Линия, соединяющая две точки на земной поверхности, характеризуется прямым и обратным дирекционными углами. На рис. 10 показаны прямой α1-2 и обратный α2-1 дирекционные углы.
Рис.10. Прямой и обратный дирекционные углы
Эти углы, как видно из рисунка, связаны следующей зависимостью:
α2-1 = α1-2 + 180º.
В общем виде зависимость между прямыми и обратными дирекционными углами записывается так
α обр = αпр ± 180º.
Пример. Если αпр = 200º, то α обр = 200º + 180º = 380º– 360º = = 20º, или α обр = 200º – 180º = 20º.
2.3. Связь между дирекционными углами
сторон полигона
На рис. 11. показаны две стороны полигона: предыдущая 1-2 и последующая 2-3.
Рис. 11. Дирекционные углы сторон полигона
Известны дирекционный угол α1-2 и угол β2, вправо по ходу лежащий между предыдущей и последующей сторонами. Не трудно видеть, что
α 2-3 = α1-2 + 180º – β2.
Дирекционный угол последующей линии равен дирекционному углу предыдущей линии плюс 180º минус угол, вправо по ходу лежащий между рассматриваемыми линиями.
Пример. Если α1-2 = 340º 12', β2 = 145º 55', то
α 2-3 = 340º 12' +180º – 145º 55' = 14º17'.
2.4. Румбы. Связь между румбами
и дирекционными углами
Румб – это острый угол между данным направлением и ближайшим направлением меридиана (северным или южным).
На рис. 12,а плоскость линиями С-Ю и З-В делится на четыре четверти: первая (1), вторая (2), третья (3) и четвертая (4). В первой четверти r1 = СВ:45º, во второй r2 = ЮВ:60º, в третьей r3 = ЮЗ:55º, в четвертой r4 = СЗ:30º.
Рис. 12. Румбы и дирекционные углы
На рис. 12,б видно, что
в первой четверти r1 = α1 и α1 = r1,
во второй – r2 = 180º– α2 и α2 = 180º – r2,
в третьей r3 = α3 – 180º и α3 = 180º + r3,
в четвертой – r4 = 360º – α4 и α4 = 360º – r4.
Пример. Дирекционный угол α = 133º25'. Найти соответствующий этому углу румб.
Дирекционный угол находится во второй четверти, следовательно, угловая величина румба составит 180º – 133º25' = 46º35'. Полная запись румба r = ЮВ: 46º35'.
Прямая геодезическая задача
Дано: координаты точки 1(х1; у1), горизонтальное расстояние между точками 1 и 2 (d), дирекционный угол линии 1-2 (a).
Найти: координаты точки 2 (х2; у2).
На рис. 13,а видно, что
х2 = х1 + Δх, у2 = у1 + Δу.
Рис. 13. Прямая геодезическая задача
Из прямоугольного треугольника 1А2 следует, что
Δх = d×cosα, Δу = d×sinα.
Тогда х2 = х1 + d×cosα, у2 = у1 + d×sinα.
Координата последующей точки равна координате предыдущей точки плюс приращение координаты. На практике пользуются следующими формулами:
х2 = х1 ± d×cosr, у2 = у1 ± d×sinr.
Пример. Дано: х1 = 100,00 м; у1 = 200,00 м; α = 210º;
d = 150,00 м. Найти: х2, у2.
Решение. Дирекционный угол линии составляет α = 210º, следовательно, линия находится в третьей четверти. Румб линии r = ЮВ:30º. В третьей четверти приращения координат отрицательные, поэтому
х2 = х1 – d×cosr = 100,00 – 150,00×cos30º =
= 100,00 – 150,00×0,86602 = – 29,90 м;
у2 = у1 – d×sinr = 200,00 – 150,00×sin30º =
= 200,00 – 150,00×0,50000 = +125,00 м.
