2. Скалярным произведением двух векторов 
и 
называется число, определяемое равенством
| (1) |
где 
- угол между векторами 
и 
.
 | |||
 | |||
| Рис. 1 | Рис. 2 |
3. Векторным произведением двух векторов и называется вектор 
, длина которого равна произведению длин векторов-сомножителей на синус угла между ними и который направлен перпендикулярно векторам и так, что векторы , , образуют правую тройку (рис. 1):
| (2) |
Геометрически 
равен площади S параллелограмма, построенного на векторах и :
4. Смешанное произведение трех векторов 
есть число, равное
| (3) |
Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного
на векторах , , .
5. Общее уравнение плоскости Р имеет вид
Ax + By + Cz + D = 0,
где 
-нормальный вектор плоскости (рис. 2).
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М0(x0,y0,z0), М1(x1,y1,z1), и М2(x2,y2,z2) имеет вид
| (4) |
Угол между двумя плоскостями, имеющими нормальные векторы 
и 
, определяется как угол между 
и 
; косинус этого угла находится по формуле
| (5) |
6. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки М0(x0,y0,z0) и М1(x1,y1,z1)имеют вид
| (6) |
7. Матрицей 
размера 
называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из т строк и n столбцов:
Произведением матрицы размера 
на матрицу 
размера 
называется матрица 
размера cэлементами
| (7) |
(поэлементное умножение i-й строки матрицы Aна k-й столбец матрицы B).
Матрица размера 
называется квадратной матрицей n-го порядка. Элементы 
образуют главную диагональ матрицы. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем матрицы н обозначается 
или 
.
Матрица Е с элементами 
называется единичной матрицей n-го порядка.
Матрица 
называется обратной к матрице 
если
| (8) |
Элементы 
обратной матрицы 
вычисляются по формулам
| (9) |
где 
- алгебраическое дополнение элемента 
, матрицы 
, а -ее определитель.
8. Матрица 
называется канонической, если в начале ее главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю; например,
Любая матрица А может быть приведена к каноническому виду путем элементарных преобразований: а) перестановки столбцов (строк); б) умножения столбца (строки) на число, отличное от нуля; в) прибавления к элементам какого-либо столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на число.
Матрицы, переходящие друг в друга в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными: ~ .
Число г единиц, стоящих на главной диагонали канонической матрицы не зависит от способа приведения матрицы А к каноническому виду и называется рангом исходной матрицы A: r(A)=r. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.
9. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными х1, х2,
х3 имеет вид
| (10) |
где - коэффициенты системы; 
- свободные члены. Определитель третьего порядка 
, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. Если 
, то единственное решение системы (10) выражается формулами Крамера:
| (11) |
где 
- определители третьего порядка, получаемые из определителя системы заменой 1, 2 или 3-го столбца соответственно свободными членами 
.
Систему (10) можно записать матричной форме: 
, где
