Воспользуемся основным законом механики, а именно: равно-действующая всех сил, действующих на данное тело, равна массе тела, умноженной на ускорение, с которым движется это тело.
Полная сила инерции равна: I=-m(dV/dt). Будучи отнесенной к единице массы, полная сила инерции даст единичную силу инерции.
Ее проекции на координатные оси будут равны:
ix=-dVx/dt, iy=-dVy/dt, iz=-dVz/dt.
Теперь необходимо внести эти составляющие в уравнения Эйлера для гидростатики и получим уравнения всех единичных сил, действующих в движущейся жидкости.
Преобразуем уравнения Эйлера к следующему виду:
После преобразований 
Эти уравнения носят название дифференциальных уравнений Эйлера для движущейся идеальной жидкости. Они устанавливают связь между проекциями объемных, массовых сил и скоростей, давлением и плотностью жидкости и являются основой для изучения некоторых вопросов гидродинамики.
Уравнения не учитывают ни сил трения, ни сил сцепления (вязкости), т. к. они получены из уравнений статики, а в статических уравнениях данные величины не фигурируют.
Далее рассмотрим уравнения живых сил, для чего умножим уравнения Эйлера на dx, dy, dz соответственно и сложим их почленно:
.
Для установившегося движения в скобках слева стоит полный дифференциал давления dp. Справа будем иметь:
dx/dt = Vx; dy/dt = Vy; dz/dt = Vz ;
Тогда VxdVx = d(Vx 2 / 2 ); VydVy = d(Vy 2 / 2 ); VzdVz = d(Vz 2 / 2 ).
Но сумма полных дифференциалов трех составляющих скорости по осям х, у, z равна полному дифференциалу скорости:
d(Vx 2 / 2 )+d(Vy 2 / 2 )+d(Vz 2 / 2 )=d(V 2 / 2 ).
Окончательно получим закон живых сил в следующем виде:
d(V 2 / 2 ) = Xdx + Ydy + Zdz - dp/ρ.
Закон живых сил можно сформулировать в следующем виде: дифференциал кинетической энергии частицы идеальной жидкости при установившемся движении равен сумме элементарных работ сил тяжести и сил давления.
Рассмотрим наиболее важный для практики случай движения жидкости: расположим в несжимаемой жидкости, находящейся под действием силы тяжести в установившемся движении, оси координат так, что ось z была направлена вверх параллельно направлению действия силы тяжести. Тогда X=Y= 0, Z=-g (знак «минус» поставлен, так как ось z направлена вверх, а ускорение g − вниз), и уравнение живых сил перепишется в следующем виде:
d(V 2 / 2 )=-gdz+dp/ρ.
Перенеся все составляющие в левую часть, получим:
d(V 2 / 2 )+gdz+dp/ρ= 0.
Разделим каждый член на g и сумму дифференциалов заменим дифференциалом суммы:
После интегрирования получим уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости в установившемся движении:
.
Дифференциал равен нулю, если под знаком дифференциала стоит постоянная величина.
Все три члена уравнения Бернулли представляют собой механическую энергию, поэтому можно сделать следующее заключение: вдоль линии тока несжимаемой и невязкой жидкости запас механической энергии, отнесенный к единице массы, веса или объема остается постоянным.
Механическую энергию жидкости, отнесенную к единице веса, называют полным напором; суммы энергии сил давления и положения, отнесенную к единице веса − статическим напором. Вдоль данной линии тока (в установившемся движении жидкости) сумма скоростного и статического напоров остается постоянной.
Если вспомним, что p/ρg − пьезометрический напор, a z − геометрический, а также введя понятие скоростного (динамического) напора, V 2 / 2 g, то можно сказать, что сумма скоростного, пьезометрического и геометрического напоров вдоль линии тока есть величина постоянная.
Так как сумма z+p/ρg представляет собой удельную потенциальную энергию жидкости, a V 2 / 2 g −удельную кинетическую энергию, то уравнение Бернулли устанавливает постоянство полной энергии (суммы кинетической и потенциальной энергии) и является частным случаем закона сохранения энергии.
Получим теперь уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости, для чего подсчитаем полную энергию жидкости в живом сечении, умножив все составляющие на весовой расход элементарной струйки 
и проинтегрировав по площади живого сечения 
:
.
Так как давление распределяется по основному закону гидростатики, то z+p/ρg =const и может быть вынесено за знак интеграла. Кроме того, скорости всех элементарных трубок одинаковы, поэтому также выносятся за знак интеграла. Тогда получим:
.
Возвращаясь теперь к размерности удельной энергии, получим уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости:
.
Уравнение не учитывает потерь напора и неравномерности распределения скоростей по сечению потока, возникающих при движении реальной жидкости.
Рассмотрим построение пьезометрической и напорной линии для случая движения идеальной жидкости (рис. 28).
В случае идеальной жидкости полный напор (полная энергия) остается постоянной вдоль всего потока, а потенциальная и кинетическая энергии (гидростатический и скоростной напоры) могут переходить друг в друга. Например: уменьшение диаметра трубопровода приведет к увеличению скорости и скоростного напора, соответственно давление в этом сечении (пьезометрический напор) уменьшится.
Расположим в нескольких сечениях пьезометрические и гидродинамические трубки. Для идеальной жидкости во всех гидродинамических трубках уровень жидкости будет одинаков и выше, чем в пьезометрических на величину скоростного напора (удельной кинетической энергии). Соединим уровни жидкости в пьезометрах, получим пьезометрическую линию. А соединив уровни жидкости в гидродинамических трубках, получим напорную линию. Напорная линия представляет собой горизонтальную линию.
Рисунок 28 − Пример построения пьезометрической и напорной линии для идеальной жидкости
