Математическое моделирование процессов в континуальных системах

Кирсанов Ю.Г.

Учет противоречивых требований и поиск разумного компромисса при решении комплекса взаимосвязанных проблем, возникающих при создании технических устройств и систем различного назначения, предполагает наличие достаточно полной и достоверной количественной информации об основных параметрах, которые характеризуют возможные для выбора альтернативы.
В складывавшейся десятилетиями последовательности основных этапов разработки технических устройств в большинстве отраслей машиностроения и приборостроения некоторый начальный объем необходимой информации формировался путем так называемых проектировочных расчетов, степень достоверности которых должна была обеспечивать лишь довольно грубый отбор альтернатив. Основная часть необходимой для принятия окончательного решения количественной информации (как по степени подробности, так и по уровню достоверности) формировалась на стадии экспериментальной отработки технических устройств. По мере их усложнения, удорожания и удлинения стадии экспериментальной отработки значимость проектировочных расчетов стала расти. Возникла необходимость в повышении достоверности таких расчетов, обеспечивающей более обоснованный отбор альтернатив на начальной стадии проектирования и формулировку количественных критериев для структурной и параметрической оптимизации.
Развитие сверхзвуковой авиации, возникновение ракетно-космической техники, ядерной энергетики и ряда других быстро развивающихся наукоемких отраслей современного машиностроения и приборостроения привело к дальнейшему усложнению разрабатываемых и эксплуатируемых технических устройств и систем. Их экспериментальная отработка стала требовать все больших затрат времени и материальных ресурсов, а в ряде случаев ее проведение в полном объеме превратилось в проблему, не имеющую приемлемого решения. В этих условиях существенно выросла роль расчетно-теоретического анализа характеристик таких устройств и систем. Этому способствовал и прорыв в совершенствовании вычислительной техники. В результате возникла материальная база для становления и быстрого развития математического моделирования и появились реальные предпосылки для использования вычислительного эксперимента не только в качестве расчетно-теоретического сопровождения на стадии отработки технического устройства в целях уточнения принятых ранее конструктивных решений, но и при его проектировании, подборе и оптимизации эксплуатационных режимов, анализе надежности и прогнозировании отказов и аварийных ситуаций, при оценке возможностей форсирования и модернизации технического устройства.
В настоящее время методология математического моделирования и вычислительного эксперимента стала составной частью общих подходов, характерных для современных информационных технологий. Ее практическая реализация существенно повышает эффективность инженерных разработок, особенно при создании принципиально новых, не имеющих прототипов машин и приборов, материалов и технологий. Она позволяет сократить затраты времени и средств на использование в технике передовых достижений физики, химии, механики и других фундаментальных наук. При этом нередко возникает необходимость в количественном анализе процессов, протекающих в системах с распределенными параметрами (в континуальных системах), когда важно располагать информацией о распределении в пространстве и изменении во времени таких параметров, как температура, давление, перемещения и деформации, механические напряжения, скорость, электрический потенциал, напряженность электрического или магнитного поля и т. п. Такая информация существенна при разработке и оптимизации технологических процессов и рабочих процессов в энергетических установках, при анализе процессов деформирования и динамики конструкций и процессов взаимодействия среды с электромагнитными полями в приборных устройствах.
Отмеченные возможности математического моделирования и вычислительного эксперимента в настоящее время еще далеко не исчерпаны, представляются достаточно перспективными и поэтому заслуживают детального рассмотрения.
Последовательность этапов математического моделирования. В технической литературе обычно принято считать термины “математическое моделирование” и “вычислительный эксперимент” интуитивно понятными и их содержание подробно не раскрывается. Кратко суть этих терминов означает адекватную замену реального технического объекта или процесса соответствующей математической моделью и ее последующее изучение (экспериментирование с нею) на ЭВМ с помощью вычислительно-логических алгоритмов. Однако для обсуждения и обоснования основных подходов к разработке проблем математического моделирования технических объектов представляется целесообразным предварительно рассмотреть условную схему, определяющую последовательность проведения отдельных этапов общей процедуры вычислительного эксперимента.
На первом этапе осуществляют неформальный переход от рассматриваемого (разрабатываемого или существующего) технического объекта к его расчетной схем. При этом в зависимости от направленности вычислительного эксперимента и его конечной цели акцентируют те свойства, условия работы и особенности объекта, которые вместе с характеризующими их параметрами должны найти отражение в расчетной схеме, и наоборот, аргументируют допущения и упрощения, позволяющие не учитывать в расчетной схеме те качества объекта, влияние которых предполагают в рассматриваемом случае несущественным. В сложившихся инженерных дисциплинах помимо описательной (вербальной) информации для характеристики расчетных схем разработаны специальные приемы и символы наглядного графического изображения. По ряду новых направлений развития техники подобная символика находится в стадии формирования. При разработке новых технических объектов успешное проведение первого этапа в значительной мере зависит от профессионального уровня инженера, его творческого потенциала и интуиции.
Содержание второго этапа состоит, по существу, в формальном, математическом описании расчетной схемы и построении математической модели технического объекта. Математическая модель в формализованном виде представляет собой совокупность соотношений, устанавливающих связь между параметрами, характеризующими расчетную схему технического объекта. Надо сказать, что для некоторых типовых расчетных схем существуют банки математических моделей, что упрощает проведение второго этапа. Более того, одна и та же математическая модель может соответствовать расчетным схемам из различных предметных областей. Однако при разработке новых технических объектов часто не удается ограничиться применением типовых расчетных схем и отвечающих им уже построенных математических моделей. Создание новых моделей или модификация существующих должны опираться на достаточно глубокую математическую подготовку и владение математикой как универсальным языком науки.
На третьем этапе проводят качественный и оценочный количественный анализ построенной математической модели. При этом могут быть выявлены противоречия, ликвидация которых потребует уточнения или пересмотра расчетной схемы объекта (штриховая линия на рисунке). Количественные оценки могут дать основания упростить модель, исключив из рассмотрения некоторые параметры, соотношения или их отдельные составляющие, несмотря на то, что влияние описываемых ими факторов учтено в расчетной схеме.
Изложенное позволяет заключить, что математическое моделирование процессов в континуальных системах является составной частью современных информационных технологий и позволяет повысить эффективность инженерных разработок технических объектов различного назначения. Рассмотренная последовательность этапов математического моделирования показывает, что их осуществление требует органического сочетания инженерных знаний в конкретной предметной области, владения математикой и навыками программирования. Поэтому для более широкого использования в технике методологии математического моделирования важно решение проблемы подготовки квалифицированного кадрового сопровождения.
При реализации триады “модель – алгоритм – программа” в виде программного комплекса актуальны: создание банков расчетных схем и математических моделей; разработка эффективных алгоритмов, в том числе, с распараллеливанием вычислительных процедур; оценка достоверности получаемой в вычислительном эксперименте информации и пути ее представления в обозримом виде, ее обработка и прикладная интерпретация.

Список литературы

1. Самарский А.Л. Проблемы использования вычислительной техники и развитие информатики // Вестник АН СССР. 1985. № 3. С.57-69.
2. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. – М.: Наука, 1984. – 520 с.
3.Зарубин В.С., Селиванов В.В. Вариационные и численные методымеханики сплошной среды. – М.: Изд-во МГТУ, 1993.- 360 с.
4.Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры.- М.:Наука, 1977.- 304 с.
5.Раис Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение:Пер. с англ. – М.: Мир. 1984. – 264 с.
6.Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – 509 с.
7.Воеводин В.В. Математические модели и методы в параллельных процессах. – М.. Наука, 1986.- 296 с.