Закон больших чисел и предельные теоремы

1. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X – E(X)|<0,2, если D(X) = 0,004.

2. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время T лампа будет включены, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом (мат. ожидание) включенных ламп за время T окажется а) меньше трех; б) не меньше трех.

3. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,25. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число X появлений события заключено в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 испытаний.

4. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	0,1	0,4	0,6
p	0,2	0,3	0,5

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X – E(X)| <

5. Вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,8. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции.

Нормальное распределение

1. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины a = 3 и среднее квадратическое отклонение σ = 2. Написать плотность вероятности X.

2. Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью

Найти математическое ожидание и дисперсию X.

3. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (12, 14).

4. Имеется случайная величина X, распределенная по нормальному закону, математическое ожидание которой равно 20, а среднее квадратическое отклонение равно 3. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью 0,9972 попадет эта случайная величина.

5. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a = 0. При каком значении σ вероятность попадания случайной величины X в интервал (1, 2) достигает максимума?

 

 

Контрольная работа для студентов-заочников

Номер задачи, которую нужно выполнить в Задании N определяется следующим образом: необходимо взять номер буквы N из ваших Фамилии Имени и Отчества и найти остаток от деления на 6.

 

А

Б

В

Г

Д

Е

Ё

Ж

З

И

Й

К

Л

М

Н

О

П

Р

С

Т

У

Ф

Х

Ц

Ч

Ш

Щ

Ъ

Ы

Ь

Э

Ю

Я

 

Задание 1

1. Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5)?

2. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются четыре билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся: 4 девушки.

3. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются четыре билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся: 4 юноши.

4. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются четыре билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся: 3 юноши и 1 девушка?

5. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры: различные?

Задание 2

1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

2. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

3. Вероятность того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятности того, что деталь содержится: не более чем в трех ящиках.

4. Вероятность того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятности того, что деталь содержится: не менее чем в двух ящиках.

5. В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному три кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются: без возвращения.

 

Задание 3

1. Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела, и вычислить математическое ожидание этой случайной величины.

2. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 1 тыс. руб. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша при пяти сделанных покупках. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

3. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

5. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 1000 рублей. Сделано 5 покупок. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение количества выигранных рублей.

Задание 4

1. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x₁ =4, с вероятностью p₁ = 0,5; x₂ = 6 с вероятностью p₂ = 0,3 и x₃ с вероятностью p₃. Найти x₃ и p₃, зная, что E(X) = 8.

2. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

X:

xi
pi	0,2	0,5	?

Y:

yi
pi	0,4	?

Найти вероятности, с которыми случайные величины принимают значение 3, а затем составить закон распределения случайной величины 3X-2Y.

3. Случайные величины X и Y независимы и имеют один и тот же закон распределения:

Значение
Вероятность	0,2	0,3	0,5

Составить закон распределения случайных величин 2X и X+Y.

4. Даны законы распределения двух независимых случайных величин

X:

xi
pi	0,2	0,5	?

Y:

yi
pi	0,4	?

Найти вероятности, с которыми случайные величины принимают значение 3, а затем проверить выполнение свойств математических ожиданий и дисперсии: E(3X-2Y) = 3E(X)-2E(Y), D(3X-2Y) = 9D(X)+4D(Y).

5. Дана функция распределения случайной величины X

Найти: а) ряд распределения; б) E(X) и D(X).

 

Задание 5

1. Случайная величина X, сосредоточенная на интервале [-1, 3], задана функцией распределения:

Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал [0, 2]. Построить график функции F(x).

2. Случайная величина X, сосредоточенная на интервале [2, 6], задана функцией распределения

Найти вероятность того, что случайная величина X примет значения: меньше 4.

3. Случайная величина X, сосредоточенная на интервале [2, 6], задана функцией распределения

Найти вероятность того, что случайная величина X примет значения: б) меньше 6.

4. Случайная величина X, сосредоточенная на интервале [2, 6], задана функцией распределения

Найти вероятность того, что случайная величина X примет значения: не меньше 3.

5. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти: а) плотность вероятности j(x); б) математическое ожидание E(X); в) дисперсию D(X);

 

Задание 6

1. X – число сделок на фондовой бирже за квартал; n= 400 (инвесторов). Необходимо найти: среднюю арифметическую, медиану и моду.

xi
ni

2. X – число сделок на фондовой бирже за квартал; n= 400 (инвесторов). Необходимо найти: среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Xi
ni

3. X – месячный доход жителя региона (в руб.); n = 1000 (жителей). Необходимо найти: среднюю арифметическую, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

xi	Менее 500	500-1000	1000-1500	1500-2000	2000-2500	Свыше 2500
ni

4. X – месячный доход жителя региона (в руб.); n = 1000 (жителей). Необходимо найти: моду, медиану, дисперсию.

xi	Менее 500	500-1000	1000-1500	1500-2000	2000-2500	Свыше 2500
ni

5. X – удой коров на молочной ферме за лактационный период (в ц); n= 100 (коров). Необходимо найти: среднюю арифметическую, медиану, дисперсию.

xi	4-6	6-8	8-10	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24	24-26
ni

 

Задание 7

1. Из 5000 вкладчиков банка по схеме случайной бесповторной выборки было отобрано 300 вкладчиков. Средний размер вклада в выборке составил 8000 руб., а среднее квадратическое отклонение 2500 руб. Какова вероятность того, что средний размер вклада случайно выбранного вкладчика отличается от его среднего размера по выборке не более чем на 100 руб. (по абсолютной величине)?

2. Из партии, содержащей 8000 телевизоров, отобрано 800. Среди них оказалось 10% не удовлетворяющих стандарту. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля телевизоров, удовлетворяющих стандарту, во всей партии для повторной и бесповторной выборок.

3. По результатам социологического обследования при опросе 1500 респондентов рейтинг президента (т.е. процент опрошенных, одобряющих его деятельность) составил 30%. Найти границы, в которых с надежностью 0,95 заключен рейтинг президента (при опросе всех жителей страны). Сколько респондентов надо опросить, чтобы с надежностью 0,99 гарантировать предельную ошибку социологического обследования не более 1%?

4. Каким должен быть объем выборки, отобранной по схеме случайной бесповторной выборки из партии, содержащей 8000 деталей, чтобы с вероятностью 0,994 можно было утверждать, что доли первосортных деталей в выборке и во всей партии отличаются не более чем на 0,05 (по абсолютной величине)?

5. Произведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой величины, имеющей нормальное распределение, причем выборочная дисперсия случайных ошибок измерений оказалась равной 0,36. Найти границы, в которых с надежностью 0,95 заключено среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерений, характеризующих точность прибора.

Задание 8

Найти выборочное уравнение прямой

регрессии Y на X по данной корреляционной таблице.

Y	X
						nj
	2+a1	2+a2	-	-	-	-	4+a1+a2
	-	5-a1	7-a2	-	-	-	12-a1-a2
	-	-	5+a3	30-a3-a4	10-a4	-	45-2a4
	-	-	7-a1	10+a1	8+a4	-	25+a4
	-	-	-	5+a2	6-a2	3+a4	14+a4
ni	2+a1	7-a1+a2	19-a1-a2+a3	45+a1+a2-a3-a4	24-a2	3+a4	n =100

 

Для задания вариантов вычислите цифры a1, a2, a3, a4. Цифры вычисляются по следующему правилу:

· a1 — остаток от деления на 5 номера в алфавите первой буквы фамилии,

· a2 — остаток от деления на 5 номера в алфавите первой буквы имени,

· a3 — остаток от деления на 5 номера в алфавите первой буквы отчества,

· a4 — остаток от деления на 5 года.