Теорема умножения вероятностей. Вероятностные и статистические методы

Вероятностные и статистические методы

Вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события (например, появления цветного шара).

Вероятность события А определяется формулой:

Р(А)= m/n,

где m- число элементарных исходов, благоприятствующих А;

n- число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойства верояности:

1. Вероятность достоверного события равна 1., m=n

P(A)= m/n=n/n=1.

2. Вероятность невозможного события равна 0, m=0

P(A)= m/n=0/n=0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей., 0<m<n, 0<m/n<1

0< P(A)<1.

Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

0≤ P(A)≤1.

Основные формулы комбинаторики

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Рn =n!, где n! = 1∙2∙3… n. 0!=1.

Пример1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3 если каждая цифра входит в изображения числа только один раз?

Искомое число трехзначных чисел:

Р₃ =3!= 1∙2∙3=6.

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений:

A = n(n-1)(n-2)…(n-m+1).

Пример 2. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Искомое число сигналов: A =6∙5=30.

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний:

С = n!/(m! (n-m)!).

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать дведетали из ящика, содержащего 10 деталей?

Искомое число способов:

С = 10!/(2! 8!)=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10/1∙2∙1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8=45.

 

Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством:

А =Р_m С

Относительная частота

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактических произведенных испытаний:

W(A)= m/n,

где m- число появлений события, n- общее число испытаний.

Вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту- после опыта.

Пример1. Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали в партии из 80 случайно отобранных деталей.

Относительная частота появления нестандартных деталей равна:

W(A)= 3/80=0,03.

Противоположные события

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать Ᾱ.

(стандартная деталь и нестандартная деталь - противоположные события)

Теорема Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

Р(А)+Р(Ᾱ)=1.

Пример В ящике имеется n деталей, из которых m стандартных. Найти вероятность того, что среди k наудачу извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная?

А- события(среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная)

Ᾱ – противоположное событие (нет ни одной стандартной детали)

Р(А)=1-Р(Ᾱ). Общее число способов, которыми можно извлечь k деталей из n деталей, равно С .

(n-m)- число нестандартных деталей.

Р(А)= 1- Р(Ᾱ)= 1- С / С .

Теорема умножения вероятностей

Р(АВС)=Р(А) ∙Р_А(В) ∙Р_АВ(С) – для трех событий.

Пример 1.У сборщика имеется 3 конусных и 7эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй - эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А), Р (А)= 3/10.

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим(событие В),вычисленная в предположении, что первый валик- конусный, т.е. условная вероятность Р(В)=7/9.

По теореме умножения, искомая вероятность равна:

Р(АВ)= Р(А)Р_А(В)= (3/10) ∙ (7/9)= 7/30=0,23.