Т. Хаксли
«При изучении наук примеры полезнее правил.»
И. Ньютон
«Сколько бы ни было точно математическое решение, оно не может быть точнее тех приближенных предпосылок, на коих оно основано.»
А. Н. Крылов
“Один из создателей квантовой механики, Поль Дирак, утверждал, что при построении физической теории «следует не доверять всем физическим концепциям». А чему же доверять? «Доверять математической схеме, даже если она на первый взгляд не связана с физикой»”.
Из лекции В.И. Арнольда
16.04.92 «Для чего мы изучаем математику»
Исторически наиболее известным примером попытки построения иерархии моделей для одного и того же объекта является модель солнечной системы. Первой научной моделью была геоцентрическая модель Птолемея
(2-й век н. э.). В 1543 г. Н. Коперник предложил гелиоцентрическую модель Солнечной системы, в которой планеты вращались вокруг солнца, по окружностям.
Более совершенной была кинематическая модель, предложенная в 1609–1619 годах И. Кеплером. В ней планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится солнце. Наконец, Ньютон (годы жизни 1642-1727) сформулировал динамическую модель движения планет на основе открытого им закона всемирного тяготения.
Ньютон считал это свое открытие чрезвычайно важным и поэтому он зашифровал его, как бы принято в ту эпоху, в виде анаграммы, смысл которой в современных терминах можно передать так: «Законы природы выражаются дифференциальными уравнениями.
Далее, вычисляя орбиту движения планеты Уран, Леверье в 1846г. обнаружил ее отклонение от теоретически вычисленной траектории. Это послужило поводом для предположения о наличии другой планеты, вносящей возмущение, и даже предсказания ее расположения на небосклоне. В дальнейшем в указанном Леверье месте была обнаружена планета Нептун. Аналогично было сделано открытие планеты Плутон
Часто совсем разные естественнонаучные задачи приводят к сходным математическим моделям. Например, задача о диффузии вещества и задача теплопроводности описываются одинаковыми уравнениями в частных производных. Исследовав одну математическую задачу, часто можно сделать выводы о решении и других физических задач. С другой стороны, если Вы работаете с некоторой задачей, то ее решения целесообразно сравнивать с известными решениями других физических задач, приводящих к той же математической модели.
Так, немецкий химик Лотке рассматривал процесс автокаталитических реакций. Примером такой реакции может служить реакция 
В этой реакции для того, чтобы разорвать связь 
нужно присутствие полярных молекул воды растягивающих ионы в разные стороны. Тем самым скорость реакции зависит от наличия молекул воды – продукта реакции. Такие реакции называются автокаталитическими.
Исследовав реакцию 
Лотке описал ее протекание уравнениями
Он показал, что в этой реакции происходит колебательный процесс, в котором концентрация компонентов X и Y периодически изменяется.
Позже, занимаясь экологической задачей, исследователь Вольтерр предположил, что изменение популяции животных в системе «хищник-жертва» описывается сходными уравнениями
где x – численность потенциальных жертв, а – y хищников. Используя результаты Лотке Вольтерр пришел к выводу, что колебательный процесс изменения численности популяции должен иметь место и в системе «хищник-жертва».
Сходные системы уравнений могут возникать в микро и оптоэлектронике, при описании процессов генерации-рекомбинации с учетом наличия дискретных энергетических уровней в запрещенной зоне полупроводника (или диэлектрика).
В общем случае из универсальности математических моделей следует универсальность результатов. Если несколько, разных по физической природе процессов, описываются сходной математической моделью, то очевидно, что полученные с помощью этой модели результаты применимы ко всем этим процессам.
Общие вопросы моделирования
–Поясните суть термина – “third pillar” of scientific inquiry
–Приведите примеры научных открытий, сделанных на «кончике пера» методом моделирования;
– Какова роль советских и российских ученых в развитии метода математического моделирования;
– Для чего инженеры-микроэлектронщики изучают математику и численные методы?
– Является ли таблица Менделеева математической моделью? Ответ строго обосновать;
‑ Задача Ньютона. Трава на лугу растёт одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы всю траву за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров съест всю траву на лугу за 96 дней? Решите задачу методом моделирования.
‑ Тело массой m брошено строго вертикально вверх с начальной скоростью v0. Пусть x(t) – это координата положения тела в момент t.
а) Исходя из второго закона Ньютона найдите функцию x(t);
б) Вычислите максимальную высоту подъёма;
в) Найдите момент времени, когда тело вернется на Землю;
г) Постройте график функции x(t).
‑ Из задач В.И. Арнольда. Предположим, что вдоль всей земной оси от Северного полюса к Южному прорыт колодец и какой-то предмет уронили в этот колодец (без начальной скорости) на Северном полюсе. Как он будет двигаться? За какое время он достигнет центра Земли? Достигнет ли он Южного полюса?
‑ Как можно рассчитать массу атмосферы Земли?
‑ Чай охладился за 10 мин от 100 ◦C до 60 ◦C. За какое время он остынет до
25ºC, если температура воздуха в комнате 20 ◦C? (Скорость остывания пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.)
Математический инструмент моделирования
‑ Пусть матрица А есть
. Вычислите 
вручную и
в MATHCAD (создайте и распечатайте листинг с описанием методики вычислений). Проверьте точность вычислений.
‑ Поясните, что такое – ранг матрицы и сформулируйте теорему Кронекера–Капели. В чем состоит ее значение при решении систем линейных уравнений?
‑ При каких условиях система линейных уравнений
a) имеет единственное решение; б) имеет множество решений; в) не имеет решений. Приведите численные примеры систем для всех трех случаев и дайте на плоскости XY их геометрическую интерпретацию.
‑ Вычислите предел
;
‑ Для функции 
найдите производную 
; Сравните свои вычисления с результатом из MATHCAD.
‑ Известно, что
, где С – произвольная константа.
Вычислим этот интеграл с помощью формулы интегрирования по частям, которая в общем виде для произвольных функций u(x) и v(x) есть:
.
Итак пусть u=x и v=x. Тогда:
или 
.
Все вычисления проведены точно! Куда же делась константа С?
‑ Вычислим интеграл от функции Y=1/x по частям:
Отсюда имеем, что 0=1!. Где же была допущена ошибка?
‑ Докажите формулы:
‑ Найти приближенное значение 
представив λ как
‑ Выпишите общее решение x(t) для уравнения
.
Поясните, как для этого уравнения формулируется задача Коши? Приведите частный случай этой задачи и найдите ее решение в ручную и в MATCAD.
‑ Выпишите общие решения двух дифференциальных уравнений 2-го порядка
.
Найдите частные решения, соответствующие на отрезке [0.1] двухточечной краевой задачи вида: 
.
Верна ли следующая модель сотворения мира, предложенная монахом
Г. Гранди в 1703 году: “ По-разному расставляя знаки в выражении 1-1+1-1+… я могу по желанию получить 0 или 1. Тогда нет ничего невозможного в предположении о сотворении мира из ничего”.
Погрешность компьютерных вычислений связана с тем, что количество значащих цифр в числах, с которыми выполняются вычисления – ограничено.
Прямыми вычислениями в MATHCAD убедитесь, что классическая формула нахождения корней квадратного уравнения
при 
дает большую погрешность и поэтому в таких случаях целесообразно использовать другие способы вычислений. Какие?
Неужели открытие?.
Пусть на отрезке 
уравнение 
имеет единственный корень 
, а функция 
непрерывна на этом отрезке и на концах его принимает значения разных знаков. Проведем хорды AC и BC дуги графика заданной функции на отрезке 
. Запишем уравнение прямой, проходящей через точки 
и 
:
,
из которого находим
.
Аналогично запишем уравнение прямой, проходящей через точки 
и :
, откуда
.
Чтобы найти координаты точки пересечения этих прямых, решим систему
Выписывая цепочку равенств 
, 
, 
, 
находим 
.
Получена формула для корня данного уравнения!
Но математики Абель и Эварист Галуа дали исчерпывающее доказательство того, что для всех уравнений выше четвертой степени составить формулы точного решения нельзя. Где же была допущена ошибка?
Тема «Основы физики полупроводников»
Почему заряд ионизированной легирующей примеси донорного типа в кремнии имеет положительный знак (хотя примесь «порождает» электроны, которые имеют отрицательный знак), а акцепторной – наоборот – отрицательный.
Поясните, какие заряды в полупроводнике относят к подвижным зарядам, какие – к неподвижным; запишите общую формулу для объемного заряда в полупроводнике и постройте график пространственного распределения объемного заряда в p-n -переходе в направлении, перпендикулярном металлургической границе.
Постройте зонные диаграммы полупроводников n и p –типов и дайте пояснения к ним. Уточните, может ли дырка перейти из валентной зоны в зону проводимости?
Какие основные физические механизмы отвечают за формирование тока в полупроводнике? Запишите формулы для этих токов.
Поясните, каким образом направлены диффузионный и дрейфовый ток для электронов и дырок в p-n - переходе, находящемся в равновесном состоянии?
Поясните физику работы p-n - перехода. Какова при этом роль процессов тепловой генерации-рекомбинации? Каким образом можно записать модель этих процессов?
Известно, что в кремниевых p-n -переходах величина контактной разности потенциалов составляет величину, лежащую в пределах 0,6-0,9 Вольт (в зависимости от степени легирования). Поясните, почему вольтметром нельзя измерить контактную разность потенциалов в p-n -переходе?
Устройство с горячим зондом – полезный лабораторный прибор. Он используется для определения типа проводимости полупроводникового образца и состоит из двух зондов и амперметра, указывающего направление тока. Один из зондов нагревается (в простейшем случае – жалом паяльника), а другой находится при комнатной температуре. Если в отсутствии внешнего напряжения коснуться зондами полупроводника, то потечет ток. Учитывая роль диффузионных токов, объясните действие прибора и нарисуйте графическую модель для этого явления, показывающую направление тока в двух случаях: для полупроводника n и p типов.
Предположим, что имеется полупроводниковый образец в виде одномерного стержня, вдоль которого вследствие неоднородного легирования существует встроенное электрическое поле. Сам образец находится в состоянии равновесия. Постройте математическую модель, описывающую величину напряженности встроенного поля и разность потенциалов на концах образца. Нарисуйте зонную диаграмму, соответствующую вашему случаю.
