Логические основы построения ЭВМ

ЛЕКЦИЯ № 2

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

ИНФОРМАЦИИ В ЭВМ

 

Понятие об основных системах счисления

Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Непозиционными называются такие системы счисления, в которых каждый символ сохраняет свое значение независимо от места его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой символам I, V, X, L, С, D, М соответствуют числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Недостатком этой системы является сложность формальных правил записи чисел и выполнения арифметических действий над ними.

Система счисления называется позиционной, если значение каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа. Это значение находится в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая в повседневной жизни.

Количество различных цифр, употребляемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления. Так, в десятичной системе используются десять цифр (от 0 до 9), основанием этой системы является число десять.

В позиционных системах счисления числа записываются в виде последовательности символов:

N = a_n a_n-1... a₁ a₀, a_-1 a_-2... а_{-m (р)} (1)

где N – число; a_i – цифры (символы) числа; p – основание системы счисления; n, m – порядковый номер разряда для целой (n) и дробной (m) частей числа соответственно.

В этой последовательности запятая отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных степенях, включая нуль, от коэффициентов при отрицательных степенях). Значение числа, записанного в виде (1), может быть найдено по следующей формуле:

N = a_n · pⁿ+a_n-1 · p^n-1+... +a₀ · p⁰+a_-1 · p^-1+a_-2 · p^-2+...+а_-m · p^-m. (2)

В десятичной системе счисления мы производим вычисления по формуле (2) практически не задумываясь. Возьмём для примера десятичное число 123,45:

2 1 0 -1 -2

123,45 ₍₁₀₎ = 1·10²+2·10¹+3·10⁰+4·10^-1+5·10^-2 = 100+20+3+0,4+0,05.

Помимо десятичной, в ЭВМ применяются и другие позиционные системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.

Двоичная система счисления.

Используется две цифры: 0 и 1. Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным кодом. Примеры представления чисел в двоичной системе счисления представлены в таблице 1.

Восьмеричная система счисления.

Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употреблялась в ЭВМ первого и второго поколений как вспомогательная для записи адресов и данных в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада) (табл. 1). Триада получается путем добавления, при необходимости, незначащих нулей.

 

Таблица 1

Представление чисел в различных системах счисления

Десятичная (Основание 10)	Римская	Двоичная (основание 2)	Восьмеричная (Основание 8)	Двоичная (триады)	Шестнадцате­ричная (Основание 16)	Двоичная (тетрады)
	I
	II
	III
	IV
	V
	VI
	VII
	VIII			001 000
	IX			001 001
	X			001 010	A
	XI			001 011	B
	XII			001 100	C
	XIII			001 101	D
	XIV			001 110	E
	XV			001 111	F
	XVI			010 000		0001 0000
	XVII			010 001		0001 0001

Шестнадцатеричная система счисления.

Для изображения чисел употребляются 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр - латинскими буквами: 10-A, 11-B, 12-C, 13-D, 14-E, 15-F. Шестнадцатеричная система используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада, или полубайт) (табл. 1).

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда (2) с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.

Пример.

а) Перевести 10101101,101₍₂₎ в десятичную систему счисления

10101101,101₍₂₎ = 1·2⁷ + 0·2⁶ + 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ + 1·2^-1 + + 0·2^-2 + 1·2^-3 = 173,625₍₁₀₎

 

б) Перевести 703,04₍₈₎ в десятичную систему счисления

703,04₍₈₎ = 7·8² + 0·8¹ + 3·8⁰+ 0·8^-1 + 4·8^-2 = 451,0625₍₁₀₎

 

в) Перевести B2E,4₍₁₆₎ в десятичную систему счисления

B2E,4₍₁₆₎ = 11·16² + 2·16¹ + 14·16⁰ + 4·16^-1 = 2862,25₍₁₀₎

Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основании той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное, меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

Пример.

а) Перевести 181₍₁₀₎ в восьмеричную систему счисления

 

_181
	_22

 

Результат: 181₍₁₀₎ = 265₍₈₎

 

б) Перевести 622₍₁₀₎ в шестнадцатеричную систему счисления

 

_622
	_38
_142
	6

 

Результат: 622₍₁₀₎ = 26E₍₁₆₎

Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Пример.

Перевести 0,3125₍₁₀₎ в восьмеричную систему счисления

 

0, 3125	´
		´

 

Результат: 0,3125₍₁₀₎ = 0,24₍₈₎

Замечание. Конечной десятичной дроби может соответствовать бесконечная (периодическая) дробь в недесятичной системе счисления. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.

Пример.

Перевести 0,65₍₁₀₎ в двоичную систему счисления с точностью до 6 знаков после запятой.

 

0, 65	´
		´
		´
		´
		´
		´
		´
	...

 

Результат: 0,65₍₁₀₎ ≈ 0,101001 ₍₂₎

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.

Пример.

Перевести 23,125₍₁₀₎ в двоичную систему счисления

 

1) Переведем целую часть:

 

_
		_11
			_5
				_2

 

 

2) Переведем дробную часть:

 

0, 125	´
0		´
		´

Таким образом: 0,125₍₁₀₎ = 0,001₍₂₎; 23₍₁₀₎ = 10111₂.

Результат: 23,125₍₁₀₎ = 10111,001₍₂₎.

Необходимо отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби — дробями в любой системе счисления.

Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) – для восьмеричной системы счисления или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) – для шестнадцатеричной системы счисления (табл. 1), после чего отбрасывают незначащие нули в старших и младших разрядах.

Пример.

а) Перевести 305,4₍₈₎ в двоичную систему счисления

3	0	5	,	4	(8)	= 11000101,1(2)

 

б) Перевести 7B2,E₍₁₆₎ в двоичную систему счисления

7	В	2	,	Е	(16)	= 11110110010,111(2)

Для перехода от двоичной к восьмеричной (шестнадцатеричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от десятичной точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой (табл. 1).

Пример.

а) Перевести 1101111001,1101₍₂₎ в восьмеричную систему счисления

001	101	111	001	,	110	100	= 1571,64(8)

б) Перевести 11111111011,100111₍₂₎ в шестнадцатеричную систему счисления

0111	1111	1011	,	1001	1100	= 7FB,9C(16)
	F	B			С

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно удобно осуществлять через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

Пример.

Перевести 175,24₍₈₎ в шестнадцатеричную систему счисления

1	7	5	,	2	4	(8)	= 1111101,0101(2) = 0111 1101, 0101 (2) = 7D,5(16)
							7 D 5

ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭВМ

Основы алгебры логики

Слово «логика» означает как совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления, так и науку о правилах рассуждений. Логика, как наука о законах и формах мышления, изучает абстрактное мышление как средство познания объективного мира.

Основными формами абстрактного мышления являются:

— ПОНЯТИЯ,

— СУЖДЕНИЯ,

— УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ.

ПОНЯТИЕ — форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов, например: «портфель»; «трапеция»; «ветер».

СУЖДЕНИЕ — мысль, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах. Суждения являются истинными или ложными повествовательными предложениями. Они могут быть простыми и сложными. Например: «Весна наступила»; «Грачи прилетели»; «Весна наступила, и грачи прилетели».

УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ — прием мышления, посредством которого из исходного знания получается новое знание; из одного или нескольких истинных суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем заключение.

Все металлы — простые вещества.

Литий — металл.

Литий — простое вещество.

Чтобы достичь истины при помощи умозаключений, надо соблюдать законы логики. Существует формальная и математическая логика.

Формальная логика — наука о законах и формах мышления.

Математическая логика изучает логические связи и отношения, лежащие в основе дедуктивного (логического) вывода.

Формальная логика связана с анализом наших обычных содержательных умозаключений, выражаемых разговорным языком. Математическая логика изучает только умозаключения со строго определенными объектами и суждениями, для которых можно однозначно решить, истинны они или ложны.

В основе логических схем и устройств ЭВМ лежит специальный аппарат, использующий законы математической логики. Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем. Знание логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в большинстве языков программирования есть логические операции.

Алгебра логики — это раздел математической логики, значения всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: «Истина» («True») и «Ложь» («False»), или 1 и 0.

В математической логике суждения называются высказываниями. Алгебру логики иначе называют алгеброй высказываний.

Высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Примеры высказываний:

Сейчас идет снег. может быть истинным или ложным

Земля — планета Солнечной системы. истинно

2 + 8 < 5 ложно

5 * 5 = 25 истинно

Всякий квадрат есть параллелограмм. истинно

Всякий параллелограмм есть квадрат. ложно

2 * 2 = 5 ложно

А вот примеры, не являющиеся высказываниями: «Уходя, гасите свет!»; «Да здравствует мыло душистое и полотенце пушистое!»

Высказывания, приведенные выше, являются простыми. Сложные высказывания получаются путем объединения простых высказываний связками — союзами И, ИЛИ и частицей НЕ. Значение истинности сложных высказываний зависит от истинности входящих в них простых высказываний и от объединяющих их связок.

 

Операции сравнения

Операции сравнения называют еще операциями отношения (relation operations), поскольку в них осуществляется оценка взаимосвязи (отношений) двух операндов. Под операндом понимается то, над чем выполняется операция.

В таблице 6 перечислены операторы, используемые для обозначения операций сравнения в языках программирования. Результат сравне-ния может быть либо истинным, либо ложным (Тruе или False). Приоритет операций сравнения ниже, чем у арифметических операций.

Таблица 2