Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


«адачи, привод€щие к нелинейным уравнени€м и системам нелинейных уравнений

Ћекци€ 7

Ќелинейные уравнени€

¬¬≈ƒ≈Ќ»≈

 

Ќелинейные уравнени€ и системы нелинейных уравнений

 

«адачи, привод€щие к нелинейным уравнени€м и системам нелинейных уравнений

¬ предыдущих лекци€х рассматривались линейные уравнени€. ¬о многих приложени€х линейные уравнени€ достаточно эффективны при приближенном описании реального €влени€.

¬ частности, наиболее важный дл€ нас метод конечных элементов при применении его к решению задач механики деформируемого твердого тела (ћƒ““) приводит к необходимости решени€ систем линейных алгебраических уравннений. ќднако это верно, когда используютс€ уравнени€ линейной теории упругости.

¬ одной их очень хороших книг по численным методам [7.1] цела€ глава носит название Ђ∆изнь, в действительности, нелинейнаї. ¬ самом деле, даже хорошо известна€ со школьной скамьи формулировка закона √ука: Ђ¬еличина перемещени€ пр€мо пропорциональна величине вызывающей его силыї, оказываетс€ очень приблизительной и неточной моделью реального €влени€.

≈ще современники √ука сомневались в безукоризненности его результатов. “ак √юйгенс (1691) утверждал, что он согласен с результатами √ука, но, только, если пружины будут раст€нуты незначительно. » в дальнейшем справедливость этого фундаментального закона не раз подвергалась сомнению. ¬ 1849 году Ѕританска€  оролевска€ комисси€, Ђназначенна€ дл€ того, чтобы исследовать применение железа дл€ железнодорожных сооруженийї, рекомендовала инженерам впредь заменить линейный закон √ука дл€ железа при раст€жении, сжатии и изгибе параболической зависимостью

(7.1)

¬ общем, на сегодн€шний день известно, что даже при малых деформаци€х соотношени€ напр€жени€‑деформации не €вл€ютс€ точно линейными.

≈сли же дл€ решени€ задач ћƒ““ использовать нелинейные уравнени€, то вместо удобной дл€ решени€ системы линейных уравнений

(7.2)

будет получена система нелинейных уравнений, которые в лучшем случае удастс€ представить в следующем виде:

. (7.3)

“о есть матрица жесткости €вл€етс€ не посто€нной, но ее элементы сами завис€т от искомых неизвестных .

¬ самом общем случае произвольную систему нелинейных уравнений можно записать следующим образом:

(7.4)

≈сли, ввести векторные обозначени€ дл€ неизвестных и функций :

,

то система (7.4) может быть записана проще:

(7.5)

хот€ сама задача от этого, к сожалению, не упрощаетс€.

»з сказанного выше вытекает, что одним из возможных источников по€влени€ нелинейных систем уравнений могут быть попытки численного решени€ дифференциальных уравнений.

≈ще один возможный источник Ц задачи оптимизации. Ќапример, при проектировании конструкции крыла самолета логично стремитьс€ к конструкции наименьшего возможного веса (разумеетс€, при условии выполнени€ условий по прочности, жесткости и т.п.). ¬ес конструкции зависит от множества параметров (толщина обшивки, количество нервюр и стрингеров, свойств выбранного материала и многого-многого другого).

“о есть вес крыла есть не что иное, как функци€ многих переменных . ћежду тем, как известно, необходимым условием минимума такой функции €вл€етс€ равенство нулю производных функции по ее параметрам:

≈сли обозначить эти производные, как

то приходим к системе вида (7.4).

Ќадо сказать, что решение нелинейных уравнений Ц это проблема, не имеюща€ на сегодн€шний день окончательного решени€. Ќельз€ гарантировать успех даже в получении решени€ одного уравнени€ с одной неизвестной. ƒл€ систем уравнений Ц тем более. ќднако все-таки, в большинстве случаев удаетс€ получить приближенное решение таких задач.

 ак всегда, изучение начинаем с наиболее простого случа€ Ц одного нелинейного уравнени€ с одной неизвестной:

(7.6)

«десь прежде всего следует отметить два важных отличи€ нелинейных задач от линейных.

1. Ћюба€ невырожденна€ система линейных уравнений имеет единственное решение. ƒаже такие простые нелинейные уравнени€, как , или , могут иметь не одно, а несколько или даже бесконечное множество решений.

2. Ћюба€ система линейных уравнений может быть точно решена за конечное число арифметических операций.  онечно, при практическом решении —Ћј” в ходе вычислений используетс€ округление результатов. Ќо потенциальна€ возможность вычислени€ без погрешностей округлени€ имеетс€.

ƒл€ нелинейных уравнений ситуаци€ принципиально ина€. ќколо 1830 года Ёварист √алуа доказал, что дл€ полинома 5-й степени (и выше) не существует алгебраической формулы. “о есть невозможно получить его решение посредством конечного числа алгебраических операций (арифметических операций и извлечени€ корн€).

ћежду тем сама€ современна€ вычислительна€ техника, в конечном счете, при вычислени€х может использовать только перечисленые действи€ (за исключением корн€). «аметим, что полиномы Ц это не самые сложные из возможных нелинейных уравнений.

“о есть возникает тупикова€ ситуаци€: решение нелинейного уравнени€ имеющимис€ в насто€шее врем€ средствами получить невозможно.

Ќо, как обычно, когда получить чего-то нельз€, но очень хочетс€, наход€тс€ обходные пути. ¬ данном случае дл€ этого приходитс€ несколько расширить пон€тие решени€ уравнени€ .

—трого говор€, решением уравнени€ (7.6) €вл€етс€ значение , которое при подстановке в придает этой функции нулевое значение.

ѕриближенное решение (7.6) можно определить двум€ разными способами:

1. €вл€етс€ приближенным решением уравнени€ , если , где , некотора€ мала€ величина (допуск)

2. €вл€етс€ приближенным решением уравнени€ , если , где ‑ точное решение

Ќадо сказать, что оба этих определени€ не лишены недостатков (см рис.7.1).

ѕо видимому, хороший алгоритм, должен использовать оба определени€. ќднако второе определение выгл€дит несколько противоречивым. ¬ самом деле, если значение точного решени€ неизвестно, то как можно определить ?

Ёто противоречие кажущеес€. ћетоды, рассматриваемые далее, дают возможность определенно утверждать, что точное решение находитс€ между двум€ значени€ми и . ѕри выполнении итераций, рассто€ние между этими точками уменьшаетс€.  огда, наконец, окажетс€ , то любое значение из интервала удовлетвор€ет второму определени€

 

≈ще одна сложность св€зана с возможной неединственностью решени€. јлгоритмы, рассматриваемые далее (см также [7.2]) неплохо работают когда рассматриваетс€ интервал на котором имеетс€ один и только один корень. ƒл€ произвольной функции и произвольного интервала вполне может возникнуть ситуаци€, когда на рассматриваемом интервале располагаетс€ несколько корней.

¬ этом случае возникает проблема выделени€ корней. ¬ литературе можно найти различные рецепты. „аще всего рекомендуетс€ пройтись по всему интервалу с малым шагом, фиксиру€ каждую перемену знака . ќднако даже этот, в общем, неплохой совет не всегда срабатывает.

”местно здесь сослатьс€ на авторитетное мнение: ЂЌо вообще отделение корней есть искусствої ([7.3], стр.355).

 

ћетод половинного делени€

ѕожалуй, самым простым и надежным методом €л€етс€ метод половинного делени€. ¬ литературе также встречаетс€ другое название этого метода Ц метод бисекций.

ѕусть на отрезке непрерывна€ функци€ , корень которой надо найти, мен€ет знак (см рис.7.2). Ёто значит, что на этом отрезке имеетс€ точка , в которой .

¬ методе половинного делени€ очередное приближение (исходными приближени€ми €вл€ютс€ и ) определ€етс€ как точка, лежаща€ посередине, между точками и :

(7.7)

ƒл€ этой точки вычисл€етс€ и далее определ€етс€, на какой из двух половин отрезка находитс€ корень. ¬ случае приведенном на рисунке Ц на правой: .

ѕоэтому повтор€ем рассуждени€ дл€ правой половины, положив . ѕриближени€ продолжаютс€ до тех пор, пока не будет достигнута требуема€ точность: .

ћетод половинного делени€ отличаетс€ высокой надежностью. ѕравда скорость сходимости его невелика. ќценим количество итераций, которое потребуетс€ дл€ определени€ корн€. –ассмотрим дл€ простоты случай, когда корень ишетс€ на отрезке [0,1]. ѕусть точность, которую нам надо обеспечить 0.0001. “о есть, мы хотим определить корень с точностью до 4-х значащих цифр. “огда после первой итерации наш отрезок станет равным 1/2; после второй Ц 1/4; Е; после k-й Ц 1/2k. —ледовательно, необходима€ точность будет гарантированно достигнута при .

 онечно, при составлении программы надо учитывать возможность попадани€ очередного приближени€ на точное значение корн€. ’от€ така€ возможность и маловеро€тна.

 

 

ћетод касательных

ћетод касательных заключаетс€ в том, что каждое очередное приближение определ€етс€ путем замены исходной задачи: отыскани€ корн€ уравнени€ на более простую задачу: отыскание корн€ линейного уравнени€.

Ќа рис.7.3 нагл€дно иллюстрируетс€ иде€ метода. —начала выбираетс€ начальное приближение . »з точки графика функции дл€ этого значени€ проводитс€ касательна€ к графику. “очка пересечени€ этой касательной с осью абсцисс считаетс€ новым приближением. ƒалее эта операци€ повтор€етс€ до тех пор, пока очередна€ поправка не окажетс€ меньше требуемой точности.

“аким образом, на каждой итерации решение нелинейного уравнени€ замен€етс€ решнием линейного уравнени€. »з рассмотрени€ рисунка 7.2 несложно получить соотношение:

», таким образом, дл€ очередного приближени€ получаетс€ формула:

(7.8)

Ёта формула и определ€ет метод касательных. ¬ литературе этот метод часто назваетс€ методом Ќьютона, либо методом Ќьютона-–афсона. «десь формула (7.8) получена, исход€ из нагл€дных геометрических представлений.

¬озможно более строгое получение этой формулы с использованием р€да “ейлора (см, например, [5.2]).

ћетод касательных обладает уже значительно большей скоростью сходимости, чем метод половинного делени€. ƒанный метод обладает квадратичной сходимостью. √рубо говор€, это означает, что в результате одной итерации количество правильных значащих цифр удваиваетс€.

“о есть, если в начальном приближении имеетс€ одна верна€ цифра (перва€), то после первой итерации таких цифр будет две, а после второй Ц четыре. ѕолучаетс€, что тот результат, который метод половинного делени€ давал после 14 итераций в методе касательных может быть достигнут всего за две итерации.

ќднако, при высокой скорости сходимости, метод касательных оказываетс€ и более капризным. ¬озможные непри€тности иллюстрируютс€ рисунком 7.4.

“о есть при применении этого метода желательно иметь хорошее начальное приближение. ѕоэтому в хороших программах метод касательных примен€етс€ в комбинации с другими методами. Ќапример, после небольшого количества итераций медленным, но надежным методом, далее уточнение решени€ производитс€ методом касательных.

 

ћетод секущих

¬новь начнем с геометрической иллюстрации (рис.7.5). ¬ этом методе очередна€ итераци€ выполн€етс€ на основании двух предыдущих приближений.

ƒл€ запуска процесса выбираютс€ две точки, ограничивающую область, в которой ищетс€ корень: и . ƒалее точки графика функции , соответствующие этим значени€м аргумента, соедин€ютс€ пр€мой.

“очка пересечени€ пр€мой с осью абсцисс и €вл€етс€ очередным приближением.

ƒалее определ€етс€, на каком из двух отрезков ([a,c] или [c,b]) происходит перемена знака . (¬ случае, приведенном на рисунке: [c,b]).

ѕосле этого действи€ повтор€ютс€. »терации продолжаютс€ до тех пор, пока величина выделенного отрезка не станет меньше заданного значени€ точности.

ƒл€ получени€ формулы, определ€ющей этот метод, вновь воспользуемс€ геометрическими соображени€ми. ”равнение пр€мой, проход€щей через точки и :

(7.9)

ќтсюда следует, что значение , при котором :

(7.10)

—ледует заметить, что формулу (7.10) можно получить из уравнени€ дл€ метода касательных (7.8). ƒл€ этого достаточно в (7.8) вместо производной подставить ее приближенное разностное представление:

ћетод секущих сходитс€ медленнее, чем метод касательных. ќднако он менее чувствителен к выбору начальных приближений.

 

 

Ћитература

7.1. ќртега ƒж., ѕул ”. ¬ведение в численные методы решени€ дифференциальных уравнений. Ц ћ.: Ќаука, 1986. Ц 288 с.

7.2.  аханер ƒ., ћоулер  ., Ќэш —. „исленные методы и математическое обеспечение. Ц ћ.: ћир, 1998. Ц 575 с.

7.3.’емминг –.¬. „исленные методы дл€ научных работников и инженеров. Ц ћ.: ћир, 1972. Ц 400 с.



<== предыдуща€ лекци€ | следующа€ лекци€ ==>
“ема 7. Ѕухгалтерський та ѕодатковий обл≥к договору п≥др€ду | ∆изненный цикл корпоративной информационной системы
ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-12-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1577 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—вобода ничего не стоит, если она не включает в себ€ свободу ошибатьс€. © ћахатма √анди
==> читать все изречени€...

548 - | 490 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.025 с.