Вычисление обратной матрицы и определителя

Операции над числовыми величинами

символ	Выполняемое действие
+	Покомпонентное (поэлементное) сложение числовых массивов одинаковой размерности; добавление скалярной величины к каждому элементу массива
-	Покомпонентное (поэлементное) вычитание числовых массивов одинаковой размерности; вычитание скалярной величины от каждого элемента массива
*	Умножение матриц в соответствии с правилами линейной алгебры; умножение всех элементов массива на скаляр
.*	Покомпонентное умножение элементов массивов одинаковой размерности
/	Деление скаляра на скаляр; покомпонентное деление всех элементов массива на скаляр; A/B=A*B (A, B – квадратные матрицы одного порядка
\	A\B=A *B (левое матричное деление, А – квадратная матрица)
.\	A. \В - покомпонентное деление элементов массивов одинаковой размерности
^	Возведение скаляра в любую степень; вычисление целой степени квадратной матрицы
.^	Покомпонентное возведение в степень элементов массива
‘	Вычисление сопряженной матрицы
.’	Транспонирование матрицы

 

Приоритет операций.

Логические операции (кроме операции «Логическое НЕ», называемой также операцией отрицания) имеют самый низкий приоритет. Сведения о приоритете операций (в порядке убывания) приведены ниже:

1. Круглые скобки (),

2. Транспонирование (. ), транспонирование с комплексным сопряжением (), возведение в степень (^), поэлементное возведение в степень (. ^),

3. Логическое отрицание (~),

4. Умножение и деление (. *,./,.\, *, /, \),

5. Сложение и вычитание(+,-),

6. Операции сечения массива(:),

7. Операции отношения (>, >=,<, <=,==, ~=),

8. Логическое И (&),

9. Логическое ИЛИ (|).

Отметим, что в одном выражении можно использовать все вышеперечисленные операции (арифметические, логические, операции сравнения), при этом последовательность выполнения операций определяется их расположением внутри выражения, их приоритетом и наличием круглых скобок (круглые скобки используются, в частности, для изменения приоритета операций в математических выражениях, причем степень вложения скобок не ограничивается.

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

Пусть – исходная квадратная матрица. Матрица (или ) - обратная матрица по отношению к матрице , они связаны следующим соотношением:

,

 

где Е – квадратная единичная матрица такого же порядка, что и матрицы и .

 

 

Рассмотрим простой пример.

 

Продемонстрируем на примере вычисление обратной матрицы методом неопределенных коэффициентов, который приводит к решению системы линейных уравнений.

Пусть исходная матрица А задана

 

Запишем матрицу в виде

 

 

 

 

и Умножим 1-ую строку матрицы на 1/2 и вычтем из второй строки,

умножим 1-ую строку матрицы на 5/2 и вычтем из третьей строки,

в результате получим

 

Умножим 2-ую строку матрицы на 17/7 и вычтем из третьей строки, в результате получим

 

Определитель матрицы

 

Матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Приравняем их и найдем все элементы обратной матрицы.

 

Приравняем элементы первых столбцов:

 

Аналогичным образом, приравнивая элементы второго и третьего столбцов, найдем

 

 

Ответ:

 

det=100

 

Более короткая форма записи вычисления обратной матрицы

Исходная матрица Расширенная матрица

 

 

Прямой ход

1-й шаг

 

2-й шаг

 

 

Определитель системы

 

Вычисление элементов 1-го столбца обратной матрицы

 

из 3-го уравнения:

из 2-го уравнения:

из 1-го уравнения:

 

Вычисление элементов 2-го столбца обратной матрицы

 

из 3-го уравнения:

из 2-го уравнения:

из 1-го уравнения:

 

Вычисление элементов 3-го столбца обратной матрицы

 

из 3-го уравнения:

из 2-го уравнения:

из 1-го уравнения:

Ответ:

 

det=100

 

Вычисление обратной матрицы в системе MATLAB

1)

A=[2 -3 1; 1 2 -6; 5 1 1]

A_INV=inv(A)

 

2)

A=[2 -3 1; 1 2 -6; 5 1 1];

disp(‘Исходная матрица А’)

fprintf(‘\n’)

for i=1:3

fprintf(‘%8.2f’,A(i,:));

fprintf(‘\n’)

end

A_INV=inv(A)

disp(‘Обратная матрица А_INV’)

fprintf(‘\n’)

for i=1:3

fprintf(‘%8.2f’,A_INV(i,:));

fprintf(‘\n’)

end

d=det(A);

fprintf (‘det A=%8.2f’,d)