Перечень вопросов для подготовки к экзамену

1. Определитель. Порядок определителя. Свойства определителей (доказательство свойств).

2. Минор. Алгебраическое дополнение.

3. Разложение определителя по строке и столбцу.

4. Матрицы. Классификация матриц.

5. Линейные операции на матрицах, их свойства.

6. Транспонирование матриц.

7. Произведение матриц.

8. Элементарные преобразования на матрицах.

9. Обратная матрица, ее свойства. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.

10. Ранг матрицы. Метод нулей и единиц нахождения ранга матрицы.

11. Совместность системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

12. Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений.

13. Метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.

14. Векторы. Классификация векторов. Линейные операции над векторами, их свойства.

15. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис.

16. Декартова система координат.

17. Радиус-вектор точки. Координаты точки. Координаты вектора.

18. Направляющие косинусы вектора.

19. Длина вектора в координатах.

20. Деление отрезка в заданном отношении.

21. Проекция вектора на ось, ее свойства.

22. Скалярное произведение векторов, его свойства.

23. Физический смысл скалярного произведения векторов.

24. Выражение скалярного произведения векторов в координатной форме.

25. Векторное произведение векторов, его свойства.

26. Геометрический смысл векторного произведения векторов.

27. Физический смысл векторного произведения векторов.

28. Выражение векторного произведения векторов в координатной форме.

29. Смешанное произведение векторов, его свойства.

30. Геометрический смысл смешанного произведения векторов.

31. Выражение смешанного произведения векторов в координатной форме.

32. Общее уравнение прямой на плоскости.

33. Уравнение прямой на плоскости в отрезках.

34. Каноническое уравнение прямой на плоскости.

35. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.

36. Уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали.

37. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом.

38. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

39. Плоскость. Общее уравнение плоскости.

40. Исследование уравнения плоскости.

41. Уравнение плоскости в отрезках.

42. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

43. Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.

44. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

45. Параметрические уравнения прямой в пространстве.

46. Канонические уравнения прямой в пространстве.

47. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки.

48. Общие уравнения прямой в пространстве.

49. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

50. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

51. Кривые второго порядка: Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола.

52. Определения кривых второго порядка, канонические уравнения, построение линий.

Примерный вариант практических примеров для экзамена

1. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее:

а) с помощью обратной матрицы (матричным методом)

б) методом Гаусса.

а) б)

2. Решить СЛАУ: .

3. Решить СЛАУ: .

 

4. Даны две матрицы и .

Найти: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) матрицы А;

ж) матрицы В.

, .

5. Решить матричное уравнение: .

6. Вычислить - направляющий косинус вектора , если и .

7. Даны три точки А (-1; 0; 3), В (8; 2; -1), С(4; -2; 6).

Найти:

1) Проекцию вектора на вектор , т.е. ;

2) Площадь r АВС;

3) Выяснить, будет ли вектор ортогонален вектору , если М - середина отрезка ВС.

4) Проверить, образуют ли векторы базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

5) Правую или левую тройку образуют векторы .

6) Вычислить и , если и .

7) Перпендикулярны ли векторы и , если , , .

8. Найти , если , и .

9. Найти аппликату вектора (2k + 3j) × i.

10. При каком действительном площадь треугольника с вершинами , , равна ?

11. Дано: a = m – n, b = 2m + 3n, c = m – 2n, | m | = 1, | n | = 2, <(m, n) = 2π/3. Вычислить (a + b) · c.

12. Найти уравнение плоскости, параллельной плоскости , расположено на расстоянии равном 5 от неё.

13. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(3, -1, 2) и В(2,0, -1) перпендикулярно плоскости х-у+1=0.

14. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А(-1;2;3) параллельно прямой .

15. Определить тип кривой . Привести ее уравнение к каноническому виду. Сделать схематический чертеж.

16. Построить линию у² – 2у + х = 0.

 

Примерный вариант билета

1. Проекция вектора на ось. Составляющие вектора.

2. При каком значении m векторы коллинеарны. Записать разложение вектора по составляющим.

3. Исследовать систему на совместность. Решить систему уравнений .

4. Силы и приложены к точке . Вычислить работу, совершаемую равнодействующей этих сил, когда ее точка приложения перемещается в положение .

5.

Дано:

Найти:

6.

, найти обратную матрицу, если она существует, вычислить .

7. Найти длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах , , если , , .

8. Вывести канонические уравнения прямой в пространстве.

9. Определение эллипса. Основа уравнения эллипса.

10. Найдите точку пересечения прямой и плоскости 4х+у-6z-5=0.

11. Построить область, ограниченную указанными линиями: ; ;

12. Составить уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок прямой 3х+4у-12=0, заключенный между осями координат.