Варіанти завдань для самостійного виконання

Завдання: 1) Відокремити корені аналітично і уточнити один з них методом поділу відрізка навпіл;

2) Відокремити корені графічно і уточнити один з них методом поділу відрізка навпіл.

№1 1) 2^х+5х-3=0,

3х⁴+4х³-12х²-5=0;

2) 0,5^х+1=(х-2)²,

(х-3)cosx=1, -2π≤x≤2 π;

№2 1) arctgx-1/3x³=0,

2х³-9х²-60x+1=0;

2) log₂(-x)(x+2)=-1

sin(x+π/3)-0,5x=0;

№3 1) 5^х+3х=0,

х⁴-х-1=0;

2) х²-2+0,5^х=0,

(х-1)²lg(х+11)=1;

№4 1) 2e^x=5х+2,

2х⁴-х²-10=0;

2) хlog₃(x+1)=1,

cos(x+0,5)= x³;

tgx=x+1; π/2≤x≤ π /2;

№5 1) 3^х-1-2-х=0,

3х⁴+8х³+6х²-10=0;

2) (х-2)²log_0,5(x-3)=-1

5sinx=x;

№6 1) arctgx-1/3x³=0,

х⁴-18x²+6=0;

2) x²2^х=1;

tg(x+1)=1, π /2≤x≤ π /2;

№7 1) e^-2x-2х+1=0,

х⁴+4х³-8х²-17=0;

2) 0,5^х-1=(х+2)²,

x²cos2x=-1;

№8 1) 5^х-6х-3=0,

х⁴-х³-2x²+3x-3=0;

2) x²-0,5^х-3=0;

хlg(х+1)=1;

№9 1) arctg(x-1)+2х=0,

3х⁴+4х³-12х²+1=0;

2) (х-2)²2^x=1,

x² -20sinx=0;

№10 1) 2arcctgx-x+3=0,

3х⁴-8х³-18х²+2=0;

2) 2sin(x+ π/3)=o,5x²-1,

2lgх-x/2+1=0;

№11 1) 3^х+2х-2=0,

2х⁴-8х³+8х²-1=0;

2) [(х-2)²-1] 2^х =1

(х-2)cosx=1, -2 π ≤x≤2 π;

№12 1) 2arcctgx-3x+2=0,

2х⁴+8х³+8х²-1=0;

2) [log₂(x+2)](x-1)=1,

sin(x-0,5)-x+0,8=0;

№13 1) 3^х+2х-5=0,

х⁴-4х³-8x²+1=0;

2) х²-3+0,5^х=0,

(х-1)²lg(х+11)=1;

№14 1) 2e^x+3х+1=0,

3х⁴+4х³-12x²-5=0;

2) хlog₃(х+1)=2;

cos(x+0,3)= x²;

№15 1) 3^х-1-4-х=0,

2х³-9х²-60x+1=0;

2) (х-3)²log_0,5(x-2)=-1

5sinx=x;

№16 1) arctgx-1/3x³=0,

х⁴-х-1=0;

2) (х-1)²2^x=1,

tg³x=x-1;

№17 1) e^x+х+1=0,

2х⁴-х²-10=0;

2) 0,5^х-3=(х+2)²,

х²cos2x=-1, -2 π ≤x≤2 π;

№18 1) 3^х-2х+5=0,

3х⁴+8х³+6x²-10=0;

2) 2х²-0,5^х-2=0,

хlg(х+1)=1;

№19 1) arctg(x-1)+3х-2=0,

х⁴-18х+6=0;

2) (х-1)²2^x=1,

x² -20sinx=0;

№20 1) 2arcctgx-х+3=0,

х⁴+4х³-8x²-17=0;

2) 2sin(x+ π/ 3)=x²- 0,5,

2lgx-x/2+1=0;

№21 1) 2^х-3х-2=0,

х⁴-х³-2х²+3x-3=0;

2) 0,5^х+1=(х-2)²,

(х-3)cosx=1, -2 π ≤x≤2 π;

№22 1) arcctgx+2x-1=0,

3х⁴+4х³-12x²+1=0;

2) (x+2)log₂(x)=1,

sin(x+1)=0,5x;

№23 1) 3^х+2х-3=0,

3х⁴-8х³-18х²+2=0;

2) х²-4+0,5^х=0,

(х-1)²lg(х+11)=1;

№24 1) 2e^x-2х-3=0,

3х⁴+4х³-12x²-5=0;

2) xlog₃(x+1)=1,

cos(x+0,5)= x³;

№25 1) 3^х+2+х=0,

2х³-9х²-60x+1=0;

2) (х-4)²log_0,5(x-3)=-1

5sinx=x-0,5;

№26 1) arctg(x-1)+2x-3=0,

х⁴-x-1=0;

2) (x-1)²2^х=1;

tg³x=x+1, π /2≤x≤ π /2;

№27 1) e^-2x-2х+1=0,

2х⁴-х²-10=0;

2) 0,5^х-3=-(х+1)²,

x²cos2x=-1, -2 π ≤x≤2 π;

№28 1) 3^х-2х-5=0,

3х⁴+8х³+6x²-10=0;

2) 2x²-0,5^х-3=0;

хlg(х+1)=1;

№29 1) arctg(x-1)+2х=0,

х⁴-18x²+6=0;

2) (х-1)²2^x=1,

х²-10sinx=0;

№30 1) 3^х+5х-2=0,

3х⁴+4х³-12х²+1=0;

2) 0,5^х+1=(x-2)²;

(х+3)cosx=1, -2 π ≤x≤2 π;

№31 1) e^-2x-2х+1=0,

х⁴+4х³-8х²-17=0;

2) 0,5^х-1=(х+2)²,

x²cos2x=-1;

№32 1) 5^х-6х-3=0,

х⁴-х³-2x²+3x-3=0;

2) x²-0,5^х-3=0;

хlg(х+1)=1;

№33 1) 3^х+2х-5=0,

х⁴-4х³-8x²+1=0;

2) х²-3+0,5^х=0,

(х-1)²lg(х+11)=1;

№34 1) 2e^x+3х+1=0,

3х⁴+4х³-12x²-5=0;

2) хlog₃(х+1)=2;

cos(x+0,3)= x²;

№35 1) 3^х+2х-2=0,

2х⁴-8х³+8х²-1=0;

2) [(х-2)²-1] 2^х =1

(х-2)cosx=1, -2 π ≤x≤2 π;

№36 1) 2arcctgx-3x+2=0,

2х⁴+8х³+8х²-1=0;

2) [log₂(x+2)](x-1)=1,

sin(x-0,5)-x+0,8=0;

Зразок виконання завдання

1) Відокремити корені аналітично і уточнити методом спроб(поділом відрізка пополам):

x⁴-x³-2x²+3x-3=0

Покладемо f(x)=x⁴-x³-2x²+3x-3, маємо (x)=4x³-3x²-4x+3. Знайдемо критичні точки, для того щоб з’ясувати проміжки монотонності:

4x³-3x²-4x+3=0, 4x(x²-1)-3(x²-1)=0, (x²-1)(4x-3)=0,

x₁=1, x₂=-1, x₃=3/4;

Складемо таблицю знаків функції:

X	-∞	-1	3/4		+∞
Signf(x)	+	-	-	-	+

Із таблиці видно, що рівняння має два дійсні корені:

x₁ (-∞;-1], x₂ [1, +∞).

Зменшимо проміжки на яких знаходиться корені:

X	-2	-1
Sign f (x)	+	-	-	+

Звідси випливає, що x₁ [-2;-1], x₂ [1, 2].

Уточнимо один з коренів, наприклад x₁ [-2;-1] методом дихотомії з точністю до сотень частин. Всі обрахунки зручно проводити використовуючи таку таблицю:

n	an	bn	xn=	x4n	-x3n	-2x2n	3xn	F(xn)
	-2	-1	-1,5	5,0625	3,375	-4,5	-4,5	-3,5625
	-2	-1,5	-1,75	9,3789	5,3594	-6,125	-5,25	0,3633
	-1,75	-1,5	-1,63	7,0591	4,3307	-5,3138	-4,89	-1,8140
	-1,75	-1,63	-1,69	8,1573	4,8262	-5,7122	-5,07	-0,7981
	-1,75	-1,69	-1,72	8,7521	5,0884	-5,9168	-5,16	-0,2363
	-1,75	-1,72	-1,73	8,9575	5,1777	-5,9858	-5,19	-0,0406
	-1,75	-1,73	-1,74	9,1664	5,2680	-6,0552	-5,22	0,1592
	-1,74	-1,73

x₁≈-1,73

2) Відокремити корені графічно і уточнити методом спроб(поділом відрізка пополам): x²log_0,5(x+1)=1

Перепишемо рівняння у вигляді log_0,5(x +1)=1/ x ², позначимо у ₁=log_0,5(x +1), у ₂=1/ x ² і побудуємо графіки даних функцій:

Рис. 8.2

Із рівняння видно, що рівняння має єдиний корінь x≈-0,8. Для уточнення кореня методом дихотомії виберемо проміжок, на кінцях якого функція має різні знаки f(x)=x²log_0,5(x+1)-1. Складемо таблицю:

x	-0,5	-0,8
Sign f (x)	-	+

 

Підрахуємо кількість ітерацій, необхідних для уточнення кореня з точністю до ε=0,01.

.

Для здійснення ітерацій використаємо табличний процесор Ms Excel. Для цього у комірку А2 введемо значення лівого кінця інтервалу уточнення кореня, у А3 – правого. У комірки В2:В3 введемо значення функції. Як видно з малюнка 8.3, значення функції на кінцях інтервалу різних знаків. Щоб поділити зазначений інтервал навпіл, між рядками 2 та 3 вставимо порожній рядок. В комірку А3 введемо значення =(А4+А2)/2 та скопіюємо формулу із комірки В2 в комірку В3 (дивись Рис. 8.4).

Рис. 8.3.

 

Рис. 8.4. Рис. 8.5.

Як видно із рисунка 8.4, на інтервалі [-0,65; -0,8] значення функції різних знаків. Вставимо порожній рядок між 3 та 4 рядком і повторимо аналогічну процедуру (Рис. 8.5). Далі поділимо навпіл інтервал [-0,725; -0,8]. Кожного разу необхідно ділити навпіл той інтервал, на кінцях якого функція приймає значення різних знаків. Після п’яти ітерацій отримуємо приблизне значення кореня x ≈-0,73

 

 

Рис. 8.6.