Вопрос 2. Определители, свойства, вычисление.

Каждой квадратной матрице А может быть поставлено в соответствие некоторое число, вычисляемое по определенному правилу с помощью элементов матрицы. Такое число называют определителем (или детерминантом) матрицы А и обозначают символом | А |, D или det A. При этом порядком определителя называют порядок соответствующей матрицы.

Пусть дана матрица второго порядка .

Тогда определитель второго порядка матрицы А вводится по формуле:

где - элементы определителя, , , – члены определителя.

В каждый член определителя входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца.

Пример 11:

Свойства определителей:

Свойство 1: При перестановке строк матрицы на место столбцов и обратно определитель матрицы не меняется.

Пусть задана матрица , а матрица получена из перестановкой строк на место столбцов.

называется транспонированной матрицей по отношению к .

Тогда, .

Свойство 2: При перестановке двух столбцов (или строк) абсолютное значение определителя матрицы не меняется, а знак меняется на противоположный.

Пусть задана матрица , полученная из перестановкой столбцов. Тогда,

Свойство 3: Если матрица имеет два одинаковых столбца (или строки), то определитель матрицы равен нулю.

Свойство 4: Если все элементы какого-либо столбца (строки) матрицы умножить на одно и то же число, то определитель матрицы окажется умноженным на то же число.

; .

;

Свойство 5: Если все элементы какого-либо столбца (или строки) матрицы равны нулю, то определитель матрицы равен нулю.

Свойство 6: Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк матрицы пропорциональны, то .

; .

Свойство 7: Пусть все элементы какого-либо столбца (строки) матрицы представляют собой сумму двух слагаемых, и пусть соответственные столбцы матрицы и состоят из этих слагаемых.

; ; .

Тогда, .

Свойство 8: Определитель матрицы не меняется, если к элементам какого-либо столбца (или строки) матрицы прибавить элементы другого столбца (или строки), умноженные на одно и то же число.

Пусть и .

Тогда,

Замечание. Рассмотренные свойства выполняются для определителей любого порядка.

Матрице третьего порядка соответствует определитель

Для запоминания знаков слагаемых и сомножителей в каждом слагаемом полезно запомнить следующее правило.

Правило Крамера (треугольников).

Определитель третьего порядка – это алгебраическая сумма шести тройных произведений. Каждое слагаемое в этой сумме содержит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца.

Со знаком «+» берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями параллельными главной диагонали

Со знаком «-» берутся произведения, сомножители которых расположены на побочной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями параллельными этой диагонали

Прежде, чем сформулировать определение определителя -го порядка, необходимо ввести понятие минора и алгебраического дополнения элементов матрицы.

Рассмотрим определитель третьего порядка

Выберем произвольный элемент этого определителя (для определенности ). Минором этого элемента называют определитель второго порядка, получаемый из данного вычеркиванием третьей строки и второго столбца, на пересечении которых стоит элемент :

Минором элемента определителя - го порядка называют определитель – го порядка, получаемый из исходного вычеркиванием -й строки и -го столбца на пересечении которых расположен элемент .

Алгебраическим дополнением элемента называют его минор, взятый с соответствующим знаком .

Теорема (разложение определителя по элементам строки (столбца)).

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

Теорема Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Задан определитель .

Для него выполняется .

Вычисление определителя - го порядка происходит по теореме 1, причем раскладывать определитель удобнее по той строке (столбцу), в которой все элементы кроме одного равны нулю. Если такой строки нет, то ее нужно получить, применяя свойства определителей.

Итак, если дана матрица -го порядка