При построении линии пересечения соосных поверхностей вращения, т.е. таких, оси которых пересекаются, наиболее эффективным является метод вспомогательных секущих концентрических сфер.
Оговоримся, что этот метод применим лишь в случае выполнения трех условий:
1). Обе поверхности, линию пересечения которых мы определяем, являются поверхностями вращения;
2). Оси этих поверхностей вращения должны быть параллельны одной из плоскостей проекций;
3). Оси заданных поверхностей должны пересекаться.
Как видим, для решения предыдущей задачи о пересечении конуса и сферы указанный метод неприменим, так как не выполняется третье условие.
Решим задачу о пересечении двух конусов, оси которых пересекаются и параллельны П 2 (рис. 7.2).
Рис. 7.2. Построение точек пересечения конусов.
Центром концентрических сфер, которые обеспечивают дополнительные построения, необходимые для решения задачи, является точка пересечения осей поверхностей вращения. В данном случае это точка О пересечения осей конусов.
Рассмотрим построение точек пересечения конусов с помощью произвольной сферы (рис. 7.2). Ее проекция на П2 представляет собой окружность такого же радиуса, как и сфера.
А проекцией на П2 линии пересечения построенной секущей сферы с конусом является прямая, параллельная основанию конуса. Ее можно построить, соединив точки пересечения окружности и контура конуса. Очевидно, что таких прямых две для каждого конуса.
Точки А 2, В 2, С 2 пересечения этих прямых между собой и являются фронтальными проекциями точек пересечения конусов. Как видим, используя только одну окружность, можно получить несколько точек пересечения конусов. Ясно, что их не может быть более четырех для одной дополнительно построенной сферы.
Далее не составляет труда построить горизонтальные проекции точек А, В, С, учитывая, что каждая из них является точкой на поверхности прямого конуса. Как излагалось ранее (п.4.1), для этого достаточно измерить расстояния от оси конуса до его контура по прямой, проходящей через точку, горизонтальную проекцию которой строим. Затем этим радиусом из точки О 1 провести окружность и на ней по линии связи найти горизонтальную проекцию. На рис. 7.2 указанные построения выполнены для точки С. Поскольку ей на П1 соответствует две точки С 1 и С 1*, то понятно, что на П2 имеем дело с двумя конкурирующими точками. Поэтому, уточняя предыдущие замечания, следует отметить, что построенная секущая сфера дает не три, а шесть точек пересечения конусов. Построение горизонтальных проекций остальных точек ничем не отличается от вышеприведенного.
Для того, чтобы построить линию пересечения конусов, точек, через которые она проходит, должно быть достаточное количество. Дальнейшее решение поставленной задачи рассмотрим на рис. 7.3. Четыре точки 12, 22, 32, 42 имеем без дополнительных построений, так как они лежат на пересечении образующих конусов. Остальные точки на П 2 получим, проведя четыре окружности. Для окружности радиуса R 1 фронтальными проекциями точек пересечения конусов являются 52, 52*, 52**, 52***. Для окружности радиуса R 2 таких точек две – 62, 62*. Окружность радиуса R 3 дает также две точки - 72, 72*. Окружность радиуса R 4 позволяет получить лишь одну точку 82. Очевидно, что проводить окружности радиусом, большим чем О 242, и меньшим, чем R 2, не имеет смысла, так как не получим ни одной точки пересечения.
Как видно на рис. 7.3, четырех окружностей достаточно для того, чтобы построить фронтальную проекцию линии пересечения конусов, соединив найденные точки.
Рис. 7.3. Пересечение двух конических поверхностей.
Для построения горизонтальной проекции полученных точек необходимо решить рассмотренную ранее задачу построения точек на поверхности конуса. Так, для построения точки, например, 71 надо измерить расстояние по горизонтальной линии, проходящей через 72, от оси до контура конуса, а затем этим радиусом из точки О 1 провести дугу. Точка 71 лежит на пересечении этой дуги с линией связи, проведенной из 72. Аналогично строятся горизонтальные проекции остальных точек.
Поскольку точки 5* и 5** лежат на образующей горизонтального конуса, которая на П 1 является контурной, то, очевидно, что точки 51* и 51** служат точками перехода линии пересечения конусов из видимой зоны в невидимую.
С учетом того, что изображенные поверхности симметричны относительно фронтальной плоскости уровня, соединив построенные
точки кривой линией, получим решение в окончательном виде (рис. 7.3).
В частном случае, когда размеры пересекающихся поверхностей вращения таковы, что обе они могут быть описаны вокруг одной и той же сферы, применима теорема Монжа.
7.3. Теорема Монжа
Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности (или вписаны в нее), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка (эллипс, окружность, гиперболу, параболу). Причем, плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линии касания.
Решение задачи о нахождении линии пересечения конуса и цилиндра, изображенных на рис. 7.4, значительно упрощается, если применить теорему Монжа.
Рис. 7.4. Построение линии пересечения цилиндра и конуса по теореме Монжа
Как видим, обе рассматриваемые поверхности описаны вокруг сферы. Построим решение сначала на П 2. Очевидно, точки 12, 22, 32, 42 являются точками пересечения конуса и цилиндра, так как лежат на контурных образующих. Тогда в соответствии с теоремой Монжа решением являются две прямые, проходящие через точки 12 и 32 и точки 22 и 42, так как эти прямые представляют собой фронтальные проекции плоскостей, упомянутых в теореме.
В данном случае полученные линии пересечения цилиндра и конуса являются эллипсами, построение которых на П 1 ничем не отличается от построения любой линии, лежащей на поверхности конуса. Выбирая точки на фронтальной проекции каждой из линий 13 и 24, получаем их горизонтальные проекции.
Точки 1, 2, 3, 4 лежат на образующей конуса, параллельной П 2, поэтому их положение на П 1 можно найти по линии связи, проходящей через 12, 22, 32, 42. Точки 5 и 6 выбраны на образующей цилиндра, также параллельной П 2, что позволяет по фронтальным проекциям 52 и 62 найти горизонтальные проекции 51 и 61 соответственно, которые являются точками перехода видимой части горизонтальной проекции линий пересечения цилиндра и конуса в невидимую.
Точка 7 является точкой касания цилиндра и конуса. Ввиду симметрии относительно фронтальной плоскости уровня решение на П 1 симметрично относительно горизонтальной оси, а на П 2 видимые участки линии пересечения совпадают с невидимыми.
