Задача 9. Построить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1,2,3) перпендикулярно вектору 
(1,4,2)
Решение. Для произвольной точки 
в плоскости, вектор 
с координатами 
ортогонален 
. Их скалярное произведение 0. Тогда 
, т.е.
.
Ответ. Уравнение плоскости .
Задача 10. Построить уравнение плоскости по точке (2,2,8) и перпендикуляру (3,3,7).
Решение. Как и в прошлой задаче, берём произвольную точку в плоскости, тогда вектор 
ортогонален вектору 
. Тогда 
из чего следует 
.
Ответ. .
Задача 11. То же самое с произвольными параметрами.
Задача 12. Построить уравнение плоскости по точке 
и двум направляющим векторам 
(4,2,3) и 
.
Решение. Способ 1. Сначала можно найти нормаль как векторное произведение: 
, а затем уравнение плоскости по точке и нормали.
= 
= 
.
Итак, нормаль 
, при этом можно заметить, что есть общий множитель 3, и поделить на 3, ведь от изменения длины, направление нормали не изменится. Итак, рассматриваем 
.
Теперь возьмём произвольную точку в этой плоскости, и проведём к ней вектор от точки . Это вектор 
. Он ортогонален вектору .
Тогда 
, т.е. 
.
Но это было решение в 2 этапа. А можно проще:
Способ 2. Возьмём вектор в плоскости, тогда 3 вектора, а именно 
, (4,2,3) и должны образовывать линейно-зависимую систему. То есть, можем сразу найти такой определитель и приравнять к 0:
= 
= 
.
Из этого следует 
. Такое уравнение можно сократить на 3, и получается .
Ответ. .
Задача 13. Построить уравнение плоскости, проходящей через (0,0,0) параллельно 2 направляющим (1,1,2) и (2,1,3).
Решение. Вектор от начала координат до произвольной точки 
, который сам имеет координаты , лежит в плоскости двух направляющих, т.е. определитель равен 0. 
= 
.
Ответ. .
Задача 14. Построить уравнение плоскости по трём точкам. А(1,2,3), В(3,5,7), С(4,5,6).
Решение. Здесь можно одну из точек, например А, рассматривать в качестве основной, а две другие помогут найти 2 направляющих вектора: АВ и АС. АВ = (2,3,4), АС = (3,3,3).
Для удобства вычислений, вынесли из определителя коэффициент 3.
Можно сразу сократить на него правую и левую часть.
Итак, 
.
Сократим ещё на 
, получим 
.
Ответ. .
Практика 12 (21 октября у обеих групп).
Плоскость. Прямая в пространстве.
Практика 13. Кривые и поверхности.
Практика 14. Повторение и контрольная работа.
Темы 2-й контрольной:
5. Векторная алгебра (скалярные, векторные произведения).
6. Системы уравнений, метод Гаусса
7. Собственные числа и векторы
8. Уравнения прямой и плоскости
Приложение 1.
Пример одного варианта контрольных работ.
Темы 1-й контрольной:
1. Действия над матрицами.
2. Определители.
3. Обратная матрица.
4. Ранг матрицы.
Вариант:
1) Умножить матрицы 
2) Найти определитель 
3) Найти обр.матрицу 
4) Найти ранг матрицы 
Темы 2-й контрольной:
5. Векторная алгебра (скалярные, векторные произведения).
6. Системы уравнений, метод Гаусса
7. Собственные числа и векторы
8. Уравнения прямой и плоскости
Вариант:
5) Векторы 
выражены через 
: 
, 
.
, 
, угол между ними 60 градусов. Найти 
.
6) Решить систему 
7) Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей 
.
8) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку (1,4,2) перпендикулярно вектору (2,1,2).
Литература.
[1]. Магазинников Л.И. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии.
[2].
[3].
