Для нелинейной системы это свойство не справедливо и приходится исследовать реакцию системы не по составляющим, на которые можно разложить сложные воздействия, а целиком на это сложное воздействие. Поскольку входных разнообразных воздействий может быть очень много, то объем исследований для нелинейных систем принципиально больше, чем для линейных.
Свойство аддитивности также говорит о том, что сигналы проходящие через линейную систему не оказывают влияния друг на друга. Наличие любой нелинейности нарушает это утверждение.
Факт линейности или нелинейности того или иного элемента, системы может быть установлен либо экспериментально либо по уравнениям описывающим поведение системы.
Если все элементы, входящие в систему, линейны, то и система будет линейной. Если хотя бы один элемент системы представляет собой нелинейный элемент, то и вся система будет нелинейной.
Линейное дифференциальное уравнение, связывающее выход х со входом у в общем случае имеет вид:
Нелинейное дифференциальное уравнение, связывающее выход со входом
Нелинейные члены – любая, не равная 1 (α≠1) степень переменной хα.
Либо произведение управляемых, либо управляющих координат х, у, либо управляемая координата – аргумент нелинейной функции делает уравнение нелинейным.
Также, нелинейными являются уравнения.Здесь два нелинейных члена
Приведем ещё один пример нелинейных систем. Этому примеру соответствует электродвигатель, скорость вращения вала которого пропорциональна до определенных пределов входному управляющему сигналу (рис. 3.1). Однако, при больших сигналах электродвигатель либо сгорит, либо разрушится и поэтому входной сигнал надо ограничивать чему соответствует ограничение скорости электродвигателя.
 |
Рис. 3.1 – Пример нелинейных систем
В этой системе имеется нелинейность F типа «насыщения». Если на F входной сигнал 1, то выходной – 5. Если входной сигнал 2, то выходной – 10. Если входной сигнал 3, то выходной сигнал по прежнему 10. Таким образом в нелинейных системах нарушается пропорциональность между входом и выходом.
Принцип суперпозиции при e(t)>2 не выполняется. При входном сигнале 1+2=3, выходной сигнал будет не 5+10=15 – что было бы, если бы система была линейной, а выходной сигнал будет по прежнему 10.
Аппарат исследования линейных систем разработан и достиг относительного совершенства. Аппарат исследования нелинейных систем только еще разрабатывается. Хотя численное решение системы нелинейных уравнений в том числе и дифференциальных всегда возможно на компьютере. Эти решения не обладают достаточной общностью.
Линеаризация уравнения колебаний физического маятника.Всегда существовала и сейчас существует тенденция свести нелинейное уравнение к линейному операцией, так называемой, линеаризации. Это часто возможно сделать, если принять какое-то опорное состояние и записать уравнения системы в отклонениях – вариациях от этого опорного состояния. В предположении малости этих вариаций, поддерживаемых системой, можно получить линеаризованное уравнение системы.
Рассмотрим колебания физического маятника (рис. 3.2). Разложим силу тяжести, на силу возвращающую маятник в положение равновесия и на силу натяжения нити.
 |
L
Рис. 3.2 - Колебания физического маятника
Это нелинейное уравнение относительно рассматриваемой координаты θ, которая является аргументом нелинейной функции sin. Однако, разложим функцию sin(θ) в степенной ряд.
+…..
При малых θ – члены θ3 и θ5 гораздо меньше, чем θ и ими можно пренебречь. При 
с ошибкой меньше чем 2% можно считать sin(θ)= θ.
- это линейное (линеаризованное) уравнение, справедливое для 
.
Нелинейные модели исполнительных органов автоматических и автоматизированных систем.Существуют виды ИО, которые создают существенно нелинейные воздействия на ОУ. Это например электродвигатели не имеющие пропорционального управления по скорости вращения вала, а имеющие постоянную скорость, изменяемую скачком от нуля при подаче сигнала вкл..
 |
Связь между Х и Y пропорциональна и линейна.
 |
Связь между Х и Y не линейна, с зоной нечувствительности.
Такой характеристикой обладают микроракетные двигатели системы ориентации космических аппаратов, электропривод постоянной скорости. Управление ими сводится к выдаче сигналов вкл, выкл с учетом операции выбора знака.
Если выключение такого релейного исполнительного органа производить при достижением ОУ заданного значения управляемой координаты, например, 0, то поскольку в этот момент скорость ОУ не равна 0, он проскочит заданное положение и начнется увеличение управляемой координаты, но с обратным знаком. Это приведет к включению релейного управления для его парирования также с обратным знаком. Релейный управляющий орган будет включен до тех пор пока управляемая координата не станет равной 0, но благодаря наличию скорости в этот момент ОУ опять проскочит заданное положение и т.п. В таких нелинейных системах ОУ и другие элементы находятся в автоколебательном режиме.
Математическое описание цифровых систем. Решетчатые функции. Импульсный элемент
Ниже рассматриваются основные положения теории дискретных систем в объеме достаточном для создания имитационной математической модели этих систем, а также для получения некоторых важных упрощений, облегчающих исследование цифровых систем. Поскольку ввод информации в компьютер, а так же вывод информации из него может принципиально осуществляться только в дискретные моменты времени, а не непрерывно, то необходимо разработать также специальный метод математического описания и анализа качества работы цифровых систем управления. Дискретизация сигнала по времени или квантование по времени соответствует выделению значения сигнала в заранее фиксированные моменты времени. Обычно эти моменты времени отстоят друг от друга на постоянную величину Т, называемой интервалом квантования либо периодом дискретизации. Период квантования задается обычно в программном обеспечении управляющей ЦВМ, как период работы программ съема информации с датчиков системы и ввода её в память. При этом мы в дальнейшем изложении будем пренебрегать эффектом квантования по уровню входных сигналов, проистекающим из-за конечности разрядов обрабатываемых данных.
Квантование по времени заменяет непрерывную входную функцию решетчатой, которая определяется совокупностью выделенных ординат или дискрет. Эти ординаты или дискреты модулируют некоторую последовательность импульсов. Эта процедура квантования по времени и модуляции осуществляется импульсным элементом. Схематичное изображение, которого приведено на рис. 3.2.
Рис. 3.2 - Схематичное изображение импульсного элемента.
Решетчатая функция может быть получена из непрерывной функции r(t), если заменить t на kT. Скорость изменения решетчатой функции во времени характеризуется её первой разностью Δr(kT), являющейся аналогом производной непрерывной функции. Для решения разностных уравнений, т.е. для определения значений искомой решетчатой функции требуется знать начальные значения функции и начальные значения всех её разностей. Методы решения линейных разностных уравнений подобны методам решения дифференциальных уравнений. Более полная аналогия проявляется при операционных методах решения разностных уравнений, из которых наиболее распространенными являются метод дискретного преобразования Лапласа.
Описанная работа цифровых систем формализуется в структурную схему квантования по времени, который преобразует непрерывный сигнал r(t) в решетчатый сигнал r(kТ) (рис. 3.2).
Описание дискретного процесса решетчатой функцией не совсем корректно и физически, и математически. Одной и той же решетчатой функции могут соответствовать несколько непрерывных функций, которые называются огибающими решетчатой функции. Этот эффект необходимо учитывать (рис. 3.3). Возникает иллюзия, что X управляется правильно, тогда как на самом деле величина Х может превышать допустимое значение.
Рис. 3.3 - Решетчатая функция и её огибающая
Рис. 3.3 - Неоднозначность огибающих решетчатой функции
Экстраполятор нулевого порядка
Решетчатая функция получается из непрерывной функции r(t), если рассматривать только ее дискретные значения в моменты времени kT. Вырезанный на момент kT сигнал в ЦВМ запоминается как входной (не меняется в течение времени T – такта и так каждый такт). Поэтому в динамической схеме цифровой системы необходимо учесть не только «вырезание» сигналов в моменты kT, но и запоминание их на этом уровне до момента следующего съема информации с датчиков и поступления её на обработку в процессор (k+1)T. Это запоминание реально осуществляемое в памяти ЦВМ, в которую введены данные, в динамической структурной схеме цифровых систем управления осуществляется специальным структурным элементом, который мы назовем экстраполятором нулевого порядка (рис. 3.4).
 | |||
 | |||
 |
Рис. 3.4 - Сочетание ключа и экстраполятора нулевого порядка и график преобразованной экстраполятором функции
Экстраполятор нулевого порядка «замораживает» значение снятой с датчиков и вводимой в ЦВМ информации до начала следующего цикла съёма. Таким образом, дискретизация сигналов на входе и выходе управляющей ЦВМ в динамических схемах систем математически моделируется сочетанием ключа (импульсного элемента) и экстраполятора нулевого порядка.
Непрерывная r(t) заменяется дискретной ступенчатой rd(t). Передаточная функция экстраполятора нулевого порядка трансцендентна и имеет вид:
= 
Это разность изображений по Лапласу двух сдвинутых на T единичных функций.
Привлечение нами элементов теории цифровых систем, применяемых в сложных системах, позволяет получить на простых выкладках несколько достаточно общих выводов, вытекающих не только из аналогий с непрерывными системами, но и из особенностей поведения цифровых систем управления и из особенностей их имитационного моделирования.
Следует отметить, что в реальных цифровых системах отсутствуют, как физические звенья, импульсный элемент и экстраполятор нулевого порядка, но их сочетание в структурной схеме обязательно и даёт точную модель динамической картины выборки и хранения информации, реализуемой в системах с управляющими ЦВМ.
Оценка дополнительного эквивалентного запаздывания цифровых систем
В отличие от непрерывных систем первого и второго порядка, устойчивых при любых значениях параметров системы лишь бы они были одного знака, импульсные системы первого и второго порядка всегда имеют предельный коэффициент усиления, превышение которого приводит к неустойчивости. Это можно объяснить наличием эквивалентного запаздывания вносимого в контур управления дискретно работающей ЦВМ. Это запаздывание достаточно просто, не углубляясь в строгие и обширные выкладки, можно обнаружить и определить при сравнительно малом периоде квантования входного сигнала ЦВМ.
Рассмотрим передаточную функцию экстраполятора нулевого порядка G0(s) и разложим e-Ts в степенной ряд при малых T s, удерживая члены не выше второго порядка малоcти.
G0(s) = 
= 
Но 
есть ни что иное, как передаточная функция звена чистого запаздывания на время T/2. Из последнего выражения следует, что при малой дискретности опроса импульсную систему можно рассматривать, как непрерывную систему, содержащую ту же непрерывную часть и элемент чистого запаздывания, осуществляющего запаздывание на время равное половине периода дискретизации (опроса) T.
Это запаздывание в половину интервала дискретизации хорошо просматривается на рис. 3.5 и ухудшает качество процессов управления и условия устойчивости в системе.
Рис. 3.5 - Запаздывание, вносимое импульсным элементом с экстраполятором нулевого порядка, при малом периоде опроса
С увеличением порядка системы имитационное моделирование является все более предпочтительным методом исследования цифровых систем, а в случаях нестационарных и нелинейных систем по прежнему единственным практическим методом получения временных характеристик и ответов на вопросы качества процессов управления в таких системах. При этом необходимо имитационно моделировать связку импульсный элемент плюс экстраполятор нулевого порядка, как элемент, запоминающий значение входных переменных на период дискретизации Т. Этот период должен быть настолько мал, чтобы входной сигнал с приемлемой точностью описывал изменения непрерывного входа. Это означает, что поскольку после съема (выборки) и введения значения обрабатываемой переменной в ЦВМ о дальнейших их значениях ничего не известно до следующей выборки, то период дискретизации должен быть настолько коротким, чтобы значение обрабатываемой перемененной не успело значительно измениться. Таким образом, нижний предел частоты выборки связан с динамикой процесса т.е. насколько быстро изменяются физические значения обрабатываемой переменной во времени. При обработке периодических входных данных квантование по времени может при неправильном выборе частоты дискретизации приводить к проблемам, связанным с возможностью восстановления правильного представлении данных в ЦВМ после их ввода.
Лекция 4. Локальные вычислительные сети управления сложными техническими системами (СТС) и их особенности.
Сложные технические системы
Обмен информацией (телекоммуникации) – основа функционирования любой организованной системы, которая по определению состоит из ряда взаимодействующих и взаимосвязанных в определенную структуру частей.
Сложной технической системой мы будем называть систему, имеющую:
- сложное устройство - сложную многокомпонентную структуру, которая порождает многорежимность работы,
- сложное поведение, часто под воздействием случайных возмущений в том числе изменяющих структуру, с множеством различных режимов работы, при которых взаимодействие структурных частей изменяется,
- сложные технические системы управляются от совокупности ЦВМ, объединенных в вычислительную сеть.
В соответствии с этим определением к СТС можно отнести системы управления аэрокосмическими объектами, автомобилями, но и современными стиральными машинами.
Схема систем управления с ЦВМ в качестве устройства управления. Системная и периферийные ЦВМ
Рассмотрим классическую типовую схему системы управления с ЦВМ в качестве устройства управления (рис. 4.1).
Три понятия: объект управления, цель управления и управляющее воздействие связаны между собой одним определением, которое я напомню.
Объектом управления называется материальный объект или система объектов, который подвергается управляющему воздействию для достижения поставленной цели управления. Современная реализация этой схемы содержит периферийные встроенные в исполнительные органы и датчики ЦВМ, объединенные в сеть.
Для системного УУ (управляющей ЦВМ) также иногда применяют логическое разделение вычислительных ресурсов между несколькими ЦВМ, что связанно с нехваткой производительности одной ЦВМ и необходимостью её масштабирования.
Рис. 4.1 - Схему системы управления с ЦВМ в качестве устройства управления
Задачи, вызвавшие появление вычислительных сетей
Вычислительная сеть (computer network) – взаимосвязанная совокупность территориально распределенных ЦВМ управления и обработки данных, систем связи и передачи данных (СПД), обеспечивающая пользователям, компонентам автоматических и автоматизированных систем коллективное использование этих ресурсов.
Развитие компьютерных сетей поддерживается потребностями решения следующих практических задач:
1. Задача совместного использования информационных ресурсов. Распределенный и удаленный доступ из территориально разнесенных мест, оснащенных ЦВМ, к базам данных и другим ресурсам, которые также могут быть распределены.
2. Распределенные вычисления, для которых требуются получение и передача исходных данных, передача промежуточных результатов для продолжения вычислений на программы, расположенные на других компьютерах (хостах). Чаще всего потребность в распределенных вычислениях связана с недостаточной производительность централизованной ЦВМ.
3. Задача распределенного управления, которая связана со сбором и обработкой данных и выдачей управляющих воздействий по территориально разнесенным элементам структуры системы управления сложными техническими системами, промышленными, медицинскими, научными и т.п.
Преимущества ЦВМ и сетей ЦВМ в качестве управляющих устройств
В рассматриваемых системах управления с обратной связью функции управляющего устройства выполняет ЦВМ или сеть ЦВМ. Использование ЦВМ сулит большие преимущества в использовании сложных и эффективных алгоритмов управления. Однако за эти преимущества приходится платить некоторыми неблагоприятными эффектами.
Главные преимущества ЦВМ в контуре управления связаны с возможностью реализации сложных законов управления, обеспечивающих высокую эффективность управления и достижения сложных целей управления,
ЦВМ или сети ЦВМ являются системообразующим элементом не только с концептуальной точки зрения, но и являются аппаратным ядром системы, определяя интерфейсы с аппаратурой системы, доступ к среде передачи информации и т.п. В этом случае используется стандартная отработанная аппаратура данного ядра
Цифровые устройства не дают разбросов выхода от температуры, качания питающего напряжения, в отличие от аналоговых устройств,
Преимуществом также является простота модернизации системы путем модернизации ПО ЦВМ для перестройки законов управления без замены аппаратуры системы.
Для передачи сообщения должен применяться какой-либо код в соответствии с которым передатчик изменяет физические свойства канала передачи при передаче каждого бита, а приемник восстанавливает код по каждому принятому биту сообщения, уловив эти изменения свойств канала передачи.
Приемник и передатчик находятся в различных устройствах и необходима синхронизация их работы. Решению задачи синхронизации передатчика и приемника уделяется много внимания, начиная от структуры пакетов и кончая выбором конструкции ЛПИ и выбором метода кодирования бит информации.
На канал передачи данных влияют шум (noise) и наведенные помехи, искажающие сообщения и затрудняющие распознавание приемником полезных изменений физических свойств среды передачи. Сообщения также могут быть искажены из-за влияния электродинамики канала передачи, особенно на высоких частотах.
Устройство заземления, как для любой электроустановки имеет большое значение для надежной работы сети.
Информация, а точнее средства ее передачи, приема и хранения подвергаются воздействию внешних возмущающих факторов (ВВФ), которые если не предпринять меры по защите могут привести к разрушению или отказу аппаратуры и утрате передаваемой информации. К внешним возмущающим факторам относятся температура, давление, радиация или ионизирующие излучения, влажность, механические воздействия – удары и вибрации и т.п. Для ЛВСуСТС эти ВВФ по уровню гораздо выше, чем для офисных сетей. Это накладывает на конструкцию устройств ЛВСуСТС и даже на устройство логических протоколов определяющее влияние.
Информация в узлах сети (хостах) и в среде передачи подвергается атакам с целью её прослушивания, искажения или хищения.
Разделяемая среда передачи
На рисунке изображена передача информации между передатчиком и приемником. Пусть в сети имеется всего n абонентов. Если все абоненты будут соединены между собой подобным образом по схеме «каждый с каждым», то число каналов передачи данных, число передатчиков и число приемников будет равно n*(n-1). Это число быстро растет с ростом числа узлов n и очень быстро становится неприемлемо большим.
Поэтому вводится понятие «разделяемая среда передачи», к которой подключается несколько абонентов. В качестве разделяемой среды передачи используются либо коаксиальный кабель, либо витая пара, либо радиоканал. В этом случае в каждый момент времени только один из узлов должен иметь доступ к разделяемой среде для передачи сообщения (пакета) другому узлу или всем узлам сразу.
В тех случаях, когда передачу одновременно ведут несколько узлов импульсы их сообщений накладываются друг на друга в канале передачи и все сообщения искажаются. В разных сетевых технологиях правила и средства доступа абонента на линию для начала передачи различны.
Благодаря Ethernet широкое распространение получил случайный распределенный доступ. В этом случае, желающий вести передачу узел должен сначала убедиться, что линия свободна от передачи сообщений. Если это так, то узел передаёт сообщение, которое получают все узлы, разделяющие общую среду передачи, но использует только тот узел, адрес которого содержится в сообщении.
Имеются сетевые технологии с централизованным доступом абонента на линию под управлением выделенного узла-«командира» (MIL STD 1553B).
Имеются технологии с детерминированным доступом узлов на линию передачи информации путем передачи специального пакета – токена или метки последовательно всем узлам. При этом передачу может вести только тот узел, который владеет токеном и т.п.
Особенности ЛВС управления СТС
Особую разновидность ЛВС представляют встроенные в сложные технические системы локальные сети, предназначенные для работы в составе систем управления этими объектами.
Основной проблемой передачи данных в таких сетях является доставка за заданное минимальное время сообщения из А в В без нарушения его конфиденциальности, доступности и целостности. Доступность и целостность оцениваются достоверностью полученного сообщения чему препятствуют динамика ЛПД, шумы и помехи.
Достоверность означает, что вероятность приема и правильной дешифровки правильного сообщения в приемнике В должна иметь величину не ниже заданной. Для значительного повышения этой вероятности передача данных контролируется и в случае передачи с ошибкой она, как правило, повторяется. Контроль правильности передачи в разных сетевых технологиях различен, но в той или иной форме он базируется на внесении избыточности в сообщение.
В системах управления, передаваемые данные по соглашению (протоколу) могут интерпретироваться как прямые команды управления, т.е. приемник по ним прямым образом выполняет заданные действия.
На искажение информации при передаче данных влияют не только чисто технические причины, связанные с характеристиками среды передачи, ненадежности средств передачи, хранения и обработки информации, но и злонамеренно организованные и несанкционированные действия (атаки). Мы рассматриваем сети управления СТС. При этом упомянутые атаки также возможны, как на технологических этапах подготовки СТС, так и на этапе функционирования СТС. Например, вскрытие электронных замков и замка зажигания в автомобильной сети CAN.
ЛВС управления СТС характеризуются:
1) относительно небольшими размерами сообщений, достаточными для передачи информации управления за минимальное время.
2) четким детерминированным поведением при реализации доступа абонентов к среде передачи,
3) относительно небольшой охватываемой площадью, длина ЛПД 
1000м. Число узлов 100.
4) Высокими требованиями к безопасности и надежности передачи данных. Для таких сетей разработаны специальные стандарты и протоколы, в которых повышена надежность работы физического и канального уровней взаимодействия систем для работы в промышленной среде и при управлении подвижными объектами в условиях воздействия значительных электромагнитных помех.
5) Маршрутизация сообщений в таких сетях не требуется, но появились исключения (Space Wire).
6) Устройства и элементы таких сетей работают в условиях далёких от офисных при воздействии внешних возмущающих факторов (температуры, вибрации, радиации ит.п.) и должны их выдерживать. Оператор, если он должен участвовать в работе таких сетей, должен иметь удалённый доступ, что достижимо технически.
7) Входной поток задач на решение каждой ЦВМ сети в отличие от большинства офисных сетей не является случайным, а скорее относится к классу регулярных, так как в течении всего времени работы автоматической системы в ЦВМ с определенным периодом решается один и тот же набор задач управления. Величина этого периода определяется динамикой конкретной системы. Но и строго регулярным этот поток тоже назвать нельзя.
Во первых длительность решения задач в каждом периоде может меняться, так как зависит от пришедших исходных данных на текущий момент времени (можно считать, что имеется случайная составляющая времени обслуживания). Во вторых в фиксированном наборе задач таких систем всегда есть задачи, инициируемые внешними событиями, например, через систему прерывания асинхронно к потоку задач, исполняемых с заданным периодом. Поэтому мы будем рассматривать и случайный и регулярный потоки входных задач – заявок на обслуживание.
Все эти особенности находят отражения в принятых технических решениях для ЛВС у СТС.
Определение времени ожидания абонентом освобождения шины, как общего ресурса
Для ЛВС шина – общий разделяемый всеми абонентами ресурс. Каждый абонент работает с шиной последовательно – одновременная передача сообщений несколькими абонентами невозможна и запрещена. Если один абонент сети захватил шину, то он её не освободит пока не передаст своё сообщение. Остальные абоненты ждут её освобождения.
Всех интересует вопрос каково же будет среднее время ожидания любым абонентом начала передачи и каково будет общее среднее время передачи сообщения с учетом ожидания им начала передачи в некоторой обобщенной очереди абонентов к шине?
