Проведение обработки результатов эксперимента

Любой эксперимент, связанный с измерением величин, сопровождается погрешностями измерений, вносящими элемент неопределенности в результат эксперимента. Постановка повторных или параллельных опытов полностью не исключает неопределенность, так как они проводятся также с погрешностью воспроизводимости. Если проверить параллельно несколько опытов в одинаковых условиях, то погрешность воспроизводимости можно оценить по отклонениям результатов опыта от среднего арифметического, характеризуемого оценкой дисперсии

, (9.11)

где n – число параллельных опытов, при условии исключения грубых погрешностей.

Для получения оценки дисперсии эксперимента нужно усреднить оценки дисперсии всех опытов, предусмотренных матрицей планирования. Оценку дисперсии воспроизводимости эксперимента подсчитывают по формуле

. (9.12)

Если из-за отбрасывания промахов число n повторных опытов во всех точках неодинаково, оценка дисперсии эксперимента определяется по формуле

, (9.13)

где – оценка дисперсии i -го опыта; f_i – число степеней свободы в i -м опыте; равное числу параллельных опытов n_i минус 1.

Число степеней свободы средней дисперсии принимается равным сумме чисел степеней свободы f_i. Формулы (9.12) и (9.13) справедливы только тогда, когда дисперсии однородны, т.е. если среди суммируемых дисперсий не было бы таких, которые превышали бы все остальные. Для сравнения дисперсии но их оценкам пользуются критерием Фишера (F -критерий). Отношение наибольшей оценки дисперсии к наименьшей сравнивается с табличным. Если это значение отношения больше табличного, то оценки дисперсии эксперимента неоднородны.

Наряду с оценкой случайных погрешностей измерений должны быть приняты меры по уменьшению влияния систематических погрешностей, вызванных изменением внешних условий. Для этих целей оказывается эффективной «рандомизация» (от random – случайный) опытов во времени приданием случайного характера последовательности проведения опытов, предусмотренных матрицей планирования.

Обработка результатов эксперимента сводится к последовательному выполнению трех операций:

- вычислению коэффициентов модели (коэффициентов регрессии);

- проверке адекватности модели;

- проверке значимости отдельных коэффициентов регрессии.

Вычисление коэффициентов модели производится с привлечением метода наименьших квадратов (см. гл.6).

Проверка адекватности модели состоит в установлении возможности с помощью выбранной регрессионной модели объекта предсказывать с требуемой точностью значения выходной величины в некоторой области значений входной. Для этого прежде всего вычисляется оценка дисперсии адекватности

, (9.14)

где у_i – реальное значение выходной величины, полученное в результате i -го опыта, у_i_м – значение выходной величины, предсказанное в i -м опыте по полученной модели (для получения у_i_м необходимо подставить в модель значения факторов, предусмотренные матрицей планирования в i -м опыте, вычислить значение у_i_м по значениям факторов и коэффициентов модели); f – число степеней свободы, равное числу различных опытов, результаты которых используются при подсчете коэффициентов модели, минус число определяемых коэффициентов.

Гипотеза об адекватности модели проверяется с помощью F-критерия:

, (9.15)

где – оценка дисперсии воспроизводимости со своим числом степеней свободы.

Модель считается адекватной, если рассчитанное значение F не превышает табличного. При несоблюдении этого условия проводится корректировка модели, вновь определяются коэффициенты и проверяется ее адекватность.

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии проводится по t -распределению Стьюдента. Сначала находят оценки дисперсии коэффициентов регрессионной модели

, (9.16)

затем вычисляется

(9.17)

и сравнивается с табличным при заданном уровне значимости и соответствующем числе степеней свободы. Проверке подлежат все коэффициенты. На основании результатов проверки проводится корректировка модели путем исключения незначимых факторов или эффектов взаимодействия.

Планирование эксперимента при решении задачи оптимизации методом градиента

Задача оптимизации – это отыскание таких значений факторов х_1опт, х_2опт…х_к_опт, при которых функция отклика (целевая функция) достигает экстремального значения:

у (х_1опт, х_2опт,…,х_к_опт) = max(min), (9.18)

при выполнении условий ограничения, число которых r может быть произвольным. Нахождение экстремума функции отклика производится при условии, что функция отклика априори неизвестна.

Решение поставленной задачи целесообразно вести путем последовательного (шагового) поиска экстремума целевой функции. Изучение поверхности отклика производится последовательной постановкой нескольких серий опытов, каждая из которых производится с целью изучения ограниченных участков поверхности отклика и выбора направления движения, приближающего условия к оптимальным. Серии опытов продолжаются до тех пор, пока исследование не выведет на «почти стационарную область» вблизи точки оптимума. После этого ставится большая серия опытов с целью более точного описания поверхности отклика и нахождения точки оптимума.

Чтобы достичь экстремума за наименьшее число шагов, нужно двигаться по направлению наискорейшего возрастания целевой функции. Такого рода движение описывается с помощью вектора, называемого градиентом скалярного поля.

, (9.19)

где – орты (единичные векторы) соответствующих координатных осей.

Сопоставляя (9.19) с линейной полиномиальной моделью, нетрудно сделать вывод, что координаты градиента совпадают с коэффициентами уравнения регрессии а₁, а₂,…,а_к и для максимальной скорости роста целевой функции необходимо двигаться в направлении градиента. Данное направление ортогонально линии равного уровня у(х)=const, проходящей через исходную точку х₀. Обычно считают, что линейная модель является хорошим приближением функции y(x) в некоторой окрестности x₀, ограниченной сферой радиуса

, (9.20)

где sx_j –приращение факторов при удалении от исходной точки на фиксированное расстояние, равное r, j=1,2…k.

Для того чтобы определить, в каком направлении от точки x₀ в пределах r двигаться, чтобы получить максимальное приращение у(х), необходимо решить задачу на условный экстремум, т.е. найти такие sх_j, которые максимизируют при r=const. Задача решается с помощью стандартного метода множителей Лагранжа. В результате решения получается

. (9.21)

Выражение (9.21) представляет собой алгоритм поиска, так как задает линию наискорейшего подъема. Эта линия совпадает с направлением вектора градиента.

Таким образом, направление градиента функции отклика определяется значениями коэффициентов регрессии.

Поясним сущность метода градиента на примере двухфакторной функции отклика у(х₁, х₂). На рис. 9.3 в факторном пространстве изображены кривые равных значений функции отклика (кривые уровня). Если мы выберем какую-либо точку факторного пространства в качестве исходной (х₁₀, х₂₀), то наикратчайший путь к вершине функции отклика (область 110) на этой точке – это путь по кривой 1, касательная к которой в каждой точке совпадает с нормалью к кривой уровня, т.е. это путь в направлении градиента функции отклика. Реализация алгоритма движения по градиенту начинается с построения симметричного двухуровнего плана эксперимента относительно исходной точки х₁₀, х₂₀ факторного пространства. Интервалы варьирования при этом должны быть достаточно малыми, чтобы обеспечить адекватность линейной модели. Затем определяются оценки а₁, а₂,…,а_к коэффициентов регрессии, строится линейная модель у=a₀х₀+a₁x₁+a₂x₂, проверяется ее адекватность и определяется направление градиента.

Дальнейшее движение по градиенту осуществляется переходом из точки х₁₀, х₂₀ в точку с координатами х`₁=х₁₀+â₁l, х`₂=х₂₀+â₂l, где l - положительное число, определяющее величину шага в направлении градиента. Эта точка используется для планирования нового эксперимента. Вновь проводятся все те же действия, что и при предыдущем планировании и определяется новое направление градиента и переход на следующую точку. Таким же образом осуществляются последующие циклы поиска до тех пор, пока все координаты градиента (все оценки коэффициентов а_j) не окажутся весьма близкими к нулю. Подобная ситуация служит признаком того, что достигнута некоторая окрестность точки экстремума.

Рис. 9.3. Поиск максимума методами градиента (1) и крутого восхождения (2)

Недостатком такого алгоритма реализации метода градиента является то, что он требует значительного числа опытов и не обладает высокой помехоустойчивостью.

Другой, часто используемой разновидностью градиентного метода является метод крутого восхождения (метод Бокса-Уилсона). Процедура при реализации этого метода так же, как и в методе градиента, начинается с выбора начальной точки проведения эксперимента и определения направления градиента. Однако в дальнейшем после каждого шага определение градиента не производится, а производится процедура одномерного поиска, когда шаговое движение из начальной точки по направлению градиента осуществляется до попадания в частный оптимум по кривой 2 (см.рис.9.3). Практически это реализуется путем определения у(х₁х₂) после каждого шага: если функция отклика не уменьшается, то движение продолжается. Когда у(х₁х₂) начнет уменьшаться, движение по градиенту прекращается, проводится новое планирование для точки частного оптимума, принимаемой за исходный уровень. Проводятся опыты и определяется новое направление движения, и так до достижения максимума целевой функции, когда все координаты градиента в очередном цикле будут близки к нулю.

Очевидно, что метод крутого восхождения по сравнению с градиентным методом обладает меньшей трудоемкостью.

Вопросы для самопроверки

В чем состоят цели и содержание основных вопросов, прорабатываемых при подготовке измерительного эксперимента?
В чем суть основных понятий, определяющих содержание научного планирования эксперимента: «план эксперимента», «пассивный» и «активный эксперимент»; «математическая модель объекта»; «факторы», «область определения», «область возможных (допустимых) планов эксперимента», «отклик», «функция отклика»?
Как проводится планирование одно- и многофакторных экспериментов?
В чем состоят особенности и как в общем случае решаются задачи и реализуются основные этапы планирования многофакторного активного эксперимента?
Как составляется, с использованием каких приемов и какими свойствами должна обладать матрица (реплика) планирования полного факторного активного эксперимента?
Как находятся оценки коэффициентов математической модели при планировании полного факторного активного эксперимента?
На каком принципе основано сокращение числа опытов при планировании дробного факторного эксперимента? Как составляются дробные реплики?
В чем состоят общие принципы планирования эксперимента из условия оптимума функции отклика с применением метода градиента?