Рассмотрим задачу оптимальной линейной фильтрации случайных сигналов, когда неизвестна форма полезного сигнала и возникает необходимость восстановления сигнала х(t) или его характеристик. Линейная фильтрация основана на том, что энергетические спектры полезного сигнала и помехи различаются своим частотным содержанием. Предполагается, что полезный сигнал х(t) и помеха x(t) отвечают условиям стационарности, нормально распределены и не коррелированы между собой. Аддитивная смесь z(t) сигнала и помехи, спектральные плотности мощности которых известны, подается на оптимальный линейный фильтр, обеспечивающий фильтрацию с минимальной погрешностью.
Возможны варианты желаемого преобразования полезного сигнала: фильтрация без запаздывания и фильтрация с задержкой или предсказанием. При фильтрации без запаздывания t=0 (т.е. моменты приложения сигнала к входу фильтра и отсчета совпадают). Если t<, то осуществляется фильтрация с задержкой, которую также называют интерполяцией. В этом случае желаемый частотный коэффициент передачи имеет вид
. (7.19)
Однако частотный коэффициент передачи линейного фильтра 
имеет несколько иной вид:
, (7.20)
где 
- АЧХ фильтра; j(w) – ФЧХ фильтра.
Отличие выражений (7.19) и (7.20) является причиной искажения полезного сигнала и появления соответствующей составляющей погрешности фильтрации eх. Вторая составляющая погрешности фильтрации ex обусловлена входным шумом, прошедшим через фильтр.
Согласно теории случайных процессов, связь межу дисперсией s стационарного случайного процесса и его спектральной плотностью мощности W(w) может быть представлена в виде
, (7.21)
а связь между спектрами мощности выходного случайного сигнала с аналогичным спектром на входе системы – в виде
. (7.22)
Используя (7.21) и (7.22), получим выражение для дисперсии суммарной погрешности фильтрации
| (7.23) |
или, после преобразования,
| (7.24) |
Минимум подынтегральной функции найдем из условия
.
После дифференцирования получим выражения АЧХ оптимального фильтра и дисперсии его суммарной погрешности:
; (7.25)
. (7.26)
Для определения АЧХ подставим в (7.23) тригонометрические представления Kф(jw) и Kж(jw) из формул (7.19) и (7.20). Получим после преобразования:
| (7.27) |
Условием минимума 
является наибольшее значение 
или
,
тогда оптимальная фазочастотная характеристика фильтра определяется выражением
.
Для решения задач фильтрации случайных сигналов, наряду с методами оптимальной линейный фильтрации с интерполяцией находит применение метод экстраполяции (прогнозирования) [18]. Задача оптимальной экстраполяции сводится к поиску такого линейного алгоритма обработки входного сигнала z(t), который позволял бы получить оценку 
того значения полезного сигнала 
, которое он примет на момент времени t+tэ, где t – момент наблюдения сигнала на выходе фильтра, tэ – время экстраполирования.
Предполагается, что фильтр должен представлять собой инерционную линейную систему, сигнал 
на выходе которой должен зависеть не только от смеси z(t) полезного сигнала с аддитивной помехой в момент времени t, но и от его значений в предыдущие моменты времени. Величина сигнала 
формируется на выходе линейной системы путем сложения (суперпозиции) всех значений z(t), каждое из которых умножено на импульсную переходную функцию h(t,t) (t - момент приложения сигнала к входу фильтра).
В общем случае связь процесса 
на выходе линейной системы с процессом на входе сигнала z(t) описывается выражением
. (7.28)
Следовательно, свойства фильтра полностью определяются функцией h(t,t).
Условием физической осуществимости фильтра является h(t,t)=0 при t<t, т.е. сигнал на выходе 
в данный момент времени зависит только от значений, предшествующих этому моменту z(t). Поэтому верхний предел интегрирования в выражении (7.28) следует ограничить значением t. Если z(t)=0 при t<0, то нижний предел интегрирования равен нулю. Учитывая стационарность входного сигнала, можно допустить, что линейный фильтр имеет постоянные параметры, а его h(t,t) зависит только от разности t-t, т.е. h(t1–t)= h(t–t). Учитывая сказанное, выражение (7.28) преобразуем к виду
. (7.29)
Для фильтра с предсказанием
. (7.30)
Погрешность фильтрации с экстраполяцией является случайным процессом с математическим ожиданием, равным нулю. Оценка отвечает требованию несмещенности. Поэтому, как и в задаче оптимальной фильтрации, близость оценки 
к истинному значению х(t+tэ) определяется дисперсией 
погрешности экстраполяции e:
(7.31)
Подставив в (7.31) значение g[z(t)] из выражения (7.30) и заменив произведение двух одинаковых интегралов {g[z(t)]}2 двойным интегрированием с переменными t и t`, получим:
;
где 
– корреляционная функция входного сигнала z(t); Rzx(t+tэ) – взаимная корреляционная функция полезного х(t) и входного z(t) сигналов.
Следовательно, дисперсия погрешности фильтрации с экстраполяцией определяется выражением
(7.32)
Для того чтобы определить оптимальную импульсную характеристику фильтра-экстраполятора, следует найти минимум 
. Задача может быть решена двумя способами [16,18]: либо решением интегрального уравнения Винера-Хопфа, либо путем решения дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями (метод фильтрации Калмана-Бьюси). Техническая реализация фильтров как одного, так и другого связана со значительными трудностями, поэтому в аналоговой линейной фильтрации используются в основном фильтры Баттерворта и им подобные.
Цифровая фильтрация
В связи с развитием микроэлектронных вычислительных устройств и систем в настоящее время находят широкое применение методы цифровой фильтрации, реализуемые с помощью линейных стационарных цифровых фильтров. Принцип цифровой обработки сигналов иллюстрируется структурной схемой (рис. 7.8).
|
Рис. 7.8. Структурная схема цифровой обработки непрерывных сигналов
С помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП) входной сигнал преобразуется в дискретную последовательность цифровых отсчетов в виде двоичных кодовых комбинаций, отображающих результаты измерения мгновенных значений х(кТ) в моменты подачи синхронизирующих импульсов от генератора, задающего частоту дискретизации. Цифровой процессор преобразует поступающие в него числа в соответствии с заданным алгоритмом фильтрации и создает на выходе последовательность двоичных чисел y(кТ). Причем в устройстве памяти, входящем в состав процессора, может храниться некоторое число предшествующих отсчетов входного и выходного сигналов, которые необходимы для выполнения операций обработки. Цифроаналоговый преобразователь (ЦАП) в сочетании с аналоговым фильтром низких частот задействуется только в тех случаях, когда выходной сигнал требуется получать в аналоговой форме.
Теория линейной цифровой фильтрации [19] основана на теории линейных стационарных систем, согласно которой входной сигнал преобразуется системой таким образом, что на ее выходе возникает колебание y(t), равное свертке функций х(t) и импульсной характеристики h(t):
. (7.33)
Линейным цифровым фильтром называется дискретная система (физическое устройство или программа ЭВМ), которая преображает последовательность {xk} числовых отсчетов входного сигнала в последовательность {yk} отсчетов выходного сигнала:
,
или сокращенно
.
Основным свойством линейного цифрового фильтра является преобразование суммы любого числа входных сигналов, умноженных на произвольные коэффициенты, в сумму его откликов на отдельные слагаемые, т.е. из соответствий
следует, что
. (7.34)
Применительно к дискретным сигналам, преобразуемым цифровыми фильтрами, под импульсной характеристикой понимается дискретный сигнал {hk}, который является реакцией цифрового фильтра на «единичный импульс» (рис.7.9):
. (7.35)
Линейный цифровой фильтр стационарен, если при смещении единичного импульса на любое число интервалов дискретизации импульсная характеристика смещается таким же образом, не изменяясь по форме. Например:
(7.36)
Рассмотренные свойства линейности и стационарности фильтра положены в основу алгоритма цифровой фильтрации. На основании (7.34) и (7.36) при подаче на вход фильтра сигнала {xk}=(х0, х1, х2,…) m -й отсчет выходного сигнала {yk} может быть выражен соотношением
Рис. 7.9. Реакция цифрового фильтра на единичный входной импульс
|
(7.37)
Формула (7.37) является основной в теории линейной цифровой фильтрации. Согласно этому выражению выходная последовательность есть дискретная свертка входного сигнала и импульсной характеристики фильтра. При каждом отсчете цифровой фильтр проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений входного сигнала. Роль последовательности весовых коэффициентов играют отсчеты импульсной характеристики, что предполагает обладание фильтром некоторой «памяти» по отношению к прошлым входным воздействиям.
Для физически реализуемых фильтров коэффициенты h-1, h–2,… обращаются в нуль. Поэтому суммирование по (7.37) распространяется только на положительные значения индекса k, т.е. m=1, 2, …
Итак, в цифровом фильтре реализуется цифровое перемножение числовых значений дискретизированного входного сигнала {xk} на весовые коэффициенты {hk}, равные соответствующим значениям заданной импульсной характеристики фильтра. Перемножением соответствующих весовых коэффициентов на текущие и все k-1 предшествующие числовые значения сигнала {xk} и суммированием получают числовое значение дискретизированного входного сигнала {yk} в данный момент времени.
Алгоритм цифровой фильтрации представляют и в несколько иной форме, чем в формуле (7.37). Цифровой фильтр рассматривается как цифровое устройство, реализующее в общем случае решение уравнения в конечных разностях вида
, (7.38)
где х(kТ), y(kT), k=0,1,2, … - отсчеты входного и выходного сигналов, соответственно; ai, bi – коэффициенты фильтра.
Первое слагаемое в правой части (7.38) определяется действием обратной связи в структуре фильтра. Если хотя бы один из коэффициентов ai¹0, то фильтр, реализующий этот алгоритм, называют рекурсивным. Если же все коэффициенты ai=0, то получим нерекурсивный (трансверсальный) фильтр, реализующий алгоритм:
. (7.39)
Передаточная функция H(z) цифровых фильтров определяется через z -образы выходного y(z) и входного x(z) сигналов (при нулевых начальных условиях):
. (7.40)
Получают z-образ применением преобразования Лапласа к дискретному сигналу, представленному выражением
. (7.41)
Применив преобразования Лапласа, получим:
. (7.42)
Приняв
, (7.43)
получим z -образ:
. (7.44)
Использовав формулы (7.38), (7.40), (7.44), получим выражение передаточной функции для рекурсивного цифрового фильтра:
. (7.45)
По формулам (7.39), (7.40), (7.44) получим выражение передаточной функции для нерекурсивного фильтра:
. (7.46)
Комплексные частотные коэффициенты передачи цифровых фильтров определяют из (7.45) и (7.46) при условии p=jw:
; (7.47)
. (7.48)
Определив модули и аргументы комплексов (7.47) и (7.48), можно получить выражения для АЧХ и ФЧХ соответствующих фильтров.
Импульсная характеристика (весовая функция) h(kТ) цифровых фильтров связана с комплексным частотным коэффициентом передачи преобразованием Фурье:
; (7.49)
. (7.50)
В настоящее время цифровые фильтры нашли широкое применение, так как позволяют реализовывать сложные перестраиваемые алгоритмы обработки, что практически невозможно с помощью аналоговой техники. Цифровые фильтры превосходят аналоговые по точности обработки сигналов и другим характеристикам.
Недостатками цифровых фильтров являются более высокие, чем у аналоговых, сложность и стоимость, а также наличие методических погрешностей, связанных с дискретизацией и квантованием сигналов.
Вопросы для самопроверки
1. Каковы цели, задачи и виды фильтрации измерительных сигналов? Что является основной характеристикой фильтра? Какие фильтры называют идеальными, реальными, физически реализуемыми, математическими?
2. Что называют согласованным фильтром, какова должна быть его импульсная характеристика? Через какую функцию может быть выражен сигнал на выходе согласованного фильтра? Каков его частотный коэффициент?
3. Каков алгоритм расчёта АЧХ и дисперсии суммарной погрешности оптимального линейного фильтра при фильтрации случайных сигналов с интерполяцией?
4. В чём заключается задача оптимальной линейной фильтрации случайных сигналов с экстраполяцией? Какое математическое выражение описывает сигнал на выходе такого фильтра и как определить погрешность?
5. В чём суть и алгоритм цифровой фильтрации? В чём заключаются свойства линейности и стационарности цифрового фильтра?
