Тема 2. Динамика движения материальной точки.

1. Динамические характеристики.

2. Уравнения динамики (Законы Ньютона)

3. Виды сил физики (сила тяготения, сила трения и т.д.)

4. Различие сил: Консервативная и дессипативные.

1.Динамические характеристики.

Движение любого тела в инерциальной системе отсчета вызывается или изменяется только при взаимодействии с другими телами. Для описания взаимодействия между телами вводится понятие силы, которая дает количественную меру этого взаимодействия.

Физическая природа взаимодействия может быть различной, существуют гравитационные, электрические, магнитные и другие взаимодействия (см. Таблицу 1). В механике физическая природа сил несущественна, вопрос об их происхождении не выясняется. Но для всех видов взаимодействий их количественная мера должна быть выбрана единым образом. Измерять силы различной природы надо с помощью одних и тех же эталонов и единиц измерений. Законы механики универсальны, т.е. они описывают движение тел под действием силы любой природы. Для взаимодействий, которые рассматриваются в механике, сила может быть определена следующим образом.

Силой называется векторная величина F, являющаяся мерой механического воздействия одного тела на другое.

Механическое взаимодействие может осуществляться как между непосредственно контактирующими телами (сила трения, сила реакции опоры и т.д.), так и между удаленными телами.

Особая форма материи, связывающая частицы вещества в единые системы и передающая с конечной скоростью действие одних частиц на другие, называется физическим полем, или просто полем.

Взаимодействия между удаленными телами осуществляется посредством гравитационных (сила тяжести) или электромагнитных полей.

Механическое действие силы может вызвать ускорение тела или его деформацию. Сила - результат взаимодействия двух тел. Для правильного определения сил, действующих на тело, можно воспользоваться литературой [7,9], где приведены многочисленные примеры.

Сила F - вектор - полностью определена, если заданы ее модуль (величина), направление в пространстве и точка приложения. Прямая, вдоль которой направлен вектор F, называется линией действия силы.

Если говорить о силе, приложенной не к материальной точке, а к твердому телу и вызывающей его поступательное движение, то воздействие на тело не изменится при переносе точки действия силы вдоль линии ее действия.

Одновременное действие на материальную точку С нескольких сил F ₁ ,F ₂ ..... F _n эквивалентно действию одной силы, равной их геометрической (векторной) сумме и называемой результирующей или равнодействующей силой (см. Рисунок 7):

F _рез. = F ₁ + F ₂ + ..... + F _n.

Рисунок 7 - Векторное сложение сил.

Силы, действующие на тело или систему тел, можно разделить на внешние и внутренние. Тела, не входящие в состав исследуемой механической системы, называются внешними и силы, действующие с их стороны, - внешние. Внутренние силы - силы, действующие на точку или тело со стороны точек или тел, входящих в рассматриваемую систему.

Система, на которую не действуют внешние силы, называется изолированной или замкнутой.

2. Основополагающим понятием в динамике является понятие массы m, о котором в кинематике даже не упоминалось, не было необходимости. Любой материальный объект (тела, элементарные частицы, поля) обладает массой. Масса выступает как многосторонняя характеристика тела.

Она определяет его гравитационные свойства, т.е. силы, с которыми тело притягивается к другим телам, в частности, к Земле.

Масса характеризует инерционные свойства тела, т.е. способность тела сохранить состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, или изменить скорость.

Масса тела m определяет количество вещества в данном теле и равна произведению плотности вещества ρ на объем V тела:

m = ρ∙V.

Масса тела вместе с его скоростью определяет импульс и кинетическую энергию тела.

В классической механике для понятия массы характерно следующее:

• m = const, она не зависит от состояния движения тела,
• масса - величина аддитивная, т.е. масса системы равна арифметической сумме масс тел, входящих в систему,
• масса замкнутой системы остается неизменной при любых процессах, происходящих внутри системы (закон сохранения массы).

Итак, для массы можно дать следующее определение.

Масса - мера инертности тела или мера гравитационного взаимодействия.

3. Импульсом материальной точки называется векторная величина, равная произведению ее массы на ее скорость P = m v.

Импульсом системы материальных точек называется вектор, равный геометрической (векторной) сумме импульсов всех материальных точек системы:

P = P ₁ + P ₂ +.....+ P _n = P _i

Используя понятие массы, импульс системы равен произведению массы всей системы на скорость ее центра масс P = m v_ц.

Импульс P - вектор, по направлению совпадающий с направлением скорости.

Импульс - одна из фундаментальных характеристик физической системы. И масса, и скорость были определены ранее, но только импульс обладает уникальным свойством. Для него сформулирован закон сохранения импульса, который является универсальным законом. Он выполняется и в микромире (на уровне элементарных частиц, атомов и молекул), и в макромире (мир вокруг нас), и в мегамире (на уровне планет, Вселенной, Галактики). До сих пор не открыто явлений, в которых бы нарушался закон сохранения импульса.

2. Уравнения динамики (законы Ньютона)

Первый закон Ньютона

Всякая материальная точка или тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока на них не действуют силы или действие сил скомпенсировано.

Этот закон называется законом инерции, а движение точки или тела, свободных от внешних воздействий, называется движением по инерции.

Покой - частный случай равномерного прямолинейного движения, когда

а = 0 и v = const, или v = 0.

Любое механическое движение - относительное движение, его характер зависит от системы отсчета. Закон инерции справедлив не во всех системах отсчета.

Системы, в которых выполняется первый закон Ньютона, называются инерциальными.

Системы, в которых не выполняется первый закон Ньютона, называются неинерциальными.

Инерциальных систем бесконечно много. Любая система, движущаяся относительно данной инерциальной системы равномерно и прямолинейно, является также инерциальной системой.

Второй закон Ньютона

Первый закон Ньютона говорит о состоянии тел, если на них не действуют силы. Каким будет движение, если на точку или тело действуют силы? Ответ на этот вопрос дает второй закон Ньютона, он связывает три величины - силу, массу и ускорение.

Произведение массы материальной точки (тела) на ее ускорение равно действующей на нее силе F = m a.

Если на тело действует несколько сил, то в формулировке 2-ого закона используется равнодействующая сила (см. Рисунок 7)

F _рез = m a.

Это является следствием независимости действия сил на тело (точку) или говорят, что силы подчиняются принципу суперпозиции. Такое утверждение надо рассматривать как обобщение опытных фактов.

Так как в классической механике а = d v /dt и m = const, то второй закон можно переписать в виде:

И еще один вид уравнения 2-ого закона:

F ∙dt = d P

Величина F ∙dt называется вектором импульса силы, а величина d P - вектор изменение импульса тела под действием данной силы.

Основное уравнение динамики (второй закон Ньютона в векторном виде) можно записать в проекциях на касательное направление и нормаль к траектории в данной точке, используя полученные ранее выражения для нормального и тангенциального ускорений (§2.1.4):

,

.

Если тело (или точка) вращается по окружности, то можно записать уравнение для силы, действующей по касательной к траектории
,
и для силы, действующей по радиусу окружности (Рисунок 8)
.

– Разложение вектора F на составляющие F_τ и F_n, R – радиус окружности, по которой вращается тело (или точка).

Третий закон Ньютона

В первом и во втором законах Ньютона речь идет о силах, действующих на данное тело, и его движении под действием этих сил, но нет упоминания о других телах, со стороны которых эти силы действуют. Роль второго тела во взаимодействии отражена в третьем законе Ньютона.

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине, направлены в противоположные стороны F ₁₂ = - F ₂₁.

F ₁₂ - сила, действующая со стороны второго тела на первое, приложена к первому телу, F ₂₁ - сила, действующая на второе тело со стороны первого, приложена ко второму телу (Рисунок 9).

Рисунок 9 - Взаимодействие двух тел

 

3. Виды сил физики.

 

В настоящее время понятия основных взаимодействий, известных в природе, связано с понятием основных полей. Понятие физического поля мы определили ранее. Вообще понятие поля более широкое. Всякую физическую величину, плавно изменяющуюся в пространстве и однозначно определенную во всех его точках, можно рассматривать как поле. Поля бывают векторные и скалярные. Примерами скалярных полей является поле температур вблизи нагретой пластины или поле давлений около поверхности Земли. Примерами векторных полей является электрические и магнитные поля, гравитационное поле Земли и т.д. В Таблице 1 приведены характеристики различных взаимодействий, известных к настоящему времени в природе. Соответственно название физических полей совпадает с названием взаимодействий.

Таблица 1 (данные взяты из [1], том 3, стр263).

Взаимодействие/ Поле	Радиус взаимодействия	Const взаимодействия	Время взаимодействия
Гравитационное	¥	10 –39	–
Электромагнитное	¥	≈10 -2	10-16 -10-20 с
Ядерное (сильное)	10 –15 м		10-23 с
Слабое (распадное)	10 –15 м	10 –14	10 -9 с

Интенсивность взаимодействия принято характеризовать с помощью безразмерной величины, пропорциональной вероятности процессов, обусловленных данным видом взаимодействия. Гравитационное взаимодействие является универсальным, ему подвержены все без исключения элементарные частицы, но оно обладает предельно малой интенсивностью. Понятие времени взаимодействия является весьма условным. Эмпирически его можно ввести как минимальное время жизни частиц, подверженных распадам за счет данного взаимодействия. Прочерк в соответствующей графе для гравитационного взаимодействия стоит потому, что предполагаемый переносчик гравитационного взаимодействия – гравитон - экспериментально пока не обнаружен.

Силы в механике. Наиболее фундаментальные силы, лежащие в основе всех механических явлений, это силы гравитационные и электрические. Сила тяжести относится к гравитационному взаимодействию, сила трения и силы упругости - к электромагнитному взаимодействию.

Сила тяжести F = m g, где m - масса тела, g - ускорение силы тяжести. Заметим, что вес тела P - это сила, с которой тело действует на опору или подвес P = m (g – a), где a - ускорение тела (и опоры) относительно Земли. Если а = g, то вес тела равен нулю Р = 0 (состояние невесомости).

Упругая сила – сила, пропорциональная смещению точки из положения равновесия и направленная к положению равновесия. Примером такой силы может быть сила упругой деформации при растяжении (сжатии) пружины или стержня. В соответствии с законом Гука эта сила определяется так:

F_упр. = - k∙∆l, где k - коэффициент жесткости пружины (стержня), ∆ l - величина упругой деформации. Знак минус означает, что противоположны направления смещения точки и силы упругости, возникающей при этом смещении и действующей на смещенную точку.

Величина силы трения скольжения, возникающая при скольжении одного тела по поверхности другого, равна F_тр. = μN, где μ - коэффициент трения, зависящий от соприкасающихся поверхностей, N - сила реакции опоры.

Сила трения направлена в сторону противоположную направлению движения данного тела относительно другого. Есть другие виды сил трения - силы трения покоя и сила трения качения.

Сила сопротивления, действующая на тело при его поступательном движении в газе или жидкости определяется зависимостью F_{сопр. =} αv, где v - скорость тела относительно среды, α - положительный коэффициент, характерный для данного тела и данной среды, при малых скоростях практически постоянен. Сила сопротивления всегда направлена противоположно вектору скорости тела.

Выталкивающая сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости или газа: F_Арх. = gρ_срV, где ρ_ср. - плотность среды, V - объем тела, g - ускорение свободного падения.

Любые два тела притягиваются друг к другу — по той лишь одной причине, что они имеют массу. Эта сила притяжения называется силой тяготения или гравитационной силой. Закон всемирного тяготения Гравитационное взаимодействие любых двух тел во Вселенной подчиняется достаточно просто- му закону. Закон всемирного тяготения. Две материальные точки массами m1 и m2 притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квад- рату расстояния r между ними: F = G m1m2 r 2. (1) Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной. Это фунда- ментальная константа, и её численное значение было определено на основе эксперимента Генри Кавендиша: G = 6,67 · 10−11 Н · м 2 кг2. Порядок величины гравитационной постоянной объясняет, почему мы не замечаем взаим- ного притяжения окружающих нас предметов: гравитационные силы оказываются слишком малыми при небольших массах тел. Мы наблюдаем лишь притяжение предметов к Земле, мас- са которой примерно 6 · 1024 кг. Формула (1), будучи справедливой для материальных точек, перестаёт быть верной, если размерами тел пренебречь нельзя. Имеются, однако, два важных для практики исключения. 1. Формула (1) справедлива, если тела являются однородными шарами. Тогда r — расстояние между их центрами. Сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей центры шаров. 2. Формула (1) справедлива, если одно из тел — однородный шар, а другое — материальная точка, находящаяся вне шара. Тогда r — расстояние от точки до центра шара. Сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей точку с центром шара. Второй случай особенно важен, так как позволяет применять формулу (1) для силы притя- жения тела (например, искусственного спутника) к планете.

4.Различие сил: Консервативная и Диссипативная.

Консервативными силами называются силы, работа которых не зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Характерное свойство таких сил – работа на замкнутой траектории равна нулю:

 

 

К консервативным силам относятся: сила тяжести, гравитационная сила, сила упругости и другие силы.

Неконсервативными(диссипативными) силами называются силы, работа которых зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Работа этих сил на замкнутой траектории отлична от нуля. К неконсервативным силам относятся: сила трения, сила тяги и другие силы.

 

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, — консервативными.