Приближенные вычисления по способу границ

Наилучшим в смысле строгости из известных способов приближенных вычислений является способ границ.

Пользуясь этим способом, по известным нижним и верхним границам данных чисел, находят отдельно нижнюю и верхнюю границы результата.

Пусть, например, надо сложить два числа: х = (3,2 ± 0,05) и y = (7,9 ± 0,05).

Имеем: 3,15< х < 3,25, 7,85< у < 7,95, откуда 11,00< х + у < 11,20.

Итак, х + у = (11,1 ±0,1).

Вообще, нижняя граница суммы приближенных чисел равна сумме нижних границ слагаемых, а верхняя – сумме верхних границ слагаемых.

Символически это можно записать так:

НГ (x + у) = НГ х + HГ y; ВГ (х + у) = ВГ х + ВГ y.

Аналогичные правила справедливы для умножения:

НГ (х×у) = НГ х × НГ у; ВГ (х× у) = ВГ х × ВГ y.

Для обратных действий – вычитания и деления – соответствующие правила имеют такой вид:

НГ (х – у) = НГ х – ВГ у; ВГ (х – у) = ВГ х – НГ у.

НГ (х / у) = НГ х /ВГ у; ВГ (х / у) = ВГ х /НГ у.

Из определения НГ и ВГ вытекают также следующие правила:

1) округлять НГ можно только по недостатку, а ВГ – по избытку;

2) чем меньше разность ВГ х – НГ х, тем точнее определяется х;

3) в качестве приближенного значения х рекомендуется брать среднее арифметическое чисел НГ х и ВГ х или число, близкое к нему.

Применение способа границ при вычислениях рассмотрим на примере.

Пример. Найти значение , если а = (9,21 ± 0,01); b = (3,05 ± 0,02), с = (2,33 ± 0,01).

Решение. Определяем НГ и В Г каждого из чисел а, b, c и, выполнив над ними соответствующие действия, находим НГ и ВГ числа х.

Запись удобно оформить в виде такой таблицы.

Компоненты	НГ	ВГ
а	9,20	9,22
b	3,03	3,07
с	2,32	2,34
а – b	6,13	6,19
(а – b)× с	14,22	14,49
а + b	12,23	12,29
x	1,15	1,19

1,15< x < 1,19

1,15 + 1,19 = 2,34; 1,19 – 1,19 = 0,04;

2,34/2 = 1,17; 0,04/2 = 0,02;

x = (1,17 ± 0,02).

Округление

Одним из источников получения приближенных чисел является округление. Округляют как приближенные, так и точные числа.

Округлением данного числа до некоторого его разряда называют замену его новым числом, которое получается из данного путем отбрасывания всех его цифр, записанных правее цифры этого разряда, или путем замены их нулями. Эти нули обычно подчеркивают или пишут их меньшими.

Однако более удобным является кратное представление чисел: Например, если требуется округлить число 58452 до трёх значащих цифр, результат можно представить в виде: 585 00 или 58500. Однако удобнее записать 585·10 ² или 58,5·10 ³ и т.д.

Для обеспечения наибольшей близости округленного числа к округляемому следует пользоваться такими правилами: чтобы округлить число до единицы определенного разряда, надо отбросить все цифры, стоящие после цифры этого разряда, а в целом числе заменить их нулями. При этом учитывают следующее:

1) если первая (слева) из отбрасываемых цифр менее 5, то последнюю оставленную цифру не изменяют (округление с недостатком);

2) если первая отбрасываемая цифра больше 5 или равна 5, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу (округление с избытком).

Покажем это на примерах. Округлить:

а) до десятых 12,34; Ответ: 12,3

б) до сотых 3,2465; 1038,785; Ответы: 3,25; 1038,79

в) до тысячных 3,4335; Ответ: 3,434

г) до тысяч 12375; 320729. Ответы: 12·10 ³; 32,1·10 ⁴

Примечание.

Еще несколько лет назад в случае отбрасывания одной лишь цифры 5 пользовались «правилом чётной цифры»: последнюю цифру оставляли без изменения, если она чётная, и увеличивали на единицу, если нечетная. Теперь же «правила чётной цифры» не придерживаются: если отбрасывают одну цифру 5, то к последней оставленной цифре прибавляют единицу независимо от того, четная она или нечетная.