Тема 4. Пересечение поверхностей.

 

По теме 4 следует решить две задачи на построение линий пересечения поверхностей.

К моменту выполнения задания должны быть проработаны все темы рабочей программы. Одна из задач темы 4 решается способом вспомогательных секущих плоскостей уровня, другая задача – способом сфер.

Форма и размеры геометрических тел для первой задачи выбирается по рис.7 или 3 и табл.6, а для второй задачи – по рис.9 или 10 и табл.7 в соответствии с номером варианта. Обе задачи решаются на одном листе формата А3. Размеры тел на чертежах не приводятся.

Построение линии пересечения заданных тел следует начинать с построения опорных точек искомой кривой. Такими точками являются:

1) Точки, проекции которых лежат на проекциях контурных образующих (очерках) заданных тел;

2) «крайние» точки – правые и левые, наивысшие и наинизшие, ближайшие и наиболее удаленные.

Все построенные проекции точек, принадлежащих линии пересечения, должны иметь на чертеже соответствующие обозначения.

Все линии построения опорных и промежуточных точек на чертеже необходимо сохранять и выполнять сплошными линиями.

Рассмотрим примеры решения задач, предложенных по теме 4.

Пример 1.

Построить линию пересечения поверхностей двух геометрических тел – конуса и сферы – способом вспомогательных секущих плоскостей уровня (см. рис.11)

При решении задач данным способом необходимо удачно выбрать секущие плоскости. Вспомогательные секущие плоскости следует выбирать с таким расчетом, чтобы они рассекали заданные тела по наиболее простым линиям с точки зрения графических построений (прямым или окружностям).

Построение линии пересечения следует начинать с нахождения опорных точек. Точка А (А₁,А₂) является наивысшей точкой пересечения, точка В (В₁,В₂) – наинизшей точкой линии пересечения. Обе эти точки могут быть найдены с помощью фронтальной плоскости Ω (Ω₁) в пересечении фронтальных очерков общих поверхностей.

Точки С (С₁,С₂) и С¹(С¹₁,С¹₂) определяются с помощью горизонтальной плоскости Σ (Σ₂) и являются точками границы видимости линии пересечения на горизонтальной плоскости проекций. Плоскость Σ (Σ₂) рассекает обе поверхности по окружности: поверхность конуса по окружности диаметра 1-1¹(1₁-1¹₁, 1₂-1¹₂), а поверхность сферы по окружности диаметра 4-4¹(4₁-4¹₁, 4₂-4¹₂). В пересечении этих окружностей и получаются точки С(С₁,С₂) и С¹(С¹₁, С¹₂). Сначала находятся их горизонтальные проекции С₁ и С¹₁, а затем по линиям связи и фронтальные С₂ и С¹₂.

Промежуточные точки D(D₁, D₂), D¹(D¹₁, D¹₂) и Е (Е₁, Е₂), Е¹(Е¹₁, Е¹₂) находятся с помощью горизонтальных плоскостей θ (θ₂) и Ψ (Ψ₂), которые также рассекают обе поверхности по окружностям. При пересечении соответствующих окружностей получаем точки D (D₁, D₂), D¹ (D¹₁, D¹₂), Е (Е₁, Е₂), Е¹ (Е¹₁, Е¹₂).

Полученные точки А, В, С, D, Е принадлежат линии пересечения. Они последовательно соединяются между собой на горизонтальной и фронтальной проекциях тел с учетом видимости.

Пример 2.

Построить линию пересечения поверхностей двух геометрических тел – усеченного конуса и цилиндра – способом концентрических сфер (см. рис.12).

Этот способ может быть использован лишь при наличии следующих трех условий:

1) Пересекающиеся поверхности – поверхности вращения;

2) Их оси пересекаются;

3) Поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций.

Рассматриваемая задача удовлетворяет всем вышеизложенным условиям.

При решении этой задачи первоначально строится фронтальная проекция линии пересечения, а затем горизонтальная, так как общая плоскость симметрии обеих поверхностей параллельна фронтальной плоскости проекций.

Построение линии пересечения поверхностей следует начинать с нахождения опорных точек.

 

 

Таблица 6.

Номер варианта

Фигура

d

мм

A

мм

Номер варианта

Фигура

d

мм

A

мм

Номер варианта

Фигура

d

мм

A

мм

Номер варианта

Фигура

d

мм

A

мм

 

 

Таблица 7.

Номер варианта

Фигура

d

A

Номер варианта

Фигура

d

A

Номер варианта

Фигура

d

α0

Номер варианта

Фигура

d

d1

Номер варианта

Фигура

d

A

Номер варианта

Фигура

d

α0

Номер варианта

Фигура

d

d1

Номер варианта

Фигура

d

d1

 

 

Точка А (А₁, А₂) является высшей точкой линии пересечения; точка В (В₁, В₂) - наинизшей точкой линии пересечения. Эти точки могут быть найдены с помощью фронтальной плоскости Ω (Ω₁), которая и является общей плоскостью симметрии. Первоначально определяются фронтальные проекции этих точек А₂ и В₂ в пересечении фронтальных очерков обеих поверхностей, а затем по линиям связи и их горизонтальные проекции А₁ и В₁. Промежуточные точки, принадлежащие линии пересечения, находятся с помощью вспомогательных секущих сфер. Центр этих сфер располагается в точке О (О₁, О₂).

Проводится сфера (см. рис.12) минимального радиуса О-1, его фронтальная проекция О₂-1₂: так, чтобы она касалась одной из поверхностей – поверхности конуса (в данном случае) и пересекала бы другую поверхность – поверхность цилиндра.

Эта сфера, будучи соосной с поверхностями конуса и цилиндра, пересекает по окружностям: конус рассекается по окружности диаметра 1-1¹ (1₁-1¹₁, 1₂-1¹₂), а цилиндр – по окружности диаметра 6-6¹ (6₁-6¹₁, 6₂-6¹₂). В пересечении этих окружностей получаются точки С (С₁, С₂), С¹ (С¹₁, С¹₂), принадлежащие линии пересечения. Сначала находятся их фронтальные проекции С¹₂ и С₂, а затем с помощью лини связи и горизонтальной плоскости Ψ (Ψ₂), заключающей в себе окружность диаметром 1-1¹ (1₁-1¹₁, 1₂-1¹₂), находятся горизонтальные проекции С₁ и С¹₁ точек С и С¹.Аналогично находятся точки D (D₁, D₂) и D¹(D¹₁, D¹₂) с использованием следующей сферы.

Эта сфера рассекает конус по окружности диаметра 2-2¹(2₁-2¹₁, 2₂-2¹₂), а цилиндр – по окружности диаметра 5-5¹(5₁-5¹₁, 5₂-5¹₂). В пересечение этих окружностей и получаются точки D и D¹. Промежуточные точки Е и Е¹ находятся подобным же образом с помощью третьей сферы.

Точки М и М¹ являются также опорными, так как принадлежат горизонтальному очерку цилиндра. Порядок их нахождения ясен из рис.12.

Найденные точки последовательно соединяются между собой плавной линией на фронтальной и горизонтальной проекциях тел с учетом их видимости.

 

 

Приложение

Условные обозначения Таблица 8.

 

№ п/п		По учебнику Четверухина Н.Ф. и принимаемые в методических указаниях	По учебнику Гордона В.О. (до 1998г.)
	Плоскости проекций горизонтальная фронтальная профильная	П1 П2 П3	Н V W
	Оси проекций на чертеже	X12, Y1, Y3, Z23	X, YH, YW, Z
	Оси проекций при замене Плоскостей проекций	Х24, Х45, …	Х1, Х2…
	Точки в натуре	А, В, С, … 1, 2, 3, …	А, В, С, … 1, 2, 3, …
	Проекции точек горизонтальные фронтальные профильные	А1, В1, С1, … А2, В2, С2, … А3, В3, С3, …	a, b, c, … a1, b1, c1, … a11, b11, c11, …
	Прямые линии в натуре и отрезки прямых	a, b, c, … AB, CD, MN, …	AB, CD, MN, …
	Проекции прямых и отрезков прямых горизонтальные фронтальные профильные	a1, b1, A1, B1, … a2, b2, A2, B2, … a3, b3, A3, B3, …	ab, cd, … a1b1, c1d1, … a11, b11, c11d11, …
	Плоскости и поверхности	прописные буквы греческого алфавита θ, Σ, Ψ, …
	Последовательность точек	А1, А2, А3, …	А1, А2, А3, …
	Следы прямой горизонтальной фронтальной профильной	Н (Н1, Н2, Н3). F (F1, F2, F3). P (P1, P2, P3).	H (h, h1, h11). V (v, v1, v11). W (w, w1, w11).
	Следы плоскости горизонтальный фронтальный профильный	Σ1, θ1, Ψ1, … Σ2, θ2, Ψ2,.. Σ3, θ3, Ψ3, …	PH, QH, RH, … PV, QV, RV, … PW, QW, RW, …
	Длины уровня горизонтальные фронтальные профильные	h (h1, h2, h3) f (f1, f2, f3) p (p1, p2, p3)	как любые прямые
	Углы	α, β, γ, …	α, β, γ, …

 

Рекомендуемая литература

1. Фролов С.А., Начертательная геометрия. – М.: Машиностроение. 1983.

2. Гордон В.С., Семенцов – Огиевский Т.А. Курс начертательной геометрии. – М.: Наука. 1999.

3. Бубенников А.В. Начертательная геометрия. – М.: Высшая школа. 1995.