Одноканальная СМО с отказами

Системы массового обслуживания с отказами

Простейшей из всех задач теории массового обслуживания является модель одноканальной СМО с отказами (потерями).

При этом система массового обслуживания состоит только из одного канала и на нее поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью , зависящей, в общем случае, от времени:

Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покидает систему. Обслуживание заявки продолжается в течение случайного времени , распределенного по показательному закону с параметром :

(5.35)

Из этого следует, что «поток обслуживания» — простейший, с интенсивностью . Чтобы представить себе этот поток, вообразим один непрерывно занятый канал, который будет выдавать обслуженные заявки потоком с интенсивностью .

Требуется найти:

1)абсолютную пропускную способность СМО ;

2)относительную пропускную способность СМО .

Рассмотрим единственный канал обслуживания как физическую систему , которая может находиться в одном из двух состояний: — свободен, — занят.

ГСП системы показан на рис. 5.6, а.

Рис. 5.6. ГСП для одноканальной СМО с отказами (а); график решения уравнения (5.38) (б)

Из состояния в систему, очевидно, переводит поток заявок с интенсивностью ; из в — «поток обслуживания» с интенсивностью .

Вероятности состояний: и . Очевидно, для любого момента t:

. (5.36)

Составим дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний согласно правилу, данному выше:

(5.37)

Из двух уравнений (5.37) одно является лишним, так как и связаны соотношением (5.36). Учитывая это, отбросим второе уравнение, а в первое подставим вместо выражение :

Или

(5.38)

Поскольку в начальный момент канал свободен, уравнение следует решать при начальных условиях: , .

Линейное дифференциальное уравнение (5.38) с одной неизвестной функцией легко может быть решено не только для простейшего потока заявок , но и для случая, когда

интенсивность этого потока со временем меняется.

Для первого случая решение есть:

Зависимость величины от времени имеет вид, изображенный на рис. 5.6, б. В начальный момент (при ) канал заведомо свободен (). С увеличением вероятность уменьшается и в пределе (при ) равна . Величина, дополняющая до единицы, изменяется так, как показано на том же рисунке.

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность есть не что иное, как относительная пропускная способность . Действительно, есть вероятность того, что в момент канал свободен, или вероятность того, что заявка, пришедшая в момент , будет обслужена. Следовательно, для данного момента времени среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно .

В пределе, при , когда процесс обслуживания уже установится, предельное значение относительной пропускной способности будет равно:

Зная относительную пропускную способность , легко найти абсолютную . Они связаны очевидным соотношением:

.

В пределе, при , абсолютная пропускная способность тоже установится и будет равна

Зная относительную пропускную способность системы (вероятность того, что пришедшая в момент заявка будет обслужена), легко найти вероятность отказа:

или среднюю часть необслуженных заявок среди поданных. При