Обработка результатов измерений. 5.1 Задача обработки результатов измерений: определить правильность выбора средства измерения по данным полученным в процессе контроля глубины 18+0,43 мм

5.1 Задача обработки результатов измерений: определить правильность выбора средства измерения по данным полученным в процессе контроля глубины 18^{+0,43 мм. Контроль осуществлялся глубиномером ГМ 25 ГОСТ 7470 с ценой деления 0,01мм.}

5.2 Данные для обработки результатов измерений (результаты контроля) представлены в таблице 1.

Таблица 1 – Результаты контроля

В миллиметрах

Глубина,
18,13	18,22	18,19	18,12	18,24	18,30	18,07
18,21	18,16	18,35	18,22	18,29	18,14	18,20
18,27	18,09	18,33	18,16	18,08	18,28	18,22
18,14	18,25	18,11	18,35	18,05	18,20	18,15
18,29	18,12	18,26	18,30	18,18	18,21	18,17
18,31	18,28	18,06	18,19	18,30	18,23	18,31
18,10	18,22	18,34	18,23	18,10	18,22	18,24
18,05	-	-	-	-	-	-

 

5.3 Порядок обработки результатов измерений:

а) найти точечные оценки закона распределения результатов измерений;

б) определить закон распределения случайных величин;

в) определить доверительные границы погрешности результатов измерений.

Методика обработки результатов измерений установлена в методических указаниях [5].

5.3.1 Нахождение точечные оценки закона распределения результатов измерений.

5.3.1.1 Определение среднего арифметического значения измеряемой величины, , мм, по формуле

, (1)

где – значение измеряемой глубины, мм;

– число значений в выборке.

В соответствии с данными таблицы 1 находим значения мм, и определяем значение среднего арифметического по формуле (1)

мм.

5.3.1.2 Определение среднего квадратического отклонение (СКО), σ, мм, по формуле

, (2)

где – оценка СКО, равная значению СКО, мм;

- сумма квадратов разницы между значением измеряемой глубины и средним арифметическим значением, мм².

Расчёт суммы квадратов разницы приведён в таблице 2.

Таблица 2

В миллиметрах

18,05	0,15	0,0225	18,12	-0,08	0,0064	18,18	0,02	0,0004
18,05	0,15	0,0225	18,12	0,08	0,0064	18,18	0,02	0,0004
18,06	0,14	0,0196	18,13	0,07	0,0049	18,19	0,01	0,0001
18,07	0,13	0,0169	18,14	0,06	0,0036	18,19	0,01	0,0001
18,08	0,12	0,0144	18,14	0,06	0,0036	18,20
18,09	0,11	0,0121	18,15	0,05	0,0025	18,20
18,10	0,10	0,0100	18,16	0,04	0,0016	18,20
18,10	0,10	0,0100	18,16	0,04	0,0016	18,21	0,01	0,0001
18,11	0,09	0,0081	18,17	0,03	0,0009	18,21	0,01	0,0001
18,22	0,02	0,0004	18,25	0,05	0,0025	18,30	0,10	0,0100
18,22	0,02	0,0004	18,26	0,06	0,0036	18,31	0,11	0,0121
18,22	0,02	0,0004	18,27	0,07	0,0049	18,31	0,11	0,0121
18,22	0,02	0,0004	18,28	0,08	0,0064	18,33	0,13	0,0169
18,23	0,03	0,0009	18,28	0,08	0,0064	18,34	0,14	0,0196
18,23	0,03	0,0009	18,29	0,09	0,0081	18,35	0,15	0,0225
18,24	0,04	0,0016	18,29	0,09	0,0081		0,15	0,0225
18,24	0,04	0,0016	18,30	0,10	0,0100	-	-	-

С учетом данных таблицы 2 определяем СКО по формуле (2)

мм.

5.3.1.3 Оценка среднего арифметического отклонения, , мм, по формуле

, (3)

По результату из 5.3.1.2 найдем значение среднего арифметического отклонения

мм.

5.3.1.4 Проверка грубой погрешности с помощью критерия «Трёх сигм»

Критерий «Трех сигм»: практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале .

Формула для критерия «Трех сигм»:

. (4)

В соответствии с критерием «Трех сигм» в формулу (4) по очереди подставляем наименьшее () и наибольшее () значение глубины из таблицы 1, соответственно получаем:

а) при мм, имеем , что соответствует и позволяет сделать вывод, что наименьшее значение измеренной глубины не является промахом;

б) при мм, имеем , что соответствует и позволяет сделать вывод, что наибольшее значение измеренной глубины не является промахом.

5.3.2 Определение закона распределения случайных величин.

5.3.2.1 Преобразуем результаты контроля из таблицы 1 в выборку, упорядоченную в порядке возрастания.

Упорядоченная выборка имеет вид: 18,05; 18,05;18,06;18,07;18,08; 18,09; 18,10; 18,10; 18,11; 18,12; 18,12; 18,13; 18,14; 18,14; 18,15; 18,16; 18,16; 18,17; 18,18; 18,18; 18,19; 18,19; 18,20; 18,20; 18,20; 18,21; 18,21; 18,22; 18,22; 18,22; 18,22; 18,23; 18,23; 18,24; 18,24; 18,25; 18,26; 18,27; 18,28; 18,28; 18,29; 18,29; 18,30; 18,30; 18,31; 18,31; 18,33; 18,34; 18,35;18,35 мм

5.3.2.2 Находим шаг гистограммы, , мм, по формуле

, (5)

где – последнее значение в выборке, мм;

– первое значение в выборке, мм;

– количество интервалов.

Количество интервалов определяют исходя из условия, что , должно находится в интервале между наибольшим значением и наименьшим значением, а также должно быть нечетным целым числом.

Наибольшее значение, , определяем по формуле

. (6)

Наименьшее значение, , определяем по формуле

. (7)

С учетом формул (6) и (7) наибольшее и наименьшее значения соответственно равны: , .

В соответствии с условием для количества интервалов принимаем число .

Все значения для определения шага гистограммы найдены, следовательно, подставляем их в формулу (5) и определяем:

мм.

5.3.2.3 Определение интервалов группирования , , по формулам:

, (8)

, (9)

. (10)

Подставляя значения из 5.3.2.2 в формулы (8) - (10) получаем:

, , .

5.3.2.4 Определяем количество значений глубин , входящих в каждый интервал группирования. Используя таблицу 1, получаем следующие значения :

; ; .

5.3.2.5 Рассчитываем значение вероятности для каждого интервала

. (11)

Используя найденные значения из 5.3.2.4, получаем следующие значения вероятности:

; ; .

5.3.2.6 Построение гистограммы.

Для построения по оси х откладываем значения интервалов группирования , , в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строим прямоугольник высотой равной . Соединяем середины оснований каждого столбца гистограммы и получаем полигон, который представляет собой ломанную кривую (см. рисунок 1).

 

 

Рисунок 1 - Гистограмма и полигон

Вывод: форма гистограммы и полигона свидетельствует о нормальном законе распределения случайной погрешности в выборке.

5.3.3 Определение доверительных границ погрешности результатов измерений.

5.3.3.1 Определение доверительных границ случайной погрешности, , мм, находим по формуле

при , (12)

где - квантильный множитель функции Лапласа, который определяется по справочным таблицам из [8, с. 85, 86] и зависит от значения .

, тогда и .

5.3.3.2 Определяем систематическую погрешность, , мм.

В качестве границы не исключённой систематической погрешности принимаем одно деление шкалы глубиномера ГМ 25 ГОСТ 7470, которое составляет 0,01мм.

5.3.3.3 Находим значение расчётной погрешности, , мм, по формуле

. (13)

С учетом значений из 5.3.3.1 и 5.3.3.2 находим

мм.

5.3.3.4 Результат измерения с учетом доверительных границ погрешности:

мм, при .

5.3.3.5 Определяем нормируемую погрешность, , мм, по справочным таблицам [12, с.56] для интервала размеров от 18 до 30 по 14 квалитету.

мм.

5.3.3.6 Сравниваем значение расчетной и нормируемой погрешностей: , т.е. .

По результату из 5.3.3.6 делаем вывод по поставленной задаче обработки результатов измерений.

5.4 Вывод: в результате расчетов фактическая погрешность измерения составляет 0,024 мм, что не превышает нормируемую погрешность 0,43 мм, а значит средство измерения для контроля глубины (глубиномер ГМ 25 ГОСТ 7470 с ценой деления 0,01мм) выбрано правильно.

 

Приложение Л

(справочное)