Полярная система координат (ПСК)

Положение точки М в ПСК (рис. 2) определяют две координаты: М , где r – полярный радиус (r = |0M|), φ = – полярный угол.

ОДЗ для полярных координат: или

Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом
координат ДСК, а ось ОР совпадала с положительной полуосью ОХ,
то получим формулы связи между декартовыми координатами точки M (x; y)
и ее полярными координатами М :

и (4)

Чтобы найти полярный угол φ по известному значению tgφ, нужно учесть, в какой четверти координатной плоскости находится точка М:

(5)

В ПСК уравнение линии имеет вид F (r, φ) = 0 или r = f (φ).

Прямая линия на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости:

Ах + В у + С = 0.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис. 3):

у = k x + b. (6)

Уравнение вертикальной прямой (рис. 3):

х = а. (7)

Уравнения прямых, проходящих через одну заданную точку М (х ₀; у ₀) (уравнение пучка прямых):

у – y ₀ = k (x – x ₀). (8)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки А (х ₁; у ₁) и В (х ₂; у ₂):

. (9)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

. (10)

Пусть на плоскости заданы две прямые, которым соответствуют уравнения с угловыми коэффициентами: у = k ₁ x + b ₁ и у = k ₂ x + b ₂.

Условие параллельности прямых на плоскости:

k ₁ = k ₂. (11)

Условие перпендикулярности прямых:

. (12)

Если одна из двух перпендикулярных прямых вертикальная, т.е. k ₂ не существует, то k ₁ = 0 и обратно: если k ₂ = 0, то k ₁ не существует.

Тангенс острого угла между пересекающимися прямым и можно найти, используя формулу:

, (13)

откуда . Если одна из прямых вертикальная, т.е. k ₂ не существует, то .

Кривые второго порядка

Каноническое уравнение эллипса:

. (14)

Термины и обозначения основных элементов эллипса (рис. 4):

O – центр эллипса;

с – фокусное расстояние;

F ₁(–c; О), F ₂(c; О) – фокусы эллипса;

| А ₁ А ₂ | = 2 a – длина большой оси;

а – большая полуось эллипса;

|B ₁ B ₂ | = 2 b – длина малой оси;

b – малая полуось эллипса.

Для эллипса справедливо: c ² = a ² – b ².

Число называется эксцентриситетом эллипса .

Если a < b, то эллипс имеет вытянутую по вертикали форму (рис. 5).

В этом случае фокусы эллипса F ₁(О; –c), F ₂(О; c),эксцентриситет и справедливо c ² = b ² – a ².

Если a = b, то уравнение эллипса становится уравнением окружности:

x ² + y ² = R ²,

где R= a= b.

В этом случае фокусы эллипса совпадают с центром окружности, фокусное расстояние с = 0, эксцентриситет окружности .

Каноническое уравнение гиперболы:

. (15)

Термины и обозначения основных элементов гиперболы (рис. 6):

O – центр гиперболы;

с – фокусное расстояние;

F ₁(–c; 0), F ₂(c; 0) – фокусы гиперболы;

| А ₁ А ₂ | = 2 a – длина вещественной оси;

а – вещественная полуось гиперболы;

|B ₁ B ₂ | = 2 b – длина мнимой оси;

b – мнимая полуось гиперболы.

Уравнения асимптот гиперболы:

.

Для гиперболы справедливо: с ² = a ² + b ².

Число называется эксцентриситетом гиперболы .

Канонические уравнения параболы.

Рис. 7	Существуют 4 вида канонических уравнений параболы: х 2 = 2 ру. (16) Фокус F (0; ), уравнение директрисы: у = – . х 2 = – 2 ру. (17) Фокус F (0; – ), уравнение директрисы: у = . у 2 = 2 рх. (18) Фокус F (; 0), уравнение директрисы: х = – . у 2 = – 2 рх. (19) Фокус F (– ; 0), уравнение директрисы: х = .
Рис. 8
Рис. 9
Рис. 10

Термины и обозначения основных элементов параболы: O – вершина параболы, F – фокус параболы, p – параметр параболы (расстояние от фокуса F до директрисы l).

Для приведения уравнения кривой со смещенным центром к каноническому виду может быть использован параллельный перенос системы координат в точку O ₁(α; β).При параллельном переносе координаты любой точки М (х; у) в новой системе координат X ₁ O ₁ Y ₁ будут (х ₁; у ₁), где

(20)

Примеры таких преобразований приведены в табл. 2.

Таблица 2

В системе координат ХОY	В системе координат X 1 O 1 Y 1
Окружность с центром в точке O 1(α;β) и с радиусом R:	Каноническое уравнение окружности:
Эллипс с центром в точке O 1(α;β ):	Каноническое уравнение эллипса:
Гипербола с центром в точке O 1(α;β):	Каноническое уравнение гиперболы: .
Параболы с вершиной в точке O 1(α;β) или .	Канонические уравнения парабол: или

Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы № 1

Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС: А (–3; –1),
В (4; 6), С (8; –2).

Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение стороны ВС;

3) найти внутренний угол треугольника при вершине В;

4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А;

5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан);

6) сделать чертеж в системе координат.

Задача 2. Даны координаты точки А (3; 0), уравнение прямой l: 3 x = 4
и число λ = 3: 2.

Найти уравнение траектории точки М, которая движется в плоскости так, что отношение ее расстояний до точки А и до прямой l равно λ. Сделать чертеж в системе координат.

Задача 3. Дано уравнение кривой 2-го порядка:
+ .

Привести заданное уравнение к каноническому виду путем параллельного переноса осей координат. Определить тип кривой, найти ее характерные элементы в исходной системе координат. Изобразить на чертеже расположение кривой относительно обеих систем координат.

Задача 4. Даны уравнение кривой 2-го порядка
и уравнение прямой l: x + 2 y – 3 = 0.

Требуется:

1) привести заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду;

2) найти точки пересечения кривой и заданной прямой;

3) построить обе линии в исходной системе координат.

Задача 5. Дано уравнение кривой в полярной системе координат (ПСК):

.

Требуется:

1) найти область определения функции ;

2) построить кривую в ПСК, вычислив значения функции в точках = 0, 1,..., 16, принадлежащих области определения функции ;

3) найти уравнение заданной кривой в декартовой системе координат (ДСК), начало координат в которой совпадает с полюсом ПСК, а положительная полуось ОХ – с полярной осью ОР;

4) определить тип кривой.

Решение задачи 1

1) Вычислим длину стороны ВС по формуле (1):

| BС | = =

=

2) Составим уравнение стороны ВС, используя формулу (10):

y = –2 x + 14 – уравнение ВС.

3) Внутренний угол треугольника при вершине В найдем как угол между прямыми ВА и ВС. Для этого сначала вычислим угловой коэффициент прямой ВА по формуле (9):

и возьмем из уравнения ВС угловой коэффициент прямой ВС: .

Из расположения точек A, B, C на координатной плоскости видно, что угол В в треугольнике ABC – острый, поэтому по формуле (13) вычислим

.

4) Для получения уравнения высоты АK, проведенной из вершины А, используем уравнение пучка прямых (8) и условие перпендикулярности прямых (12). Сначала вычислим угловой коэффициент прямой АK. Так как , то .

Уравнение AK получим по формуле (8):

у – уА = kAK (x– xA) у – (– 1) = (x– (– 3))

x – 2 y + 1 = 0 – уравнение AK.

5) Для определения координат центра тяжести треугольника используем свойство точки пересечения его медиан: если AМ – медиана треугольника и P – точка пересечения его медиан, то P делит AМ в отношении 2: 1, начиная от точки А, т. е. .

Основание медианы AМ – точка М является серединой отрезка ВС. Найдем координаты точки М по формулам (3):

М (6; 2).

Теперь, когда координаты концов отрезка AМ известны, найдем координаты точки P, которая делит AМ в отношении = 2, начиная
от точки А, по формулам деления отрезка в заданном отношении (2):

P (3; 1) – центр тяжести треугольника АВС.

6) Построим чертеж к задаче в системе координат ХОY (рис. 11). Полученные при решении задачи результаты не противоречат чертежу.

Ответы:

1) длина стороны | BС| = ;

2) уравнение стороны ВС:
y = – 2 x + 14;

3) угол при вершине В: ;

4) уравнение высоты АK: x – 2 y +
+ 1= 0;

5) координаты центра тяжести треугольника P (3; 1);

6) чертеж на рис. 11

Решение задачи 2

Пусть М (х; у) – произвольная точка на координатной плоскости, удовлетворяющую условию задачи (рис. 12), т. е. где K – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую 3 x = 4. Так как K лежит
на прямой 3 x = 4, то K .

Запишем условие в координатной форме, используя формулу (1) для длины отрезка:

.

Это и есть уравнение искомой траектории, так как ему удовлетворяют координаты любой точки М (х; у) на этой траектории.

Для упрощения уравнения возведем обе части равенства в квадрат
и приведем подобные члены:

,

откуда получаем

– уравнение гиперболы с полуосями

.

Построим чертеж гиперболы в системе координат ХОY (рис. 13).

Ответ: – уравнение траектории. Чертеж на рис. 13.

Решение задачи 3

Приведем заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Для этого выделим в уравнении полные квадраты по переменным х и у:

.

Получили уравнение эллипса с центром в точке O ₁(5; –2) (см. табл. 2
в разделе "справочный материал").

Осуществив параллельный перенос осей координат в системе XOY
по формулам: получим каноническое уравнение эллипса в системе координат X ₁ O ₁ Y ₁, где O ₁(5; –2) в системе XOY (рис. 14).

Найдем характерные элементы эллипса:

.

Отсюда получаем: а = 3 – большая полуось эллипса, b = 2 – малая полуось эллипса, с = – фокусное расстояние. Координаты фокусов эллипса в системе координат X ₁ O ₁ Y ₁: F ₁(– ; 0), F ₂(; 0).

Найдем координаты фокусов в системе координат XOY:

Таким образом, координаты фокусов эллипса в системе координат XOY:

F ₁(– ; – 2), F ₂(;–2).

Вычислим эксцентриситет эллипса:

Изобразим на чертеже расположение эллипса относительно обеих систем координат (рис. 14).

Ответ: – каноническое уравнение эллипса, где

Характерные элементы:

– O ₁(5; –2) – центр эллипса;

– а = 3 – б большая полуось эллипса, b = 2 – малая полуось эллипса;

– с = – фокусное расстояние;

– координаты фокусов эллипса в системе координат XOY: F ₁(– ; – 2), F ₂(; –2);

– эксцентриситет эллипса

Чертеж на рис. 14.

Решение задачи 4

1) Приведем заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Для этого выделим полный квадрат по переменной у (квадрат переменной х в уравнении отсутствует):

.

Получили уравнение параболы вида с вершиной
в точке (см. табл. 2 в разделе "справочный материал"). Осуществим параллельный перенос осей координат по формулам:
В результате получим каноническое уравнение параболы в системе координат X ₁ O ₁ Y ₁.

2) Найдем точки пересечения параболы и заданной прямой в системе координат XOY. Для этого решим систему уравнений:

Таким образом, парабола и прямая пересекаются в точках А (3; 0)
и В (1; 1).

3) Построим обе линии в системе координат XOY (рис. 15).

Ответы: 1) ;

2) А (3; 0), В (1; 1);

3) чертеж на рис. 15.

Решение задачи 5

1) Область определения функции найдем из условия :

При n = 0 получаем при интервалы Следовательно, область определения

2) Для построения кривой в ПСК вычислим значения функции
в точках 0, 1, …, 16, входящих в область определения, т. е.
в точках, где выполнено условие , и заполним табл. 3.

Таблица 3

k			k
		–	–	–	–
	π/8	–		9π/8	3,7
	2π/8	–		10π/8	2,8
	3π/8	–		11π/8	1,5
	4π/8			12π/8
	5π/8	1,5		13π/8	–
	6π/8	2,8		14π/8	–
	7π/8	3,7		15π/8	–
					–

Для построения точек кривой в ПСК
в каждом из направлений, задаваемых углом , откладываем от полюса отрезок длины . Соединив полученные таким образом точки, получаем график функции в ПСК (рис. 16).

3) Найдем уравнение кривой, заданной в ПСК уравнением , в декартовой системе координат.

Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось ОР совпадала с положительной полуосью ОХ, то, используя формулы связи между декартовыми и полярными координатами точки получим: .

Следовательно, уравнение кривой в ДСК имеет вид уравнения кривой 2-го порядка: .

4) Для определения типа кривой выделим в уравнении полные квадраты по переменным х и у:

.

Это уравнение задает окружность с центром в точке O ₁(–2; 0) и с радиусом R = 2. Найдем координаты точки O ₁(–2; 0) в ПСК:

,

(здесь выбираем n = 1, так как четверти (формулы (5)).

Ответы:

1) область определения:

2) чертеж на рис. 16;

3) уравнение кривой в ДСК: ;

4) тип кривой – окружность с центром в точке и с радиусом R = 2.

Справочный материал по темам
"Элементы линейной алгебры. Аналитическая
геометрия в пространстве"

Матрицы

Матрицей размерности m ´ n называется прямоугольная таблица, состоящая из m·n элементов (m строк и n столбцов):

A_{m ´ n} = ,

где a_ij – элементы матрицы, i = 1, 2, …, m – номер строки, j = 1, 2, …,
n – номер столбца.

Для краткости матрицу обозначают одной буквой, например, буквой А.

Некоторые виды матриц:

1) нулевая матрица: матрица, все элементы которой равны нулю;

2) при n = 1 матрица-столбец: X = ;

3) при m = 1 матрица-строка: Y = ;

4) при m = n квадратная матрица: A_{n ´ n} = .

У квадратной матрицы различают главную диагональ (соединяющую элементы a ₁₁ и a_nn) и побочную диагональ.

Примеры квадратных матриц:

1) единичная матрица (квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы – нули):

E = ;

2) квадратная матрица второго порядка: ;

3) квадратная матрица третьего порядка: .

Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковые размерности и их соответствующие элементы равны:

A_m´n = B_m´n Û a_ij = b_ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).