Загальна факторна і залишкова суми квадратів відхилень

Нехай на кількісну нормально розподілену ознаку впливає фактор , який має постійних рівнів. Припускатимемо, що число спостережень

 

Номер випробування	Рівні чинника
Групова середня

 

(випробувань) на кожному рівні однакове і дорівнює .

Нехай спостерігалося значень ознаки , де – номер випробування , – номер рівня фактора . Результати спостереженні приведені в таблиці.

Введемо, за означенням

(загальна сума квадратів відхилень спостережуваних значень від загальної середньої ),

(факторна сума квадратів відхилень групових середніх від загальної середньої, яка характеризує розсіяння «між групами»)

(залишкова сума квадратів відхилень спостережуваних значень групи від своєї групової середньої, яка характеризує розсіяння «усередині груп»).

Практично залишкову суму знаходять по рівності

.

Елементарними перетвореннями можна отримати формули, більш зручні для розрахунків:

,

,

де – сума квадратів значень ознаки на рівні ; – сума значень ознаки на рівні .

 

Зауваження. Для спрощення обчислень віднімають з кожного спостережуваного значення одне і те ж число , приблизно рівне загальній середній. Якщо зменшені значення , то

де – сума квадратів зменшених значень ознаки на рівні ; – сума зменшених значень ознаки на рівні .

Для виводу формул і достатньо підставити в співвідношення і у співвідношення .

 

Пояснення.

1. Переконаємося, що характеризує дію фактора . Припустимо, що фактор робить істотний вплив на . Тоді група спостережуваних значень ознаки на одному певному рівні, взагалі кажучи, відрізняється від груп спостережень на інших рівнях. Отже, розрізняються і групові середні, причому вони тим більше розсіяні навкруги загальної середньої, чим більшою виявиться дія фактора. Звідси витікає, що для оцінки дії фактора доцільно скласти суму квадратів відхилень групових середніх від загальної середньої (відхилення підносять до квадрату, щоб виключити погашення додатних і від’ємних відхилень). Помноживши цю суму на отримаємо . Отже, характеризує дію фактора.

2. Переконаємося, що відображає вплив випадкових причин. Здавалося б, спостереження однієї групи не повинні розрізнятися. Проте, оскільки на , окрім фактора , впливають і випадкові причини спостереження однієї і тієї ж групи, взагалі кажучи, різні і, значить, розсіяні навкруги своєї групової середньої. Звідси витікає, що для оцінки впливу випадкових причин доцільно скласти суму квадратів відхилень спостережуваних значень кожної групи від своєї групової середньої, тобто . Отже, характеризує дію випадкових причин.

3. Переконаємося, що відображає вплив і фактора і випадкових причин. Розглядатимемо всі спостереження як єдину сукупність. Спостережувані значення ознаки різні унаслідок дії чинника і випадкових причин. Для оцінки цієї дії доцільно скласти суму квадратів відхилень спостережуваних значень від загальної середньої, тобто .

Отже, характеризує вплив фактора і випадкових причин.

Наведемо приклад, який наочно показує, що сума фактора відображає вплив фактора, а залишкова – вплив випадкових причин.

 

Приклад. Двома приладами проведені по два вимірювання фізичної величини, істинний розмір якої дорівнює . Розглядаючи в якості фактора систематичну помилку , а в якості його рівнів – систематичні помилки і відповідно першого і другого приладу, показати, що визначається систематичними, а – випадковими помилками вимірювань.

Розв’язання. Введемо позначення: , – випадкові помилки першого і другого вимірювань першим приладом; , – випадкові помилки першого і другого вимірювань другим приладом.

Тоді спостережувані значення результатів вимірювань відповідно дорівнюють (перший індекс при указує номер вимірювання, а другий – номер приладу):

, ; , .

Середні значення вимірювань першим і другим приладами відповідно дорівнюють:

,

Загальна середня

,

факторна сума

Підставивши величини, укладені в дужках, після елементарних перетворень отримаємо

.

Ми бачимо, що визначається головним чином, першим доданком (оскільки випадкові помилки вимірювань малі) і, отже, дійсно відображає вплив фактора .

Залишкова сума

.

Підставивши величини, укладені в дужках, отримаємо

.

Ми бачимо, що визначається випадковими помилками вимірювань і, отже, дійсно відображає вплив випадкових причин.

Зауваження. Те, що породжується випадковими причинами, виходить також з рівності

.

Дійсно, є результатом дії фактора і випадкових причин; віднімаючи , ми виключаємо вплив фактора. Отже, «залишкова частина», відображує вплив випадкових причин.