Теорема және оның түрлері

Математикада теоремалар өте көп кездеседі. Соған байланысты олардың дәлелдеу методтарының да әр түрімен кездесіп отырамыз. Алдымен теоремалар туралы біраз мағлұмат берейік.

Теорема сөзі грекше сөз τеоρеμα болып, оның сөздік мағынасы “қарап шығамыз” немесе “ойлап көремін” деген мағынаны білдіреді, сондықтан да мектеп математика курсында теоремаға мынадай анықтама берілген.

“Шындығына дәлелдеу арқылы көз жеткізілетін математикалық сөйлем теорема деп аталады”.

Теоремадағы қарастырылып отырған ұғым біріншіден қандай шартты қанағаттандыратындығы белгілі екендігі, екіншіден теоремада ол ұғым туралы қандай қасиеттің бар екендігін айтып тұрғандығы анық көрсетілген болу керек. Мұның біріншісі теореманың шарты деп, ал екіншісі – қорытындысы деп аталады.

Мысал келтірейік. “Вертикаль бұрыштар тең” теоремасын да “Вертикаль бұрыштар” – шарты, ал “тең” – қорытындысы. Осы теоремаға “егер”, “онда” тіркестерін пайдаланып, тұжырымын басқаша, келісімді (силлогизм) түрде беруге болады, яғни “Егер бұрыштар вертикаль болса, онда тең болады”. Бұл тұжырымның ерекшелігі, теореманың шарты (егер...) мен қорытындысы (онда...) бір-бірінен ерекшеленіп тұрады.

Теорема тек геометрияда ғана кездеседі деген ұғым дұрыс болмайды. Біз арифметикада сандардың қасиеттерін өрнектейтін сөйлемдерді теорема деп атамағанмен олардың барлығы да теорема екенін оңай байқауға болады. Олардың дәлелдеулері де бар. Бірақ, 5-6 сынып оқушыларының жас ерекшеліктерін ескеріп, “теорема” деген сөзді “қасиеті” деп дәлелдеулерін қатаң берместен, тек мысалдармен түсіндіреді.

Теоремалар алгебрада да кездесіп отырады. Мысалы: Виета теоремасы: “Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке, ал түбірлерінің көбейтіндісі өз таңбасымен алынған бос мүшеге тең болады, яғни ”.

Теореманың айтылуының екі түрі бар: бірі кесіп айту, екіншісі – күрделі түрде, шартты түрде айту.

Әдетте теорема күрделі түрде айтылса, ол “егер”, “онда” түрінде келеді. Теорема бұл кейінгі түрінде айтылғанда оның шарты мен қорытындысын ажырату оңай. Теореманың “егер” деп басталған бөлігі оның шарты болады да, ал “онда” деп басталған бөлігі – қорытындысы болады. Бірақ барлық теорема мұндай түрде айтыла бермейді. Мысалы, “Ромбының диагональдары өзара перпендикуляр болады” деген теореманы қарастырайық. Бұл кесіп айтылған теоремаға жатады. Мұнда жоғарыдағы сияқты бірден шарт және қорытындысы ажыратылып көрсетілмеген. Тіпті теореманың шарты жоқ сияқты. Беріліп отырған фигура ромб дегеннің өзінде іздеп отырған шарттың барлығын түгел тауып аламыз.

Атап айтқанда: оның қарама-қарсы қабырғалары параллель және тең, диагональдары қиылысқан нүктеде қақ бөлінеді т.с.с. Осы шарттарды пайдаланып теоремадағы көрсетілген диагональдардың қасиеттерін дәлелдеп көрсетуге болады.

Кейбір теоремалардың шарты бірнешеу, сол сияқты қорытындысы да бірнешеу болып келеді. Әдетте мұндай теоремаларды жіктеп, бірнеше теорема етіп жазуға болады.

Мысалға төмендегі теореманы келтірейік. “Егер екі параллель түзуді үшінші түзу қиса, онда олардың сәйкес бұрыштары тең, айқыш бұрыштары тең, ал екі ішкі немесес екі сыртқы тұтас бұрыштарының қосындысы екі тік бұрышқа тең болады”.

Бұл теореманы төрт теоремаға жіктеп жазуға болады.

Функцияның өсу мен кему шарттары туралы мына теореманы қарастырайық.

Теорема. [a,b] сегментінде анықталған шекті туындысы бар функциясы осы аралықта кемімейтін (өспейтін) функция болу үшін шартының орындалуы қажетті және жеткілікті.

Бұл теореманы да төрт теоремаға жіктеп жазуға болады.

Математикада “лемма” және “салдар” деп аталатын теореманың түрлері кездеседі. Теорема болғандықтан бұларда дәлелденетін сөйлемдерге жатады. Бұлардың жалпы теоремалардан өзгеше аталуының себебіне тоқтайық.

Бір немесе бірнеше теоремаларды дәлелдеуге тікелей керек болатын пікірдің ақиқаттығын алдын ала дәлелдеу керек болса, ол пікірді лемма деп атайды. Мысалы, геометрияда үшбұрыштардың ұқсастығының белгілерін дәлелдеместен бұрын, “үшбұрыштың бір қабырғасына параллель түзу сол үшбұрыштан оған ұқсас үшбұрыш қияды” деген лемманы дәлелдейтіні мәлім. Әрине бұл лемманы өз алдына дәлелдеместен, үшбұрыштардың ұқсастығының белгілерін дәлелдегенде, бір қабырғасына параллель түзуден шыққан үшбұрыштың берілген үшбұрышқа ұқсас екендігін теореманың дәлелдеуіне қосып жіберсек те болар еді. Бірақ оның қолайсыз болатынын байқау қиын емес. Өйткені біріншіден бұл пікір тек бірінші теоремада ғана кездесіп қоймайды, ол келесі белгілерін дәлелдеуде де кездесіп отырады. Екіншіден үшбұрыштың ұқсастығын өрнектейтін теореманың алдына қойған тікелей мақсатынан басқа мәселені дәлелдеумен айналысып кетуге әкеліп соғады. Сондықтан оны әр теорема сайын дәлелдеп отырмау үшін, өз алдына дәлелдеп алып, негізгі теоремаларды дәлелдегенде оған тек сүйеніп отырады.

Салдар деп белгілі бір теоремадан тікелей қорытылып шығатын пікірді айтады. Салдар да теореманың бір түрі болғандықтан оның да ақиқаттығы дәлелденілуі тиіс. Әдетте кейбір салдардың дәлелденуін келтірмей кете береді. Оның себебі алдында дәлелденген теоремадан тікелей шығатын болғандықтан оның дәлелдеуі өзінен-өзі түсінікті деп ұйғарады. Ал шындығында сол теоремаға сүйенудің өзі оны дәлелдеу болып есептеледі. Мысалы, алгебрада: “Түбірдің көрсеткіші мен түбір астындағы өрнектің көрсеткішін бірдей санға көбейткеннен (немесе бөлгеннен) радикалдың мәні өзгермейді” деген теорема бар. Бұл теоремадан тікелей мынадай салдар шығады: “Егер түбір астындағы өрнек, көрсеткіші түбір көрсеткіші мен ортақ көбейткіші бар дәреже болып келсе, онда екі көрсеткіштің екеуін де сол көбейткіште бөліп жіберуге болады”. Бұл салдардың дәлелдеуі тікелей алдындағы теоремаға сүйенетіні көрініп тұр.

Мектеп математика курсында теоремалардың мынадай түрлері кездеседі:

1. Тура теорема.

2. Кері теорема.

3. Тура теоремаға қарама-қарсы теорема.

4. Кері теоремаға қарама-қарсы теорема.

Берілген теоремаға кері теорема деп, берілген теореманың шарты қорытындысы, ал қорытындысы шарты болатын теореманы айтады.

Мысал. Тура теорема: “Егер төртбұрыш параллелограмм болса, онда оның диагоналдары қиылысқан нүктесінде қақ бөлінеді”.

“Егер төрбұрыштың диагональдары қиылысқан нүктесінде қақ бөлінсе, онда ол төртбұрыш параллеллограмм болады” (кері теорема).

“Егер А болса, онда В болады” теоремасы берілген болсын. Осы теореманы пайдаланып “Егер В болса, онда А болады” түрінде жазылған теорема, берілген теоремаға кері теорема делінеді.

Теореманың шарты мен қорытындысының орнына олардың қарама-қарсыларымен алмастырылғанда пайда болатын “Eгер А болмаса, онда B болмайды” теоремасы берілген теоремаға қарама-қарсы деп аталады.

Сол сияқты керіге қарама-қарсы теореманы тұжырымдауға болады. “Егер B болмаса, онда А болмайды”.

Мысалдар келтірейік:

Тура теорема: Eгер екі түзуді үшінші түзу қиып өткенде олардың сәйкес бұрыштары тең болса, онда ол екі түзу параллель болады.

Қарама-қарсы теорема. Егер екі түзуді үшінші түзу қиып өткенде олардың сәйкес бұрыштары тең болмаса, онда ол екі түзу параллель болмайды.

Кері теорема: Егер екі түзу параллель болса, онда оларды үшінші бір түзу қиып өткенде пайда болған сәйкес бұрыштары тең болады.

Керіге қарама-қарсы теорема. Егер екі түзу параллель болмаса, онда оларды үшінші бір түзу қиып өткенде пайда болған сәйкес бұрыштары тең болмайды.

2-мысал. Егер параллелограмм тік төртбұрыш болса, онда оның диагональдары тең болады (тура теорема).

Егер параллелограммның диагональдары тең болса, онда ол параллелограмм тік төртбұрыш болады (кері теорема).

Егер параллелограмм тіктөртбұрыш болмаса, онда оның диагональдары тең болмайды (тура теоремаға қарама-қарсы теорема).

Егер параллелограммның диагональдары тең болмаса, онда ол параллелограмм тік төртбұрыш болмайды (керіге қарама-қарсы теорема).

3-мысал. (тура теорема);

(кері теорема);

(тураға қарама-қарсы теорема);

(керіге қарама-қарсы теорема).

Сонымен

1. “Егер А болса, онда В болады”, қысқаша: (тура теорема);

2. “Егер В болса, онда А болады”, қысқаша: (кері теорема);

3. “Егер А болмаса, онда В болмайды”, қысқаша (тураға қарама-қарсы теорема);

4. “Егер В болмаса, онда А болмайды”, қысқаша: (керіге қарама-қарсы теорема).

Теоремалар арасындағы байланыс математикалық логиканың контрпозиция заңдары арқылы былай өрнектеледі:

Мұндай жағдайларды, яғни теоремалардың түрлерінің арасындағы байланысты схема түрінде былай кескіндеуге болады:

 

Тура теорема Кері теорема

 

Қарама-қарсы Керіге қарама-қарсы

теорема теорема

 

Енді тура және кері теоремалардың берілу тәсілдерін және олардың дәлелдеу жолдарын көрсетейік.

1-мысал. Тура теорема: “Егер үшбұрыштың бір қабырғасы үлкен болса, онда оның үлкен қабырғасына қарсы үлкен бұрышы жатады” (7-сурет).

Берілгені: .

Дәлелдеу керек: .

Дәлелдеуі: АВС үшбұрышының ВС қабырғасынан АВ қабырғасына тeң ВД=АВ кесіндісін өлшеп, Д нүктесін А нүктесімен қосамыз (7-сурет), нәтижеде тең бүйірлі АВД үшбұрышы пайда болады. АВД үшбұрышы тең бүйірлі болатындықтан . Сонда ВДА бұрышы АДС бұрышының сыртқы бұрышы болатындықтан болады, бұдан екені келіп шығады. Мұнда ВАД бұрышы А бұрышының бір бөлігі ғана, сондықтан .

Кері теорема: “Егер үшбұрыштың бір бұрышы үлкен болса, онда осы үлкен бұрышына қарсы оның үлкен қабырғасы жатады”.

Берілгені: .

Дәлелдеу керек: BC>AB.

Дәлелдеуі. 1) АВС үшбұрышының АВ қабырғасы ешқашан оның ВС қабырғасынан үлкен бола алмайды, өйткені тура теорема бойынша үлкен қабырғаның қарсысында үлкен бұрыштың жататындығын дәлелдедік, дербес жағдайда екені келіп шығады, ал бұл теореманың шартына қайшы.

2) АВ қабырғасы ВС қабырғасына тең бола алмайды, өйткені тең бүйірлі емес, егер тең бүйірлі болса, онда болып, тағы да теореманың шартына қайшылық келіп шығар еді.

3) Егер АВ қабырғасы ВС қабырғасынан үлкен болмаса не оған тең болмаса, онда BC>AB болатындығы келіп шығады.

 

2-мысал. Тура теорема. Егер үшбұрыштың қабырғалары тең болса, онда бұл қабырғалардың қарсысында тең бұрыштар жатады (8-сурет).

Берілгені:

Дәлелдеу керек:

Дәлелдеуі: АВС үшбұрышы табаны АВ болатын тең бүйірлі үшбұрыш болсын. екенін дәлелдейміз. Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісіне сәйкес САВ үшбұрышы СВА үшбұрышына тең болады, өйткені СА=CB, CB=CA және . Бұл үшбұрыштардың теңдігінен екені шығады.

Кері теорема: Егер үшбұрыштың бұрыштары өзара тең болса, онда бұл бұрыштар қарсысында жатқан қабырғалары өзара тең болады (9-сурет).

Берілгені: .

Дәлелдеу керек: ВС=АВ.

Дәлелдеуі: 1) ВС қабырғасы АВ қабырғасынан үлкен бола алмайды, қарсы жағдайда дәлелденілген теорема бойынша болар еді, ал бұл теореманың шартына қайшы.

2) ВС қабырғасы АВ қабырғасынан кіші де бола алмайды, өйткені кері жағдайда алдыңғы дәлелденілген теорема бойынша болар еді, бұл да теореманың шартына қайшы. Демек, ВС=AB.

 

 

 

3-мысал. Тура теорема. Егер үшбұрыш тік бұрышты болып, оның бір бұрышы -қа тең болса, онда -қа қарсы жатқан катет гипотенузаның жартысына тең болады (10-сурет).

Берілгені: АВС үшбұрышы тік бұрышты, .

Дәлелдеу керек:

Дәлелдеуі: АС катетін сызып, СД=АС кесіндісін өлшеп салып, Д мен В нүктелерін қосайық. Сонда теңдігі келіп шығады, өйткені және болғандықтан АВД үшбұрышының А және Д бұрыштары -қа тең болады, сондықтан . тең қабырғалы. Суреттен АД=АВ, сондықтан болады.

Кері теорема: Егер тік бұрышты үшбұрыштың катеті гипотенузаның жартысына тең болса, онда осы катеттің қарсысында жатқан бұрыш -қа тең болады (11-сурет).

 

Берілгені: тік бұрышты, .

Дәлелдеу керек:

Дәлелделуі: АС катетінің созындысына СД=АС кесіндісін өлшеп салайық, сонда АД=2АС болады, бұдан АД=АВ екені келіп шығады. В мен Д нүктелерін қоссақ, болады, өйткені бұлардың екі катеті және арасындағы бұрыштары өзара тең.

екенінен АД=АВ және және АД=AB, ДВ=АВ екені шығады, бұдан тең қабырғалы екені келіп шығады, сонда , , бұл бұрыштардың қосындысы бұрышына тең болады, сондықтан

Сұрақтар:

1.Математикалық сөйлемдер.

2. Аксиома.

3. Постулат.

4.Теорема және оларды түрлері