МЕТОДОМ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы
Цель лабораторной работы № 1 - ознакомление с простейшим видом исследования вибрационных характеристик рабочих лопаток паровых и газовых турбин и компрессоров – с определением собственных частот колебаний лопаток методом свободных колебаний.
Результатом работы являются значения собственных частот колебаний по первой форме, полученных для ряда лопаток. На основании этих данных, а также замеров основных размеров лопаток необходимо сделать вывод о влиянии размеров лопаток на их собственные частоты и построить резонансные диаграммы лопаток.
Общие сведения
На рабочие лопатки паровых и газовых турбин и осевых компрессоров при их работе действуют периодически меняющиеся силы. Если частота изменения сил, возбуждающих колебания, совпадает с частотой собственных колебаний лопатки, возникает явление резонанса. При этом резко увеличивается амплитуда колебаний лопатки, вследствие чего также резко увеличиваются напряжения. Сочетание высоких действующих напряжений с достаточно большими частотами их изменения ведет к быстрому накоплению числа циклов нагружения и, как результат, к усталостным поломкам рабочей части лопаток.
Природа причин, вызывающих колебания лопаток, разнообразна: переменные газодинамические силы (ГДС); автоколебания; срывные колебания; наконец, колебания лопаток могут быть возбуждены вибрациями ротора.
Частота изменения ГДС, приложенных к лопаткам и возбуждающих вынужденные колебания, равна
, (1)
где К - число возмущений потока рабочего тела по окружности статора турбомашины; 
- частота вращения ротора турбомашины, 1/с.
Возмущения потока рабочего тела вызываются тем, что в проточной части турбомашины находятся разнообразные конструктивные элементы: сопловые лопатки, разделительные и скрепляющие стойки, камеры сгорания, плохо состыкованные горизонтальные разъемы, сопловые коробки, окна для отбора пара (воздуха) и др., за которыми в потоке формируются аэродинамические и тепловые следы. По известной конструкции турбомашины легко определить число возмущающих элементов каждого вида и прогнозировать вероятные частоты возму-щающих сил на характерных для режимов работы агрегата частотах вращения ротора.
Собственные частоты колебаний лопаток зависят от конструкции, размеров, материала, характера посадки в хвостовом соединении.
Для единичной необандаженной лопатки постоянного поперечного сечения, защемленной в хвостовом соединении с ротором, частота изгибных колебаний по первой форме
, (2)
где l – длина лопатки, м; E – модуль упругости, Н/м2; I, F – минимальный момент инерции, м4 и площадь поперечного сечения, м2 – соответ-ственно; 
- плотность материала, кг/м3.
Приближенно отношение 
, м2/с2 составляет:
- для сталей – 2,8·107;
- для титановых сплавов – 2,5·107.
Для грубых оценок можно принимать
, (3)
, (4)
где b – хорда профиля, м; h – максимальный подъем средней линии профиля, м; 
– максимальная толщина профиля, м.
Частоты собственных колебаний более высоких форм можно определить по соотношениям:
. (5)
При вращении ротора на лопатки действуют центробежные силы, которые, создавая растяжение лопатки, повышают собственную частоту ее колебаний. Значение этой частоты (так называемой "динамической частоты")
, (6)
где f - частота собственных колебаний неподвижной лопатки (статическая частота), 1/с; п - частота вращения ротора, 1/с.
Для лопатки постоянного поперечного сечения
, (7)
где 
- средний диаметр ступени, м; l - длина лопатки, м; a - угол между осью вращения ротора и осью минимального момента инерции сечения лопатки.
При подстановке в (6) значений статических частот высших форм
колебаний, определенных по (5), можно получить значения динамических частот высших форм. На основании таких расчетов строится резонансная диаграмма лопатки.
Приведенные выше формулы относятся к лопаткам постоянного поперечного сечения. Большинство лопаток имеют рабочую часть с площадью и моментом инерции сечений, изменяющимися по высоте ступени. Расчет собственных частот колебаний таких лопаток представляет сложную задачу. Приближенную оценку значения первой собственной частоты лопатки можно получить по формулам для лопаток с линейным характером изменения геометрических характеристик по высоте
, (8)
где I к, F к – минимальный момент инерции и площадь корневого сечения, F п – площадь периферийного сечения.
Динамическая частота лопатки переменного сечения рассчитывается по формуле (6) с использованием:
. (9)
Видно, что приближенные расчеты собственных частот лопаток
переменного сечения ненамного сложнее расчетов для лопаток
постоянного сечения. Однако точные расчеты существенно сложнее,
но и их результаты также не являются надежными вследствие
сильного влияния трудно учитываемых факторов: формы перехода от пера лопатки к хвостовику, характера закона изменения площади поперечного сечения по высоте лопатки и др. Поэтому для практических целей собственные частоты колебаний лопаток определяют опытным путем.
Экспериментальное определение собственных частот колебаний лопаток проводится на специальных стендах. При этом колебания лопаток возбуждаются тем или иным искусственным способом. Характер колебаний и их частоты анализируются с помощью датчиков или визуальными методами (по песочным фигурам Хладни или путем освещения стробоскопическими лампами).
В данной лабораторной работе используется простейший метод возбуждения колебаний – путем мгновенного приложения нагрузки, то есть ударом.
Теоретический анализ и практика показывают, что реакция упругого тела на удар – сложное колебательное движение, которое можно представить как сумму колебаний с широким набором частот. Пример такого процесса – звучание струны в молоточковых музыкальных инструментах, где на основной тон накладывается большое число обертонов. При этом вследствие поглощения энергии колебаний за счет внутреннего трения материала тела, трения его об окружающую среду и конструкционного трения высшие гармоники быстро (т. е. за малое число периодов) гаснут, а тело продолжает совершать свободные затухающие колебания с частотой основного тона, т. е. со своей собственной частотой. В зависимости от конструкции лопаток время затухания таких колебаний может меняться от десятых долей секунды до нескольких секунд. Этого времени достаточно, чтобы с помощью измерительной аппаратуры зафиксировать колебания и измерить их частоту.
Один из возможных методов определения частоты механических
колебаний основан на анализе фигур Лиссажу, которые описывает на
плоскости точка, участвующая в двух взаимно перпендикулярных
гармонических колебаниях. Параметрическое описание такого
движения
,
,
где f х – частота горизонтального движения, f у – частота вертикального движения.
Вид фигур Лиссажу зависит от отношений частот 
, отношений амплитуд Ау / Ах, разности фаз 
.
Разность фаз не играет роли уже при относительно малых частотах. Отношение амплитуд определяет лишь размеры прямоугольника, внутри которого заключены фигуры.
Примеры фигур Лиссажу при разных соотношениях 
показаны на рис. 1.
Рис. 1. Вид фигур Лиссажу при разных соотношениях частот
колебательных движений:
значения f y / f x: 1 – 0,5; 2 – 1,0; 3 – 2,0; 4 – 3,0
Для целей определения частот колебаний лопаток метод фигур Лиссажу применяется следующим образом.
Колебания лопатки, возбужденные ударом, воспринимаются датчиком (пьезокристаллическим, электромагнитным), который выраба-тывает электрический сигнал, менявшийся с частотой, равной частоте колебаний лопатки. Если подать этот сигнал на вход вертикальной развертки электронного осциллографа, а на вход горизонтальной развертки подать переменный электрический сигнал от генератора с известной частотой, то луч на экране электронно-лучевой трубки (ЭЛТ) осциллографа будет описывать фигуры Лиссажу, вид которых зависит от соотношения частот сигналов. Изменяя частоту сигнала, вырабатываемого генератором, можно найти такое состояние, когда фигура Лиссажу будет эллипсом. Это означает равенство частот исследуемого и опорного сигналов. Делая отсчет на шкале генератора, находим искомое значение частоты колебаний лопатки. Изложенный принцип может реализоваться по-разному, в зависимости от имеющегося набора аппаратуры.
