Дослідження можливостей, які дає ускладнення алгоритма регулятора

до пропорційно-інтегрально-диференційного (ПІД)

Мета роботи: дослідити, які переваги або недоліки пов’язані із зостосуванням в АСР

ПІД-регулятора як такого, який має три параметри налагодження.

1. Теоретичне посилання. Наступним по складності структури після ПІ-регулятора є

ПІД –регулятор. У формальному вигляді він має просту передатну функцію:

W_p(s) = k_p(1 + 1/T_is + T_ds) (1).

Структура ПІД-регулятора також може бути представленою як паралельно-погоджене поєднання трьох ланок: пропорційної, інтегральної та діференційної, а загальна крива розгону - як сума кривих розгону цих ланок. Треба лише зважати на те, що диференційна ланка навіть на моделі не може бути представлена як ідеальна, а лише як реальна (Рисунок 1):

Рисунок1. Структура та крива розгону ПІД-регулятора.

Параметри ПІД-регулятора визначаються з його передатної функції та з кривої розгону. Їх назва: k_p - коефіцієнт передачі, T_i - час ізодрому, T_d - час диференціювання, або час упередження. Співвідношення між останніми параметрами не може бути вільним. Якщо воно не виходить за межі T_d =(0.1-0.4)T_i, то крива розгону має такий вигляд, як це показано на Рисунку 1 б).

Істотним є таке припущення. Оскільки у складі ПІД-регулятора застосовано три ланки, які, відповідно, мають три параметри налагодження, то показники якості перехідного процесу у АСР повинні бути кращими, ніж у всіх попередніх випадках. Нагадаємо, що всі регулятори, які застосовувались раніше (П, І та ПІ), були менш складними.

Між тим, більша складність регулятора призводить до того, що у тій же мірі ускладнюється задача його налагодження. Складність починається з того, що загальний аналітичний розрахунск параметрів ПІД-регулятора можливий не завжди. Наприклад, якщо керований процес має малу інерційність, то алгоритм розрахунку може втратити стабільність. У цих умовах точна оптимізація параметрів неможлива, їх значення беруть за даними таблиць, номограм або просто приймають як максимально прийнятні параметри для даного регулятора. Якщо ж процес досить інерційний або має суттєве чисте запізнення, то задача має точне рішення. Як і у попередніх випадках, будемо вирішувати її у частотному просторі.

Наприклад, виконаємо оптимізацію параметрів ПІД- регулятора для випадка, коли процес описується моделлю з двох елементарних ланок: інтегральної та чистого запізнення. Цей випадок є відносно простим:

W_o(s)=(k/s)e^-^τ^s = (1/Τ_p)e^-^τ^s (2).

Як і раніше, розрахунок будемо вести за методом розширених КЧХ (РКЧХ).

Але спочатку треба записати характеристичне рівняння замкненої АСР:

1 + W_p(s)W_o(s)=0. (3).

Далі запишемо вираз для РКЧХ ПІД-регулятора:

W_p(m,ω)= Μ_p(m,ω)e^-^j^φ⁽^m^,^ω⁾;

(4)

та РКЧХ моделі керованого процесу:

W_o(m,ω)=M_o(m,ω)e^-^j^φ⁽^m^,^ω⁾ (5).

Із записів видно, що обидві характеристики записані у даному випадку у полярних координатах, тобто через модуль та аргумент. Далі діють наступні умови. Із виразу (3) одержимо:

W_p(m,ω)= -1/W_o(m,ω) (6),

а з умови рівності двох комплексних чисел, після складних перетворень:

k_p/T_i=[T_pω²(1-m²)(cos(ωτ)-msin(ωτ)]/e^mωτ +k_pT_d(1+m²)ω²;

k_p=ωT_p[2mcos(ωτ) + (1-m²)sin(ωτ)]/e^m^ωτ +2k_pT_dmω (7).

Ця система складається з двох рівнянь, тому не може бути вирішеною прямим шляхом - до неї входять три невідомі параметри: k_p; T_i; T_d.

З цієї причини необхідно, зазначивши постійне значення часу діференціювання

та тим самим перетворивши систему на визначену (за Діофантом), виконувати варіювання колової частоти ω та побудову залежності k_p/T_i та k_p при постійному значенні k_pT_d. Закінчивши обчислення та одержавши значення екстремуму кривої, зазначити наступний розмір k_pT_d та повторити процедуру. Виконавши обчислення для декількох значень k_pT_d, треба розглянути, для якого випадку екстремум буде глобальним, тобто найбільшим відносно k_p/T_i. Цей випадок дає рішення задачі, із нього визначаються оптимальні параметри налагодження ПІД-регулятора:

Рисунок 2. Розрахункова оптимізація параметрів налагодження ПІД-регулятора для керування астатичним об’єктом. Модель об’єкта: W_o(s)=(1/T_ps)e^-^τs.

Розрахункові змінні мають таку відповідність: T=T_p; S=k_p/T_i; Z=k_p; c=k_pT_d.

Трасування кривої з метою пошуку її екстремуму дає лише проміжний результат оптимізації параметрів ПІД-регулятора. Для одержання кінцевого результату потрібно варіювання параметру k_pT_d.

Згідно з кінцевим результатом оптимізації одержано: k_p=2.1; T_i=2.8/0.24=11.7 c.; T_d=3/2.8=1.07.

Якщо характеристики керованого об’єкту відрізняються від тих, які розглянуто у даному прикладі, задачу треба кардинально переглядати. Це пояснює, чому на практиці доволі рідко користуються точною оптимізацією параметрів ПІД-регулятора, а задовольняються наближеними розрахунками, які дають не оптимальний, а так званий квазиоптимальний результат.

Наприклад, для моделі процесу у складі: послідовне поєднання інерційної ланки першого порядку та ланки чистого запізнення (А.П.Копелович):

W_o(s) =k_Me^-^τ^s/(Ts + 1) (8),

параметри ПІД- регулятора можна визначати за емпірічними формулами:

параметр	m = 0.22	m =0.30	m =0.48
k_p	1.4/(τ/T)	1.1/(τ/T)	0.6/(τ/T)
T_i	1.6τ	2.0τ	5.0τ
T_d	0.5τ	0.4τ	0.2τ

Рисунок 3. Схема моделювання АСР для дослідження ПІД-регулятора, який поєднаний зі статичним агрегатом. Паралельно з ним діє ПІ-регулятор

Рисунок 4. Схема моделювання АСР для дослідження ПІД-регулятора та порівняння його дії з дією ПІ-регулятора (схема АСР з ПІ-регуляторм зверху). Статичний агрегат перетворено на астатичний.

Рисунок 5. Типові перехідні процеси регулювання в АСР з ПІД- та ПІ-регуляторами. Перехідні процеси наведено орієнтовно, для кожного з варіантів вони потребують уточнення.

2. Завдання для дослідження:

- уважно розглянути надісланий Вам варіант системи автоматичного керування, де у якості керованого застосовано статичний агрегат, маючий чисте запізнення;

- простежити, за власним планом, які властивості мають основні канали збурення або регулювання, які властивості мають ПІ- та ПІД регулятори;

- замінивши базовий керований процес на інтегральний, теж за власним варіантом, виконати розрахунок оптимальних параметрів ПІД-регулятора;

- виконати моделювання структури АСР, встановити оптимальні параметри на моделі регулятора та перевірити якість перехідного процесу;

- провести варіювання параметрів налагодження та виявити вплив кожного з них на два показники якості ПП регулювання (за власним вибором);

- зібрати всі результати у звітний протокол, зробити поміркований висновок, згідний з теоретичним посиланням;

- захистити виконане завдання.