Прямая линия описывается общим уравнением 
, в которое текущие координаты x и y входят с первой степенью. Такие уравнения называются линейными или уравнениями первого порядка. Уравнения кривых (линий) на плоскости, содержащие, кроме первых степеней координат x и y, квадраты этих координат или их произведение xy, относятся к уравнениям кривых второго порядка.
П.1. Окружность. Если R – радиус окружности, а точка M(x0,yo) – ее центр, то уравнение окружности имеет вид:
. (8.1)
Если точка M совпадает с началом координат, то 
.
П.2. Эллипс. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2a, a>0, большая, чем расстояние между фокусами.
Расстояние между фокусами обозначают 2c. Если за ось Ox принять прямую, проходящую через фокусы F1 и F2, а за ось Oy – перпендикуляр к оси Ox в середине отрезка F1F2, то простейшее (каноническое) уравнение эллипса примет вид:
, (8.2)
где a – большая полуось эллипса, b – малая полуось, причем 
(рис. 8.1). Отношение 
называется эксцентриситетом эллипса.
Рис. 8.1
При изучении эллипса большую роль играют две прямые: 
, которые называют директрисами эллипса. Директриса 
называется левой, а 
– правой. Так как для эллипса 
, то 
, и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая – правее правой вершины.
Директрисы эллипса обладают следующим свойством: отношение расстояния 
от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию 
от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса, т.е. 
.
Замечание. Если центр эллипса с полуосями a и b смещен в точку M(x0,yo), то его каноническое уравнение имеет вид:
. (8.3)
Пример 8.1. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что его большая полуось равна 12, а эксцентриситет равен 0,5. Найти расстояние между фокусами эллипса.
Решение. По условию имеем: a=12, 
.
Воспользуемся формулой, выражающей эксцентриситет через отношение полуосей: 
или 
, откуда 
.
Получаем: 
.
Следовательно, каноническое уравнение эллипса имеет вид: 
.
П.3. Гипербола. Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек F1 и F2 той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть заданная постоянная величина 2a, a>0, меньшая, чем расстояние между фокусами. Расстояние между фокусами обозначим 2c.
Если за ось Ox принять прямую, проходящую через фокусы F1 и F2, а за ось Oy – перпендикуляр к оси Ox в середине отрезка F1F2, то каноническое (простейшее) уравнение гиперболы примет вид
, (8.4)
где 
, a–действительная полуось, b– мнимая полуось гиперболы (рис. 8.2).
Рис. 8.2
Отношение 
называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые 
называют асимптотами гиперболы. Гипербола, у которой a=b, называется равносторонней. Точки (a,0) и (-a,0) называются вершинами гиперболы.
Для построения гиперболы (8.4) удобно сначала построить прямоугольник со сторонами 
, 
и провести через его противоположные вершины асимптоты гиперболы. Тогда гипербола располагается относительно этого прямоугольника так, как изображено на рисунке 8.2.
Прямые, заданные уравнениями , называются директрисами гиперболы. Как и для эллипса, отношение расстояния ri от любой точки гиперболы до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до соответствующей этому фокусу директрисы Di равно эксцентриситету гиперболы, т.е: 
, 
.
Замечания. 1) Кривая 
также является гиперболой. Здесь Oy – действительная ось, Ox – мнимая ось, вершины гиперболы расположены на оси Oy.
2) Если центр гиперболы смещен в точку M(x0,yo), то ее каноническое уравнение имеет вид
или 
. (8.5)
Пример 8.2. Асимптоты гиперболы имеют уравнения 
, а расстояние между фокусами равно 20. Написать ее каноническое уравнение.
Решение. Разрешим уравнения асимптот относительно y и, сравнив с общей формулой асимптот, найдем отношение b к a:
.
По условию задачи 2с=20, т. е. с=10. Так как для гиперболы , то для нахождения a и b получим систему уравнений
решив которую, найдем a=8, b=6.
Следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид: 
.
