Задачи 11-20 на проверку гипотез относительно распределений

Реко­мендуем применить критерий согласия Х^г - Пирсона.

Каждому ряду распределения достаточно большой совокупности объек­тивно свойственна определенная закономерность. Моделирование кривой рас­пределения позволяет в компактной форме дать характеристику закономер­ности распределения, используя ее в планировании и прогнозировании. Од­ним из наиболее распространенных законов распределения, применяемых в качестве стандарта, с которым сравнивают другие распределения и которое имеет важное значение для решения задач выборочного наблюдения является нормальное распределение. Для того чтобы установить, верно, ли предполо­жение о том, что эмпирическое распределение подчиняется закону нормаль­ного распределения, необходимо сравнить его с теоретическим распреде­лением. Важно определить, являются ли различия между ними результатом действия случайных причин или обусловлены неправильно подобранной функ­цией. Критерии согласия, используемые с этой целью, разработаны К. Пирсоном, А. Колмогоровым, В. Романовским и др.

Критерий х² - Пирсона: , (8)

где f_i - эмпирические частоты (фактическое число единиц в группе);

f _т -теоретические частоты.

Чем меньше отклонение между эмпирическими и теоретическими часто­тами, тем меньше значение Х ²_факт, а значит, теоретическое распределение

лучше воспроизводит эмпирическое и наоборот. Если фактическое значение больше табличного, то отклонения являются существенными и эмпирический ряд распределения не подчиняется закону нормального распределения.

Значение Х ²_табл находится в специальных таблицах с учетом числа степе­ней свободы, равном числу интервалов (групп) ряда распределения минус единица.

Значение Х ²_факт рассчитывается по изложенной выше формуле, для кото­рой предварительно определяются теоретические частоты.

f (m) – для интервального ряда распределения,

где N - число единиц совокупности;

 

i- величина интервала;

- среднее квадратическое отклонение;

t- нормированное отклонение;

f(t)- значение функции плотности нормального распределения.

 

Нормированное отклонение определяется по формуле:

(9)

где - среднее значение признака.

Значение функции: табулировано и находится в специаль­ных таблицах в зависимости от величины нормированного отклонения. Теоретические частоты и параметры для их определения вычисляют­ся по каждой группе (интервалу) ряда распределения.

Пример: на примере таблицы 2 проверить при уровне значимости 0,05 гипотезу о нормальном законе распределения предприятий по стоимости ОПФ.

Расчеты Х ²_факт представим в таблице 3.

 

 

Таблица 3- Эмпирическое и теоретическое распределение предприятия по выпуску продукции

 

Середина интервала х i	Число предпри­ятий f i		f(t)
		2,00	0,0540
		1,13	0,2107		0,17
		0,26	0,3857
		0,61	0,3312		0,11
		1,48	0,1334		1,3
Итого		х	X		1,58

В расчетах теоретических частот f_т округлять до целых в большую сторону

= 76 млн. руб.

= 23 млн. руб.

Х ²_факт =1,58

Х ²_{табл =} 9,95 при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы число интервалов - 1.

Так как Х ²_факт < Х ²_табл критического (допустимого) значения, то эмпирическое распределение соответствует нормальному.

Задачи 21-27 предполагают использование двух методов анализа взаи­мосвязей: аналитической группировки и корреляции. Результаты группировки должны быть сведены в групповую таблицу, которая имеет вид:

 

 

Таблица 4 – Пример групповой таблицы

 

 

 

Группы предприятий по... (фак­торный при­знак)	Число предпри­ятий в группе	Факторный признак	Результативный при­знак
всего	в среднем на 1 пред­приятие	всего	в среднем на 1 пред­приятие
I II III
Итого в среднем

Задача 30 предусматривает проведение вторичной группировки методом укрупнения интервала (см. В.М. Гусаров. Теория статистики.- С. 49).

Вторая часть задач 21-27 и задач 31-33 составлены по теме «Статисти­ческие методы изучения взаимосвязи социально-экономических явлений».

Решение их основано на корреляционном методе анализа. В задачах сле­дует использовать формулу линейного уравнения связи:

(10)

Параметры уравнения нахождения путем составления и решения системы нормальных уравнений способом наименьших квадратов:

Парный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

(11)

,

Коэффициент детерминации: Д = r² ×100%

Для нахождения параметров уравнения и расчета коэффициента корреля­ции нужно построить вспомогательную таблицу:

 

 

Таблица 5 – Вспомогательная таблица для нахождения параметров уравнения и расчета коэффициента корреля­ции

 

 

 

Результативный признак (выпуск продукции и т.д.) У	Факторный при­знак (стоимость фондов и т.д.) X	Расчетные данные
х·у	х2	у2
и т.д.
Сумма

Задачи 34, 36-40, 43, 44 относятся к теме «Ряды динамики».

Задачи 35, 41, 42 базируются на теме «Относительные величины».

Задачи 45-52 предусматривают расчеты средних величин и показателей вариации.

Средняя арифметическая взвешенная: (12)

Средняя гармоническая взвешенная: (13)

Расчет среднего квадратического отклонения производится по формуле: (14)

Коэффициент вариации:

 

Задачи 53-61 составлены по теме «Индексы».

В задаче 54 следует применить средний арифметический индекс физиче­ского объема продукции: (15)

 

В задачах 55, 59 и 61 средний гармонический индекс цен:

(16)

 

В задаче 58 требуется сделать расчет индексов заработной платы постоянного состава:

(17)

 

переменного состава: (18)

 

структуры: (19)

где f - среднемесячная заработная плата 1 работника;

Т - численность работников.

В остальных задачах применяется основная агрегатная форма индексов и рассчитываются их взаимосвязи.

Задачи 62-73 составлены по теме «Выборочный метод».

Задача 62 решается с использованием формулы: (20)

 

Задачи 63, 65, 70, 73: (21)

Задача 64: (22)

Задачи 65, 67: (23)

Задачи 68, 69, 71: (24)

 

В задаче 72 надо определить вероятность F(t), для чего сначала находим , а потом по таблице интеграла вероятностей находим F(t).