры Дебая.

2. Найти давление фононного газа при .

При низкой температуре внутренняя энергия фононного газа (4.74)

. (П.12.5)

Тогда давление

, (П.12.6)

где учтено (4.69)

Сравниваем с концентрацией фононов (П.12.3)

получаем

. (П.12.7)

3. Для Z -валентного металла найти интервал температур, где теплоемкость электронного газа превышает теплоемкость кристаллической решетки.

Теплоемкость вырожденного газа NZ электронов согласно (П.10.19) равна

Теплоемкость кристаллической решетки, содержащей N узлов, при находим из закона Дебая (4.75)

Верхний край Т ₁ искомого интервала удовлетворяет уравнению

откуда

. (П.12.8)

Учитывая , находим

При нормальной температуре электронный газ не дает существенного вклада в теплоемкость металла.

4. Найти теплоемкость графена при высоких и низких температурах.

В пленке графена существуют продольные и поперечные упругие волны с колебаниями в плоскости пленки, поэтому . Если все точки и направления в пленке площадью S равноправны, то фазовый объем

где использовано приближение линейной дисперсии

v – средняя по двум типам волн скорость звука. Экспериментально получены (Nika D.L. at al. Phys. Rev. B79, 155413 (2009)): , , тогда

дает . Используя (3.5)

находим плотность состояний

Число независимых упругих волн равно числу степеней свободы пленки 2 N, где N – число узлов двумерного кристалла. Для наибольшей частоты волн получаем уравнение