Обратное z- преобразование

Лекция 8. Цифровые САУ

Основные положения и определения

 

Система называется цифровой, если в контуре имеется хотя бы один импульсный элемент. На рисунке 8.1 приведена цифровая САУ на базе микроконтроллера, т.е. функции сумматора и регулятора реализуются программным путем в микроконтроллере, с выхода которого сигналы поступают на объект управления с известной ПФ.

Рисунок 8.1 – Структурная схема цифровой системы

Микроконтроллер приближенно можно описать ПФ запаздывающего звена

Рисунок 8.2 – Выходная характеристика запаздывающего звена

Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ) это модуляция, при которой амплитуда импульса модулированного сигнала У пропорциональна величине информационного сигнала Х, подаваемого на вход модулятора.

Рисунок 8.3 – Виды АИМ

Существует 2 вида АИМ: первого и второго рода. В АИМ 1-го рода амплитуда модулированного сигнала в течение длительности импульса τ повторяет информационный сигнал Х. При АИМ 2-го рода амплитуда импульса в течение длительности импульса τ постоянна. Например, в АЦП используется АИМ 2-го рода.

Рисунок 8.4 – Временная диаграмма работы АЦП

В АЦП преобразование происходит в 2 этапа: дискретизация по времени с периодом Т и квантование по уровню аналогового сигнала.

Поэтому блок АЦП можно представить в виде 2-х элементов: импульсного элемента, осуществляющего дискретизацию по времени и формирователя импульсов, выполняющий квантование по уровню (рисунок 8.5,а). Цифровая система (ЦС), содержащее АЦП, приведена на рисунке 8.5,б.

 

Рисунок 8.5 – Структурная схема ЦС с АЦП

При увеличении разрядности АЦП (числа квантований) ошибка между значением цифрового сигнала и аналогового уменьшается.

Таблица 8.1 - Относительные ошибки АЦП

Число квантований	Относительная ошибка
	1,5 0,6 0,3 0,15 0,06 0,03 0,015 0,006

 

- решетчатая функция. Например, .

- разностное уравнение 1-го порядка;

- разностное уравнение 2-го порядка;

- разностное уравнение k-го порядка.

 

Z-преобразование

 

Для описания ЦС используется z-преобразование. Для этого необходимо перейти из области t в область р, а затем в область Z.

Преобразование Лапласа имеет вид

.

Приближенно интеграл можно представить в виде суммы

.

Примем , тогда

или

. (8.1)

Пример 1. Найти z-изображение .

.

В правой части уравнения сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, знаменатель которой равен

.

Тогда

Таблица 8.2 – Примеры перехода из t в Z и P области

F(t)	Р-преобразование	Z-преобразование
1(t) t t2 exp(-at)	1/р 1 /p2 1 /p3 1/(p+a)	z / z-1 Tz / (z-1)2 T2z(z+1) /(z-1)3 z/ (z-e-at)

 

Пример 2. Дана x(t) = 1(t). Требуется получить z-изображение другим способом.

Как и при первом способе, получим изображение единичной функции в виде ряда Тейлора

x(z) = 1 + z^-1 + z^-2 +…..+z^-n.

Умножим на z^-1 обе части уравнения

x(z) ∙ z^-1 = z^-1 + z^-2 + z^-n-1,

и вычтем из первого выражения x(z), полученное x(z) ∙ z^-1.

Тогда

x(z) – x(z) ∙ z^-1 = 1.

Отсюда

Пример 3. Дана функция x(t)= t ∙ 1(t). Получить z-изображение.

 

x(z) ∙ z^-1 = Tz^-2 + 2Tz^-3 + …;

Теоремы Z- преобразования

 

1) Суммирование и вычитание. Если f₁(t) и f₂(t) имеют z-преобразование, то

.

2) Умножение на константу. Если f(t) имеет z- преобразование F(z), то

3) Сдвиг во временной области. Если f(t) имеет z- преобразование F(z), то

Пример 4. Найти z- преобразование единичной ступенчатой функции 1(t) при задержке ее на один период квантования Т.

4) Об умножении оригинала на экспоненту (смещение в области изображений). Если f(t) имеет изображение f(z), то

5) Теорема о начальном значении. Если f(t) имеет z- преобразование F(z) и если существует предел , то

Из теоремы следует, что значение дискретного сигнала f(t) при t=0 определяется значением F(z) при z = ∞.

6) Теорема о конечном значении. Если f(t) имеет z-преобразование F(z) и если функция (1-z^-1)F(z) не имеет полюсов на окружности единичного радиуса или вне ее, то

.

Пример 5. Найти конечное значение f(nT) для заданного z-преобразования

Приведем заданную функцию к виду

Определим корни знаменателя, т.е. определим полюса ПФ. Поскольку функция не имеет полюсов на единичной окружности, то

7) Теорема дифференцирования. Если z-преобразование функции f(t,a) есть F(z,a), где а – независимая переменная или константа, то

Пример 6. Определить z-преобразование функции f(t) = te^-αt с помощью теоремы дифференцирования.

Обратное z- преобразование

 

Преобразование Лапласа и его обратное преобразование для непрерывных функций является однозначным. Для z-преобразования обратное z-преобразование не является однозначным. Корректный результат обратного z-преобразования функции F(z) есть f(nT), который равен f(t) только в моменты t = nT.

Рисунок 8.6 иллюстрирует тот факт, что для z-преобразования единичной ступенчатой функции, которое равно z/(z-1) и соответствует последовательности единичных импульсов. Обратное z-преобразование может быть любой функцией, значения которой равны единицы в моменты t=0,T,2T. Неоднозначность обратного z-преобразования является одним из ограничений этого метода.

Рисунок 8.6 – Решетчатая функция ЦС

Обратное z-преобразование осуществляет переход от z-изображения к решетчатой функции и обозначается как

.

Обратное z-преобразование может быть определено методом разложения на простые дроби. Этот метод близок к методу разложения на простые дроби в преобразовании Лапласа. При анализе непрерывных систем обратное преобразование Лапласа F(p) может быть получено разложением в виде

, (8.2)

где а, в, с – отрицательные полюсы F(p); А, В, С – вычеты F(p) в этих полюсах.

Тогда в соответствии с таблицей 1.2 можно осуществить переход к оригиналу

.

Для случая z-преобразования F(z) не надо представлять в форме (8.2), поскольку в таблице 8.2 обратное z-преобразование для выражений типа A/(z + a)

отсутствует. Вместе с тем из таблицы 8.2 видно, что обратное z-преобразование функции Az/(z – e^-at) равно Ae^-anT.

Следовательно, удобнее разложить на простые дроби функцию F(z)/z. После разложения обе части выражения для F(z)/z умножают на z для получения F(z).

Пример 7. Дано z-изображение, имеющее вид

.

Разложим по (8.2) на слагаемые

; .

В соответствии с таблицей 1.2 определяется оригинал функции

.