Тема №8. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений.

Задание: графически и численно решить систему нелинейных алгебраических уравнений, на примере поиска точек пересечения двух функций.

Исходные данные:

график строится по исходным данным, определяемым в виде констант в программе:

а) координаты верхнего левого угла прямоугольника, в котором должен быть расположен график;

б) размеры прямоугольника;

в) количество линий координатной сетки по каждой из осей;

г) диапазон изменения аргумента;

Решение нелинейного алгебраического уравнения проводить одним из методов:

- простых итераций;

- дихотомии (деления отрезка пополам);

- пошаговых приближений.

 

Примерный внешний вид результата решения на экране:

 

Как видно из этого рисунка на экране должны быть изображены:

- графики функций,

- оси координат,

- координатная сетка,

- предельные значения по осям.

 

А также должны присутствовать координаты точек пересечения, например:

 

X -0.8 +0.8

Y +0.7 +0.7

 

Также должно быть предусмотрено сохранение:

1) координат точек пересечения в типизированном файле;

2) таблицы обеих функций в отдельных нетипизированных файлах (под таблицей функции подразумевается двумерный массив, первый столбец которого – это значения аргумента, а второй – значения функции).

 

Варианты заданий

 

Таблица № 1
№	система уравнений	отрезок аргумента
		-5<x<5
		-5<x<5
		-5<x<5
		-5<x<3
		-5<x<5
		-5<x<5
		-5<x<5
		-5<x<5
		-5<x<5
		-5<x<5
		-5<x<10
		-5<x<10
		-5<x<5
		0.5<x<1
		0.5<x<1

 

Напомним, что решение нелинейного алгебраического уравнения вида F(x) = 0 состоит в том, чтобы найти такие значения переменной x, при которых значение функции F(x) обращается в нуль. Поиск решения уравнения ведется в пределах отрезка значений аргумента x. Отрезок, на котором ведется поиск решения, в данной задаче задан. Процесс поиска итерационный. Общий алгоритм поиска для всех трех методов решения следующий:

1. Задается начальное значение для аргумента x

2. По значению аргумента x вычисляется новое значение аргумента x.

3. Проверяется условие достижения наперед заданной точности и, если условие выполняется, то вычисленное значение принимается за решение, в противном случае алгоритм повторяется, начиная со 2-го пункта.

Для обеспечения сходимости итерационного процесса в зависимости от алгоритма метода должно быть выполнено несколько условий.

Для использования метода простых итераций необходимо выполнение следующих условий:

1. Решение уравнения в пределах указанного отрезка должно быть единственным.

2. Уравнение F(x) = 0 можно преобразовать к виду x = f(x).

3. Первая производная функции f(x) должна быть меньше 1 на всем отрезке.

В данном методе на каждом шаге итерации вычисляется очередное значение x, по формуле x = f(x). Вычисления заканчиваются, когда разность предыдущего и нового значений x станет меньше заданной точности вычисления корня.

// функция f(x)

function f (x: real): real;

begin

f:= sin (x) + 0.25;

end;

var x, e: real;

begin

writeln ('Решение уравнения x = sin(x) + 0.25 методом простых итераций');

writeln;

write ('Задайте начальное значение x x0 = ');

readln (x);

write ('Задайте погрешность вычисления результата e = ');

readln (e);

while abs (f (x) - x) >= e do

begin

x:= f (x);

writeln (x: 12: 9);

end;

writeln;

writeln('Корень уравнения x = ', x: 12: 9);

write('Для продолжения нажмите <Enter>');

readln;

end.

Метод деления отрезка пополам (дихотомии) можно применять, при условии, что на выбранном отрезке есть только один корень, и реализуется следующим алгоритмом:

1. Исходный отрезок [a,b], на котором ищется корень, делится пополам.

2. Если значение функции F(x) в середине отрезка совпадает по знаку с левой границей отрезка, то левая граница отрезка переносится в середину отрезка, в противном случае в середину отрезка переносится правая граница.

3. Если размеры отрезка больше заданной точности, то повторить действия, начиная с первого пункта, в противном случае любая из границ отрезка принимается за решение.

function F (x: real): real;

begin

F:= x - sin (x) - 0.25;

end;

var

a, b, x, e: real;

begin

writeln;

writeln('Решение уравнения x-sin(x)-0.25=0 методом дихотомии');

writeln;

repeat

writeln('Задайте границы отрезка [a,b], причем а<b ');

write('a = ');

readln (a);

write('b = ');

readln (b);

until b > a;

write('Задайте погрешность вычисления результата e = ');

readln (e);

repeat

x:= (a + b) / 2;

if F (x) * F (a) > 0

then a:= x

else b:= x;

until (b - a) < e;

writeln('Корень уравнения x = ', x: 12: 9);

write('Для продолжения нажмите <Enter>');

readln;

end.

Метод пошаговых приближений позволяет найти все решения на заданном отрезке и реализуется следующим алгоритмом:

1. По виду графика выбирается начальное значение шага таким, чтобы оно было меньше расстояния между ближайшими корнями.

2. На каждом шаге по значениям функций в граничных точках проверяется наличие корня на выбранном отрезке.

3. Если корень есть, то величину шага уменьшают в заданное число раз, например, N=5.

4. Если значение полученного шага меньше, чем заданная точность, деленная на N, то начало отрезка принимается за корень. иначе выполняют действия, начиная с пункта 2.

Для определения отрезка, на котором есть корень в приведенном ниже примере используется функция SubRange, а для вычисления корня - функция Root.