Введение
Данное пособие написано для того, чтобы оказать помощь в овладении материалом, необходимым для написания контрольной работы №2 студентами-заочниками экономических специальностей.
Вошедший в пособие теоретический материал является продолжением лекций, прочитанных в зимнюю сессию первого семестра. Перед выполнением контрольной работы его следует обязательно изучить.
Также в пособии имеется пример решения контрольной работы №2, в котором рассмотрены все задания контрольной работы, за исключением задачи 5, тематика которой рассматривается во время сессии.
Часть теоретического материала, изложенного в данном пособии, будет использована при выполнении следующей контрольной работы №3. Сюда она помещена для логичности изложения темы функции нескольких переменных.
Исследование функций одной переменной с помощью производной, построение графиков
Определение промежутков возрастания и убывания функций
Функция 
называется возрастающей, если для любого 
выполняется условие 
где 
– приращение независимой переменной или аргумента.
Другими словами, большим значениям переменной соответствуют большие значения функции. Из определения возрастающей функции следует, что ее приращение 
, следовательно, для возрастающей функции: 
.
Функция называется убывающей, если для любого выполняется условие 
.
Другими словами, большим значениям переменной соответствуют меньшие значения функции. Из определения убывающей функции следует, что ее приращение 
, следовательно, для убывающей функции
.
Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, находят её производную, затем определяют критические точки производной, при переходе через которые может происходить смена знака, это точки, где производная равна 0 или не существует. После этого критические точки отмечают на числовой оси и определяют знак производной в полученных интервалах, затем в соответствии со знаком производной устанавливают промежутки возрастания и убывания функции.
Исследование функции на экстремумы
Значение 
называется максимумом функции 
, если существует окрестность точки 
такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство 
, 
.
Другими словами, значение функции в точке максимума больше всех соседних значений функции.
Значение называется минимумом функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство 
, .
Другими словами, значение функции в точке минимума меньше всех соседних значений функции.
Максимум и минимум функции называются также одним словом – экстремум функции.
Экстремумы могут быть “гладкими”, как на рисунках внизу.
|
|
Касательные, проведенные к графику функции в точках экстремума, параллельны оси OX. Пусть a – угол между касательной и положительным направлением оси OX, тогда 
и 
, а так как 
, то производная 
в точках “гладкого” экстремума равна 0. Точки, в которых производная равна 0, называются стационарными. Однако не в каждой стационарной точке имеется экстремум функции. На рисунке представлен график функции 
, ее производная при 
равна 0, но из рисунка видно, что никакого экстремума при у функции нет. Из рисунков 1 и 2 видно, что вблизи экстремума производная функции должна менять знак: вблизи максимума с “+” на “–”, а вблизи минимума с “–”на “+”.
Экстремумы функции могут быть “острыми”, как на рисунках 3 и 4. Касательные к графику функции, проведенные при 
, образуют прямой угол с OX (
), следовательно, значение 
в точках острого экстремума не существует (не определено), а т.к. 
, то не существует и производная. Как и в предыдущем случае, можно заметить, что не для всех значений переменной, для которых производная не существует, будет существовать экстремум функции.
|
Рассмотрим график функции 
; её производная 
при не существует, но и сама функция в этой точке не определена, поэтому определение экстремума для этой точки не применимо (нет значения, которое можно сравнивать с другими).
Итак, чтобы исследовать функцию на экстремум, нужно найти производную. Затем найти критические точки: те значения переменной, при которых производная равна 0 или не существует. Из критических точек выбрать те, где сама функция непрерывна (определена). Для таких точек проверить смену знака производной вблизи критических точек: если производная при увеличении аргумента меняет знак с “+” на “–”, значит, в данной точке максимум, при смене знака с “–”на “+” в точке имеется минимум; если смены знака не происходит, экстремума нет.
Для тех точек, где производная равна 0, проверку на экстремум можно выполнить и по-другому. На рис. 1 видно, что в районе максимума функция вначале возрастает, затем убывает, т.е. первая производная меняет знак с “+” на “–”, другими словами, убывает. Следовательно, вторая производная 
(производная от ) отрицательна (см. п. 1.1.). Аналогично, из рис. 2 видно, что в районе минимума функция вначале убывает, затем возрастает, т.е. первая производная меняет знак с “–”на “+”, возрастает и, следовательно, (производная от ) положительна.
Следовательно, если в критической точке первая производная равна 0, а вторая отрицательна, то в ней имеется максимум; если же в критической точке первая производная равна 0, а вторая положительна, то в ней имеется минимум.
