Основные определения и формулы

ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ВЫБОРКИ И ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ

Под генеральной совокупностью с функцией распределения F_ξ(x) будем понимать гипотетическую совокупность всех возможных значений случайной величины ξ. Вместо функции распределения F_ξ(x) может использоваться плотность распределения f_ξ(x), либо закон распределения ξ, заданный в виде таблицы.

Набор n значений случайной величины, полученных в результате эксперимента, называется выборкой объема n из генеральной совокупности, а числа х₁, х₂,..., х_n – выборочными значениями случайной величины ξ.

Выборке { х₁, х₂,..., х_n } поставим в соответствие случайную величину, принимающую эти значения с вероятностями 1/n:

и будем называть ее выборочным распределением.

Первичная обработка выборки включает следующие операции:

1) упорядочение по возрастанию х₁ < х₂ <... < х_n, приводит исходные данные к выборке, которая называется вариационным рядом;

2) вычисление частоты n_i элемента z_i в том случае, когда z₁, …, z_k представляют разные (не равные между собой) числа в исходной выборке { х₁, х₂,..., х_n } так, что n_i равно числу повторяющихся элементов, соответствующих z_i (i = 1, …, k); полученная таким образом новая выборка { z_i, n_i } называется статистическим рядом;

3) вычисление относительной частоты ν_i = n_i/n и последовательных сумм ν₁+ ν₂+ …+ ν_i, которые представляют накопленные частоты элемента z_i.

Для получения статистического ряда { z_i, n_i } может использоваться и более общий механизм, когда z_i представляет не просто равные элементы, а близкие в определенном смысле. Например, это могут быть элементы, попадающие в i -й полуинтервал вида [ x_i, x_i₊₁).

Если функция распределения зависит то некоторого параметра θ, то есть F_ξ(x) = F_ξ(x, θ), то можно рассмотреть задачу оценивания этого параметра по n значениям выборочных данных { х₁, х₂,..., х_n }. Функцию θ_n от этих значений будем называть оценкой параметра θ.

Если в качестве оценок используются выборочные характеристики случайной величины, оценки называются точечными. Такими оценками являются:

§ выборочное среднее

,

для нахождения которого в Excel используется функция СРЗНАЧ (x₁;x₂;…,x_n);

§ выборочная дисперсия

для нахождения которой в Excel используется функция ДИСП (x₁; x₂; …, x_n).

Если для параметра θ можно указать некоторый интервал (θ₁, θ₂), для которого

p (θ₁< θ < θ₂) = 1 – α,

где α – малое число, называемое уровнем значимости, то говорят об интервальных оценках. Интервал (θ₁, θ₂) называется доверительным интервалом для параметра θ с доверительной вероятностью 1 – α. В рассматриваемых упражнениях будем строить симметричные интервалы вида (θ₁, θ₂) = (θ_n - Δ, θ_n + Δ) для точечной оценки θ_n параметра θ.

При известной дисперсии σ² нормальной генеральной совокупности значение Δ для математического ожидания задается формулой

,

где z_1-_α_/2 вычисляется c помощью функции Excel НОРМСТОБР(вероятность).

Пример 1

В ходе исследования рецидивной преступности из документов были собраны данные о числе повторных судимостей двадцати случайно отобранных человек, имевших в прошлом одну или более судимостей. Число повторных судимостей приведено в таблице:

Задача:

· Провести первичную обработку рассматриваемых данных, построить график накопленных относительных частот и найти доверительный интервал с уровнем значимости α = 0,05