Рассмотрим вначале элементарный объем dV=dxdydz в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1). Мысленно закрепим площадку х=0 (рис. 3). На противоположную площадку действует сила 
. Эта сила совершает работу на перемещении 
. При увеличении напряжения от нулевого уровня до значения 
соответствующая деформация в силу закона Гука также увеличивается от нуля до значения 
, а работа пропорциональна заштрихованной на рис. 4 площади: 
. Если пренебречь кинетической энергией и потерями, связанными с тепловыми, электромагнитными и другими явлениями, то в силу закона сохранения энергии совершаемая работа перейдет в потенциальную энергию, накапливаемую в процессе деформирования: 
. Величина Ф= dU / dV называется удельной потенциальной энергией деформации, имеющей смысл потенциальной энергии, накопленной в единице объема тела. В случае одноосного напряженного состояния
Рис.3. Расчетная схема энергии деформации
Рис.4. Линейный закон сопротивления 
При одновременном действии напряжений , 
и 
на главных площадках (т. е. при отсутствии касательных напряжений) потенциальная энергия равна сумме работ, совершаемых силами 
на соответствующих перемещениях 
. Удельная потенциальная энергия равна
.
Рис.5. Расчетная схема сдвигаемой энергии
В частном случае чистого сдвига в плоскости Оху, изображенном на рис. 5, сила 
совершает работу на перемещении 
. Соответствующая этому случаю удельная потенциальная энергия деформации равна
Подобные соотношения будут иметь место при сдвиге в других плоскостях.
В общем случае напряженно-деформированного состояния будем иметь
| (11) |
Если деформации выразить через напряжения с помощью соотношений упругости (5) и (6), то получим эквивалентную (11) форму записи через компоненты тензора напряжений
| (12) |
Выразив напряжения через деформации с использованием соотношений (6) и (10), получим еще одну форму записи для Ф — через компоненты тензора деформаций
Еще одну форму записи для удельной потенциальной энергии деформации получим, разложив тензоры напряжений и деформаций на шаровые тензоры и девиаторы. В результате (11) можно привести к одной из форм
| (13) |
Здесь введены обозначения для 
— интенсивности касательных напряжений и 
— интенсивности деформаций сдвига, которые выражаются через вторые инварианты 
и 
девиаторов тензора напряжений и тензора деформаций следующим образом:
Первые слагаемые в (13) соответствуют произведению шаровых составляющих тензоров напряжений и деформаций, а вторые — произведению девиаторных составляющих. Так как шаровой тензор характеризует изменение объема, а девиатор — изменение формы, то соотношения (13) можно интерпретировать как разложение удельной потенциальной энергии на две составляющие: Ф=Ф0+Фф, где Ф0 соответствует изменению объема без изменения формы, а Фф — изменению формы без изменения объема. Первая составляющая будет вычисляться через компоненты тензора напряжений следующим образом:
| (14) |
Удельную потенциальную энергию изменения формы проще найти не через интенсивность касательных напряжений, а как разность Ф — Ф0. Вычитая (14) из (12), после преобразований получим
Лекция № 9. Механические характеристики конструкционных материалов
Механические характеристики определяются следующими факторами:
- веществом, его структурой и свойствами;
- конструктивными особенностями элемента, т. е, размерами, формой, наличием концетраторов, состоянием поверхности;
- условиями при нагружении: температурой, скоростью, повторяемостью нагрузки и др.
Конструкционные материалы в процессе деформирования вплоть до разрушения ведут себя по разному. Пластичное поведение характеризуется существенным изменением формы и размеров, при этом к моменту разрушения развиваются значительные деформации, не исчезающие после снятия нагрузки. Такие материалы называют пластичными. При хрупком поведении разрушение наступает при весьма малых деформациях, и материалы с такими свойствами называют хрупкими. Однако одни и те же конструкционные материалы, находящиеся в различных условиях деформирования, ведут себя по разному: при одних условиях проявляют себя как пластичные материалы, при других—как хрупкие. В связи с этим, основные макромеханические характеристики материалов — упругость, пластичность, вязкость и др. правильнее относить не к их свойствам, а к состояниям материала.
