Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Анализ устойчивости оптимальных решений к изменению коэффициентов целевой функции




Анализ оптимальных решений в задачах ЛП

 

Необходимость анализа оптимальных решений

 

Получение оптимального решения в задачах линейного программирования не всегда означает завершение работ по обоснованию и выработке оптимальной стратегии поведения. В реальной экономике часто случается так, что изменения во внешней среде — колебания спроса, рост инфляции и т.д. — приводят, например, к необходимости корректировки цен на продукцию. Для оптимизационной модели это означает внесение корректив в целевую функцию. Тут же возникают вопросы: каким образом и к чему такие коррективы могут привести? Кроме того, обычно для реализации производственной программы существует возможность привлечения дополнительных финансовых и других ресурсов либо перераспределения уже имеющихся. Вполне естественно попытаться выяснить, к чему это приведет и как скажется на уже полученном оптимальном решении. Иначе говоря, после решения задачи оптимизации в силу разных причин могут возникнуть вполне закономерные вопросы.

1. Насколько устойчиво полученное оптимальное решение к изменению параметров модели, в частности коэффициентов целевой функции? Что произойдет, например, если спрос на продукцию упадет (возрастет) и, следовательно, придется снизить или повысить цену на то или иное изделие? Что в этом случае делать с полученной ранее оптимальной производственной программой? Потребуется ее корректировка или нет?

2. Насколько чувствительно полученное решение к изменениям запасов ресурсов, т. е. к изменению правых частей в неравенствах системы ограничений? Изменится ли доходность (значение целевой функции) при изменении запасов и насколько?

3. Как оценить вклад единицы каждого из ресурсов в доходность? Какие ресурсы целесообразно увеличить в первую очередь? К какому результату это может привести? Не являются ли запасы некоторых ресурсов избыточными и, вместо затрат на их приобретение и хранение, не лучше ли пополнить запасы тех ресурсов, которые в наибольшей степени увеличивают доходность и расходуются полностью? Как количественно просчитать (оценить) различные варианты «ресурсного» поведения?

Получение ответов на перечисленные вопросы и составляет существо анализа оптимальных решений.

Заметим, что в линейном программировании под устойчивостью обычно подразумевают неизменность оптимальных решений при изменениях (вариациях) коэффициентов целевой функции, а под чувствительностью — степень влияния правых частей ограничений на прирост, либо уменьшение значений целевой функции.

С точки зрения обоснования управленческих решений, анализ устойчивости и чувствительности часто играет не менее важную роль, чем отыскание собственно оптимального решения.

 

Анализ устойчивости оптимальных решений к изменению коэффициентов целевой функции

 

Выясним вначале, как влияет изменение коэффициентов целевой функции на оптимальное решение. Такая проблема возникает в случаях, когда, например, меняется рыночная ситуация, приводящая к колебаниям спроса и, следовательно, к изменению стоимости единицы продукции. Для иллюстрации рассмотрим задачу нахождения оптимальной производственной программы с двумя переменными. С точки зрения модели линейного программирования это приводит к необходимости изменения коэффициентов с12 целевой функции (целевых коэффициентов).

Пусть для некоторой исходной целевой функции

Z1 = c1 x1+ c2 x2

получено оптимальное решение (x1opt, x2opt). Выясним, изменится ли оно при изменении коэффициентов с12. Для этого рассмотрим два случая:

Z2 = c1*x1 + c2*x2 и Z3 = c1**x1 + c2**x2

Заметим, что значение самой целевой функции Z всегда будет либо увеличиваться, либо уменьшаться при любом изменении с1, с2. Однако важнее выяснить другое: изменится ли при этом ранее найденное оптимальное решение (x1opt, x2opt) или нет.

Иначе говоря, требуется определить, достигается ли наибольшее значение новой целевой функции с измененными коэффициентами в той же точке (x1opt, x2opt), что и ранее, или оптимальное решение будет достигаться при другой комбинации переменных (х1, х2).

Как было показано в главе 3, коэффициенты целевой функции однозначно определяют вектор , указывающий направление возрастания значений Z. Следовательно, трем рассматриваемым случаям будут соответствовать три разных направления роста целевых функций. Линии уровня (прямые, во всех точках которых Z = const) всегда перпендикулярны вектору g. Следовательно, ориентация линий уровня и направления возрастания Z для трех случаев будет различной (рис. 4.1).

X2

X1

 


Рис. 4.1.

 

Сопоставим этот вывод с «поведением» линий уровня в ОДР.

Заметим, что область допустимых решений при изменении целевых коэффициентов остается неизменной. Пусть, например, ОДР задачи изображена на рис. 4.2 и пусть оптимальное решение для исходной задачи находится в точке А. Анализируя положение линий уровня для рассматриваемых целевых функций, устанавливаем (рис. 4.2) следующее.

 

A
X2

X1
B
Z1
Z2
Z3

 


Рис. 4.2.

 

1. Для целевой функции Z2 = c1*x 1 + c2*x2 точка оптимума не изменилась и по-прежнему находится в вершине А. Это означает, что максимальное значение целевой функции Z2 = c1*x 1 + c2*x2 достигается в той же оптимальной точке, что и ранее (х1A2A).

2. Точка оптимума для целевой функции Z3 = c1**x1 + c2**x2 переместилась в точку B (в другую вершину ОДР). Это означает, что теперь максимального значения целевой функции Z3 можно добиться только при новой комбинации переменных (х1B2B).

 

Таким образом:

1. Изменение коэффициентов целевой функции в рамках некоторого диапазона не приводит к изменению оптимального решения (xlopt, x2opt). Такой диапазон называют диапазоном устойчивости решения по коэффициенту целевой функции.

2. Границы диапазона устойчивости зависят как от ОДР, так и от целевой функции.

3. При изменениях целевых коэффициентов, выходящих за границы диапазона устойчивости, оптимальное решение (x1opt, x2opt) меняется. Оно перемещается в другую точку ОДР.

При решении задач линейного программирования с большим числом переменных определение границ устойчивости, в принципе, не составляет труда, однако требует применения довольно громоздких вычислительных процедур. Вместе с тем эти алгоритмы легко реализуются на ЭВМ. Они включены во многие стандартные пакеты соответствующих программ линейной оптимизации, в том числе и в MS Excel. Все выводы, полученные для задачи с двумя переменными, справедливы и для задач со многими переменными.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-12-05; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2813 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Лучшая месть – огромный успех. © Фрэнк Синатра
==> читать все изречения...

2205 - | 2096 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.01 с.