Лекция 5. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА.
Вероятностный смысл волн де Бройля. Волновая функция.
Волны де Бройля имеют специфическую квантовую природу, не имеющую аналогии с волнами в классической физике. Это не электромагнитные волны, так как их распространение в пространстве не связано с распространением какого-либо электромагнитного поля. Вопрос о природе волн можно сформулировать как вопрос о физическом смысле амплитуды этих волн. Вместо амплитуды удобнее выбрать интенсивность волны, пропорциональную квадрату модуля амплитуды.
Из опытов по дифракции электронов следует, что в этих экспериментах обнаруживается неодинаковое распределение пучков электронов, отраженных по различным направлениям. С волновой точки зрения наличие максимумов числа электронов в некоторых направлениях означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. Интенсивность волн в данной точке пространства определяет плотность вероятности попадания электронов в эту точку за 1 сек.
Это послужило основанием для своеобразного статистического, вероятностного истолкования волн де Бройля.
Квадрат модуля амплитуды волн де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке.
Для того чтобы описать распределение вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой точке пространства, введем функцию, которая является функцией времени и координат, обозначается греческой буквой ψ и называется волновой функцией или просто пси-функцией.
По определению 
- вероятность того, что частица имеет координату в пределах x, x+dx.
Если 
, то 
- вероятность того, что частица находится в объеме dxdydz.
Следовательно, вероятность того, что частица находится в элементе объема dV, пропорциональна квадрату модуля пси-функции и элементу объема dV.
Физический смысл имеет не сама функция ψ, а квадрат ее модуля 
, где ψ* - функция, комплексно сопряженная с ψ. Величина 
имеет смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность пребывания частицы в данной точке пространства. Иными словами определяет интенсивность волн де Бройля. Волновая функция является основной характеристикой состояния микрообъектов (элементарных частиц, атомов, молекул).
Нестационарное уравнение Шредингера.
Уравнения Ньютона в классической механике позволяют для макроскопических тел решить основную задачу механики – по заданным силам, действующим на тело (или систему тел), и начальным условиям найти для любого момента времени координаты тела и его скорость, т.е. описать движение тела в пространстве и времени.
При постановке аналогичной задачи в квантовой механике необходимо учитывать ограничения на возможность применения к микрочастицам классических понятий координат и импульса. Поскольку состояние микрочастицы в пространстве в данный момент времени задается волновой функцией, а точнее - вероятностью нахождения частицы в точке x,y,z в момент t, основное уравнение квантовой механики является уравнением относительно пси-функции 
.
Это уравнение было получено в 1926 г. Шредингером. Как и уравнения движения Ньютона, уравнение Шредингера постулируется, а не выводится. Справедливость этого уравнения доказывается тем, что полученные с его помощью выводы находятся в хорошем согласии с экспериментами.
Уравнение Шредингера имеет вид
,
здесь m – масса частицы, i – мнимая единица, 
- оператор Лапласа, результат действия которого на некоторую функцию
.
U(x,y,z,t) – в рамках наших задач потенциальная энергия частицы, движущейся в силовом поле. Из уравнения Шредингера следует, что вид пси-функции определяется функцией U, т.е. в конечном счете, характером сил, действующих на частицу.
Уравнение Шредингера дополняется важными условиями, которые накладываются на пси-функцию. Этих условий три:
1) функция ψ должна быть конечной, непрерывной и однозначной;
2) производные 
должны быть непрерывны
3) функция 
должна быть интегрируема, т.е. интеграл
должен быть конечным. В простейших случаях третье условие сводится к условию нормировки
Это означает, что пребывание частицы где-либо в пространстве есть достоверное событие и его вероятность должна быть равна единице. Первые два условия – обычные требования, накладываемые на искомое решение дифференциального уравнения.
Поясним, как можно прийти к уравнению Шредингера. Ограничимся для простоты одномерным случаем. Рассмотрим свободно движущуюся частицу (U = 0).
Сопоставим ей, согласно идее де Бройля, плоскую волну
Заменим 
и 
и перепишем
.
Продифференцировав это выражение один раз по t, а второй раз дважды по x, получим
;
Энергия и импульс свободной частицы связаны соотношением
.
Подставив в это соотношения выражения для Е и р2
Последнее выражение совпадает с уравнением Шредингера при U =0.
В случае движения частицы в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, энергия Е и импульс р связаны соотношением
.
Тогда
.
Изложенные рассуждения не имеют доказательной силы и не могут рассматриваться как вывод уравнения Шредингера. Их цель – пояснить, каким образом можно прийти к установлению этого уравнения.
