Приборы и оборудование, используемые в лабораторной работе

Лабораторная работа №24

Исследование входных характеристик и трансформирующих свойств цепей с распределенными параметрами

1. Цель работы: изучить входные характеристики и трансформирующие свойства цепей с распределенными параметрами.

Теоретические положения

Входное сопротивление цепи с распределенными параметрами в некотором сечении линии можно рассчитать, поделив комплексное действующие значение напряжения на комплексное действующее значение тока в данном сечении. В общем случае для линии без потерь

Z _вх= ,

где ℓ /λ – электрическая длина линии.

В режиме холостого хода (I₂=0) Z _вх имеет чисто мнимый характер:

Z _вх.х= .

Напомним, что для линии без потерь Z _вх= – величина вещественная.

Тот факт, что Z _вх.х=jX чисто реактивное, означает, что в длинной линии без потерь мощность падающей волны нигде не расходуется и полностью возвращается к генератору в виде мощности отраженной волны, т.е. длинная линия обменивается реактивной мощностью с источником энергии.

Если ℓ /λ – целое число, то Z _вх может быть равно нулю или ±∞. В этих случаях в длинной линии наблюдается резонанс токов или напряжений.

Условия резонанса токов ℓ /λ=(1/4)(2к+1), к=0,1,2,3,…∞.

Условия резонанса напряжений ℓ /λ=к/2, к=1,2,3,…∞.

При ℓ =0 Z _вх=-j∞, при ℓ =λ/4 Z _вх=0; при ℓ =λ/2 Z _вх=j∞ и т.д. Зависимость X_вх.х от длины линии показаны на рис.1. Как видно из рисунка, входное сопротивление разомкнутой линии длиной менее четверти длины волны имеет емкостной характер, длиной от ¼ до ½ – индуктивный характер и т.д. Свойства разомкнутого отрезка линии длиной ¼ и ½ подобны свойствам последовательного и параллельного контуров.

Примечание: Разомкнутая линия с сосредоточенными параметрами в режиме х.х. может рассматриваться как совокупность двух обкладок конденсатора, обладающего емкостью С_л=С₀· ℓ.

В режиме короткого замыкания входное сопротивление линии имеет также чисто реактивный характер, причем знак Z _вх.к также меняется через четверть длины волны, так как “tg”– функция нечетная.

Z _вх.к= .

X_вх.х

 

 

ℓ λ 3λ/4 λ/2 λ/4

 

Рис.1

Зависимость X_вх.к. короткозамкнутой линии без потерь от электрической длины ℓ линии изображена на рис.2. Следует обратить внимание на то, что короткозамкнутая линия без потерь длиной в четверть длины волны имеет бесконечно большое входное сопротивление. Если в линии имеются потери, то входное сопротивление не бесконечно, но достаточно велико. Этим свойством короткозамкнутых четвертьволновых линий часто пользуются на практике. В

X_вх.х

 

 

ℓ λ 3λ/4 λ/2 λ/4

 

 

Рис.2

линии без потерь, нагруженной на несогласованную нагрузку (Z _н=R₂≠ρ);

причем при R₂> ρ:

где

Из этих выражений следует, что входное сопротивление в любом сечении “ ℓ ” длинной линии имеет комплексный характер, за исключением тех сечений, где sin(2β ℓ)=0. Называя эти сечения резонансными можем найти ℓ _рез=n·λ/ ℓ, где n=0,1,2,….

Следовательно, резонансные сечения повторяются через λ/4 считая от конца линии. В этих сечениях Z _вх имеет активный характер.

При 0< ℓ <λ/4, Z _вх=R-jX; ℓ _рез=λ/4, Z _вх= ρ /R₂.

При λ/4< ℓ <λ/2, Z _вх=R+jX; ℓ _рез=λ/2, Z _вх=R₂.

Рассматривая аналогично режим при R₂<ρ, можно найти ℓ _рез=n·λ/4, откуда:

при n=0, ℓ _рез=0, Z _вх=R₂;

при 0< ℓ <λ/4 “X” имеет индуктивный характер; ℓ _рез=λ/4, Z _вх= ρ²/R₂;

при λ/4 < ℓ <λ/2 “X” имеет емкостной характер; ℓ _рез=λ/2, Z _вх=R₂.

Следовательно, отрезок линии длиной λ/4 замкнутый на (R₂<ρ) является трансформатором сопротивления, повышающим “R₁” до величины ρ²/R₂>R₂.

Для получения наперед заданного сопротивления R₁>R₂ можно применить четвертьволновой трансформатор с .

При замыкании линии на элемент с чисто реактивным сопротивлением входное сопротивление будет иметь вид:

– длинная линия замкнута на емкость

Z _вх=jρ·ctg[β(ℓ + ℓ `)], где ℓ `= < λ/4;

– длинная линия замкнута на индуктивность

Z _вх=jρ·tg[β(ℓ + ℓ `)], где ℓ `= < λ/4.

В линии без потерь, нагруженный на резистор, сопротивление которого равно волновому, ,

Z _вх= .

Таким образом, при согласованной нагрузке напряжения на любом расстоянии от конца линии равно напряжению, подведенному от генератора, ток , а входное сопротивление линии в любом сечении равно волновому: Z _вх= ρ (см. рис.5).

Рассмотрим входное сопротивление отрезка линии без потерь длиной λ/4, нагруженного на резистор Z _н=R_н (рис.3). Если в выражениях для и ℓ =λ/4,

то:

A D

 

 

Z _вх(λ/4) ρ Z _н ρ₁ ρ₂ Z _н= ρ₂

 

 

ℓ= λ/4 B ℓ = λ/4 F

 

 

Рис.3 Рис.4

При этом входное сопротивление линии

.

 

Следовательно, входное сопротивление четвертьволновой линии обратно пропорционально сопротивлению нагрузки Z _н. Этим свойством четвертьволновых линий широко пользуются для практических целей, например, для согласования линии с нагрузкой или для согласования линий с различными волновыми сопротивлениями. Пусть волновое сопротивление первой линии ρ₁, второй – ρ₂. Чтобы выход первой линии соединить с входом второй, необходимо между этими линиями поставить согласующий трансформатор в виде четверть волнового отрезка линии с волновым сопротивлением (рис.4). Для ρ₁=100 Ом; ρ₂=400 Ом волновое сопротивление согласующей линии =200 Ом. Тогда выход первой линии будет нагружен на R=200²/400=100 Ом, а вход второй линии подключен к R=200²/100=400 Ом (рис.5).

A D A D

 

ρ₁=100 Ом Z _н1=400 Oм Z _н1=100 Oм

Z _вх=400 Ом Z _н2=400 Oм

 

ρ_согл=200 Ом ρ_согл=200 Ом

 

B ℓ =λ/4 F B ℓ =λ/4 F

 

Рис.5

Таким образом, если первая линия не имеет согласующего трансформатора, то для получения согласованного режима ее следует нагрузить на резистор с сопротивлением 100 Ом. Если к концу линии подключить четвертьволновый отрезок с волновым сопротивлением 200 Ом, то для согласной работы первой линии к выходным точкам согласующей линии (к точкам D, F на рис.4) нужно подключить не 100, а 400 Ом. Аналогично, для согласованной работы второй линии к ее выходу необходимо подключить без какого-либо согласующего устройства источник сопротивлением 100 или 400 Ом, включенный через согласующую линию.

Предварительный расчет

 

1. Рассчитать и построить зависимости комплексных входных сопротивлений от длины линий, работающих в режимах холостого хода, короткого замыкания, согласованной нагрузки. Построить соответствующие кривые. (Исходные данные берут в соответствии с номером стенда.)

2. Определить частоты, при которых на линии укладывается длина волны от λ до (4/16) λ через (1/16) λ. Результаты расчетов занести в табл.1.

3. Вычислить входное сопротивление четвертьволнового отрезка линии, нагруженного на резистор сопротивлением R_н=15, 50, 100, 200, 400, 800, 1500, 3000, 10 000, 20 000 Ом. Результаты расчетов занести в табл.2.

 

3.2. Задание. Проанализировать зависимость полного сопротивления линии от электрической длины. Исследовать трансформирующие свойства четвертьволнового отрезка линий.

Приборы и оборудование, используемые в лабораторной работе

1. Длинная линия или цепь с распределёнными параметрами.

2. Цифровой вольтметр.

3. Задающий генератор.

4. Электронно-лучевой осциллограф.

5. Магазин сопротивлений.

Порядок выполнения работы

1. Собрать цепь по схеме рис.6. Установить частоту генератора “f”, при которой длина заданной линии равна “λ” (см. предварительный расчет к работе “ Исследование распределения напряжения в длинных линиях ”), режим холостого хода.

 

 

V₁

R_ш=1 Ом

 

V_I

Рис.6

 

Определить зависимость входного сопротивления линии от электрической длины волны. Для этого следует уменьшить частоту генератора поддерживая U₁= В=const. По мере уменьшения частоты длина волны увеличивается, следовательно, длина линии будет равна не длине волны, а только ее части. Устанавливать поочередно частоты: f; (15/16)f; (14/16)f; (13/16)f… При снижении частоты до (12/16)f входное сопротивление линии уменьшается и при (12/16)f становится минимальным, поскольку ℓ =(3/4)λ. Изменять частоту следует медленно. При этом входное сопротивление, а следовательно, входной ток и показания вольтметра V₁ меняются в широких пределах.

Таблица 1

 

ℓ /λ

Z вх=

f, кГц

Рассчитано теоретически

Получено при эксперименте

Рассчитано по эксперименталь-ным данным

при Z н= =ρ

при кз

при хх

при Z н=ρ

при Z н=0

при Z н=∞

при Z н= =ρ

при кз

при хх

Rш, Ом

UI, мВ

Rш, Ом

UI, мВ

Rш, Ом

UI, мВ

4/16 5/16 6/16 7/16 8/16 9/16 10/16 11/16 12/16 13/16 14/16 15/16 16/16

 

 

При выполнении экспериментов нужно своевременно изменять пределы на вольтметре V_I. В районе (12/16)f найти частоту, при которой действующее значение тока максимально, т.е. входное сопротивление – минимально. При этой частоте длина линии равна (3/4)λ. При дальнейшем снижении частоты входное сопротивление линии увеличивается, ток в цепи и падение напряжения на внутреннем сопротивлении генератора уменьшаются, а напряжение на внешних зажимах генератора увеличивается. Поддерживать неизменным напряжение U₁. Устанавливать частоты (11/16)f; (10/16)f; (9/16)f; (8/16)f (для точной установки частоты, при которой длина линии равна ℓ =(1/2)λ, следует около (8/16)f найти частоту, при которой ток в цепи минимален). Аналогично, установить частоты (7/16)f; (6/16)f; (5/16)f; (4/16)f. При частоте (4/16)f длина линии равна λ/4. Результаты измерений занести в таблицу 1.

2. Проделать аналогичные эксперименты в режиме короткого замыкания и согласованной нагрузки.

3. Найти частоту, при которой ℓ =λ/4. К выходным зажимам линии подключить магазин сопротивлений. Установить значение сопротивлений нагрузки линии в соответствии с п.3 предварительного расчета. При этом следует учитывать сопротивление линии, равное примерно 15 Ом. При R_н=15 Ом на магазине сопротивлений нужно набрать R_м=0 Ом, при R_н=50 Ом – R_м=50 – 15=35 Ом и т.д.

Записать показания вольтметров V₁, V_I и сопротивление резистора R_ш. Результаты измерений занести в таблицу 2.

 

Таблица 2

 

U1= В; ρ=; ℓ =λ/4
Z н, Ом	Рассчитано теоретически Z вх, Ом	Получено при эксперименте	Рассчитано по экспериментальным данным
UI, мВ	Rш, Ом	Z вх, Ом	К
. . .