I. Физические основы классической механики

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики и математики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Для заочного отделения к выполнению

Контрольных работ по физике

(часть I «Механика, молекулярная физика»)

Казань – 2008

- 2 -

УДК - 51 (07)

ББК - 22.3р

 

Составители: к. ф.-м. н., доцент Гарифуллина Р.Л., к.ф.- м.н., доцент Лотфуллин Р.Ш. и к. б. н., доцент Никифорова В.И.

 

Редактор: к. ф. - м.н., доцент Лотфуллин Р.Ш.

 

Рецензенты: к.ф.- м.н., доцент кафедры общей физики Казанского государственного университета Ерёмина Р.М., д.т.н., профессор кафедры теории машин и механизмов КГАУ Яруллин М. Г.

 

Обсуждены и одобрены на заседании кафедры физики и математики 26 июня 2008 г., протокол № 9.

 

Обсуждены, одобрены и рекомендованы в печать методической комиссией ИМ и ТС КГАУ 18 сентября 2008 г., протокол № 1.

 

Методические указания составлены для студентов заочного отделения института механизации и технического сервиса при Казанском государственном аграрном университет.

 

 

УДК - 51 (07)

ББК - 22.3р

 

Ó Казанский государственный аграрный университет, 2008

 

– 3 –

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

1.Часть I «Методических указаний к выполнению контрольных работ» предназначена для решения 2-х первых контрольных работ по общей физике студентами-заочниками Института механизации и технического сервиса (ИМ и ТС) с 6-летним сроком обучения и первой контрольной работы студентами ИМ и ТС с сокращённым сроком обучения.

2. Номера задач, которые студент с 6-летним сроком обучения должен включить в свои контрольные работы, определяются по таблицам вариантов на страницах 26 и 58. Номер варианта совпадает с последней цифрой шифра студента.

3. Для выполнения первой контрольной работы студент ИМ и ТС с сокращённым сроком обучения должен решить 4 задачи (1-ую, 3-ю, 5-ю и 7-ю) своего варианта (номер варианта совпадает с последней цифрой шифра студента) из таблицы на странице 22 и соответственно 4 задачи своего варианта из таблицы на странице 50 (всего 8 задач).

4.Контрольные работы нужно выполнять в школьной тетради, на обложке которой привести сведения, например, по следующему образцу:

Студент ИМ и ТС 2-го курса

Киселев А. В.,Шифр 07-25

Адрес: г. Альметьевск,

ул. Сергеева, 2, кв. 5. Контрольная работа №1 по физике.

5. Условия задач в контрольной работе надо переписать полностью без сокращений.Для замечаний преподавателя на страницах тетради оставлять поля.

6. В конце контрольной работы указать, каким учебником или учебным пособием студент пользовался при изучении физики (название учебника, автор, год издания). Это делается для того, чтобы рецензент в случае необходимости мог указать, что следует студенту изучить для завершения контрольной работы.

 

– 4 –

7. Высылать на рецензию следует одновременно не более одной работы. Во избежание одних и тех же ошибок очередную работу следует высылать только после получении рецензии на предыдущую. Если контрольная работа при рецензировании не зачтена, студент обязан представить ее на повторную рецензию, включив в нее те задачи, решения которых оказались неверными. Повторную работу необходимо представить вместе с не зачтенной.

8. Зачтенные контрольные работы предъявляются экзаменатору. Студент должен быть готов дать пояснения по существу решения задач, входящих в контрольные работы.

9.Решения задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями; в тех случаях, когда это возможно, дать чертеж, выполненный с помощью чертежных принадлежностей.

10.Решать задачу надо в общем виде: т.е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи. При таком способе решения не производятся вычисления промежуточных величин.

11.После получения расчетной формулы для проверки правильности ее следует подставить в правую часть формулы вместо символов величин обозначения единиц этих величин, произвести с ними необходимые действия и убедиться в том, что полученная при этом единица соответствует искомой величине. Если такого соответствия нет, то это означает, что задача решена неверно (см. пример 4 с. 14-15).

12.Числовые значения величин при подстановке их в расчетную формулу следует выражать только в единицах СИ. В виде исключения допускается выражать в любых, но одинаковых единицах числовые значения однородных величин, стоящих в числителе и знаменателе дроби и имеющих одинаковые степени (см. пример 6 с. 16-17).

13. При подстановке в расчетную формулу, а также при записи ответа числовые значения величин следует записывать как произведение десятичной дроби с однозначащей цифрой перед запятой на соответствующую степень десяти.

 

 

– 5 –

Например, вместо 3520 надо записать 3,52∙10³, вместо 0.00129 записать 1,29∙10^-3 и т.п.

14. Вычисления по расчетной формуле надо проводить с соблюдением правил приближенных вычислений. Как правило, окончательный ответ следует записывать с тремя значащими цифрами. Это относится и к случаю, когда результат получен с применением калькулятора

I. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Основные формулы

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси x,.

х = f(t), где f(t) некоторая функция времени.

Проекция средней скорости на ось х

Средняя путевая скорость

где Ds – путь, пройденный точкой за интервал времени Dt. Путь Ds в отличие от разности координат Dx = x₁ – x₂ не может убывать и принимать отрицательные значения, т. е. Ds³O.

Проекция мгновенной скорости на ось х

Проекция среднего ускорения на ось х .

Проекция мгновенного ускорения на ось х

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности

j=f(t), r=R=const.

Модуль угловой скорости

 

– 6 –

Модуль углового ускорения

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

, a_t = eR, a_n = w² R,

где – модуль линейной скорости; a_t и а_n – модули тангенциального и нормального ускорений; w – модуль угловой скорости; e – модуль углового ускорения; R – радиус окружности.

Модуль полного ускорения

, или а = R .

Угол между полным а и нормальным а_n ускорениями

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

х = A cos(wt + j),

где х – смещение, А – амплитуда колебаний, w – угловая или циклическая частота, j – начальная фаза. Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

; а = – Aw² соs(wt + j).

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

;

б) начальная фаза результирующего колебания

Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях,

х = А₁ соswt; у= A₂ соs(wt+j):

a) у= , если разность фаз j=0;

 

– 7 –

б) у= , если разность фаз j=±p;

в) =1, если разность фаз j=±p/2

Уравнение плоской бегущей волны

y = A cosw(t-x/ )

где у — смещение любой из точек среды с координатой х в момент t, — скорость распространения колебаний в среде.

Связь разности фаз Dj колебаний с расстоянием Dх между точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний:

где λ – длина волны.

Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью ,

p =m

Второй закон Ньютона

dp = F dt,

где F – результирующая сила, действующая на материальную точку.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

F = – kx,

где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость); х – абсолютная деформация;

б) сила тяжести

P = mg;

в) сила гравитационного взаимодействия

,

где G – гравитационная постоянная, m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел, r –расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через

 

– 8 –

напряженность гравитационного поля:

F = m g

г) сила трения скольжения

F=fN,

где f – коэффициент трения, N – сила нормального давления.

Закон сохранения импульса

,

или для двух тел (i=2)

m_{1 1}+m_{2 2}= m₁ u ₁ + m₂ u₂ ,

где и – скорости тел в момент времени, принятый за начальный;

u₁ и u₂ – скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,

, или

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

П= ½ kx²

где k – жесткость пружины, х –абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия

,

где G – гравитационная постоянная, m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел, r –расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки),

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

П = mgh

где g — ускорение свободного падения; h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедли­ва при условии h<<R, где R –радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии в поле консервативных сил

E=Т+П=const.

 

– 9 –

Работа А, совершаемая результирующей силой над материальной точкой:

А= F∙∆r∙cosα

и равна изменению кинетической энергии материальной точки:

A=DT=T₂ - T₁

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси z

М_z =J_ze,

где М_z – результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело, e – угловое ускорение, J_z – момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой т относительно оси z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендику­лярной стержню:

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра):

J_z=mR²,

где R – радиус обруча (цилиндра);

в) диска (сплошного цилиндра) радиусом R относительно оси, перпендику­лярной плоскости диска:

J_z= ½ mR².

Проекция на ось z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси z:

L_z=J_zw,

где w – угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z:

J_zw=const,

где J_z – момент инерции системы тел относительно оси z, w – угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.

 

– 10 –

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z:

Т = ½ J_zw², или .

Примеры решения задач

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x=A+Bt+Ct³, где A =2 м, В =1 м/с, С= –0.5 м/с³. Найти координату х, скорость _x и ускорение а_x точки в момент времени t =2с.

Решение. Координату х найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t:

х = (2+1×2 – 0.5 2³) м = 0.

Мгновенная скорость относительно оси х есть первая производная от координаты по времени:

.

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

.

В момент времени t = 2с

_x = (1-3×0,5×2²) м/с= – 5 м/с; а_х = б(— 0,5)×2 м/с²= – 6 м/с².

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону j=А+Вt+Ct², где А=10 рад, В =20 рад/с, С= – 2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находя­щейся на расстоянии r =0,1 м от оси вращения, для момента времени t=4 с.

Решение. Полное ускорение а точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения а_t, направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения a_n, направленного к центру кривизны траектории (рис. 1):

а = a_t +a_n.

Так как векторы а_т и а_n взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения

 

– 11 –

. (1)

Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами а_t = er, а_n = w²r,

где w – модуль угловой скорости тела; e – модуль его углового ускорения. Подставляя выражения a_t и а_п в формулу (1), находим

. (2)

Угловую скорость w найдем, взяв первую производную угла поворота по времени: .

В момент времени t=4c модуль угловой скорости

w=[20 + 2(-2)4] рад/с = 4 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

e=dw/dt = 2С = — 4 рад/с².

Подставляя значения w, e и r в формулу (2), получаем

а = 0,1 м/с²= 1,65 м/с².

Пример 3. Ящик массой т₁ = 20 кг соскальзывает по идеально гладкому лотку длиной l=2 м на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка с песком массой m₂=80 кг может свободно (без трения) перемещаться по рельсам в горизонтальном направлении. Определить скорость и тележки с ящиком, если лоток наклонен под углом a=30° к рельсам.

Решение. Тележку и ящик можно рассматривать как систему двух неупруго взаимодействующих тел.

Но эта система не замкнута, так как на нее действуют внешние силы: силы тяжести m₁g и m₂g и сила реакции N₂ (рис. 2). Поэтому применить закон сохранения импульса к системе ящик – тележка нельзя. Но так как проекции указанных сил на направление оси х, совпадающей с направлением рельсов, равны

нулю, то проекцию импульса системы на это направление можно считать

– 12 –

постоянной, т. е.

Р_1x+ р_2x = p`<sub>1x</sub> + p`_2x, (1),

где р_1x и р_2x – проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку; p’_1x и p'_2x – те же величины после падения ящика. Рассматривая тела системы как материальные точки, выразим в равенстве (1) импульсы тел через их массы и скорости, учитывая, что р_2x= 0 (тележка до взаимодействия с ящиком покоилась), а также что после взаимодействия оба тела системы движутся с одной и той же скоростью и:

m_{1 1x} = (m₁+ т₂) и, или m_{1 1} cosa= (m₁ +m₂) и,

где ₁– модуль скорости ящика перед падением на тележку; _1x = ₁cosa – проекция этой скорости на ось х.

Отсюда (2)

Модуль скорости определим из закона сохранения энергии:

m₁gh = ½ m₁ , где h =lsina, откуда

= .

Подставив выражение в формулу (2), получим

После вычислений найдем

м/c.

Пример 4. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m=20 г поднялась на высоту h=5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на ∆ х=10 см. Массой пружины и силами трения пренебречь.

Решение. Рассмотрим систему пружина – пуля. Так как на тела системы действуют только консервативные силы, то для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно ему полная механическая энергия E системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом)

– 13 –

равна полной энергии Е в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т.е.

Е₁=Е₂, или Т₁+П₁=Т₂+П₂, (1)

где Т₁, Т₂, П₁ и П₂ – кинетические и потенциальные энергии системы в начальном и конечном состояниях.

Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид

П₁=П₂. (2)

Примем потенциальную энергию пули в поле сил тяготения Земли, когда пуля покоится на сжатой пружине, равной нулю, а высота подъема пули будет отсчитываться от торца сжатой пружины. Тогда энергия системы в начальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, т.е. П₁= ½ k(∆x) ², а в конечном состоянии – потенциальной энергии пули на высоте h, т.е. П₂=mgh.

Подставив выражения П₁ и П₂ в формулу (2), найдем ½ k(∆x)² =mgh, откуда

k=2mgh/x². (3)

Проверим, дает ли полученная формула единицу жесткости k. Для этого в правую часть формулы (3) вместо величин подставим их единицы (единицу какой-либо величины принято обозначать символом этой величины, заключенным в квадратные скобки):

(1кг×1м×с^-2×1м)/1м²=(1кг×м×с^-2)/1м=1Н/м.

Убедившись, что полученная единица является единицей жесткости (1Н/м), подставим в формулу (3) значения величин и произведем вычисления:

Пример 5. Шар массой m₁, движущийся горизонтально с некоторой скоростью , столкнулся с неподвижным шаром массой m₂. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю e своей кинетической энергии первый шар передал второму?

– 14 –

Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

(1)

где Т₁ – кинетическая энергия первого шара до удара; u₂ и Т₂ –скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (1), для определения e надо найти u₂. Согласно условию задачи, импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, найдем:

M₁ =m₁u₁+m₂u₂; (2)

(3)

Решив совместно уравнения (2) и (3) найдем :

Подставив это выражение u₂ в формулу (1) и сократив на и m₁, получим

Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.

Пример 6. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m=80г (рис. 4), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m₁ =100г и m₂ =200г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь.

Решение. Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим ось х вертикально

– 15 –

вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза

T₁ - m₁g = m₁a (1)

для второго груза

m₂g - T ₂ = m₂a (2)

Под действием моментов сил T₁ и T₂ относительно оси z, перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение e. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения,

, (3)

где ; – момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z.

Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити , . Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (3) вместо и выражения Т₁ и Т₂, получив их предварительно из уравнений (1) и (2):

(m₂g-m₂a)r-(m₁g+m₁a)r=mr²a/(2r).

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем

(4)

Формула (4) позволяет массы m₁, m₂ и m выразить в граммах, как они даны в условиях задачи, а ускорение – в единицах СИ. После подстановки числовых значений в формулу (4) получим

Пример 7. Маховик в виде сплошного диска радиусом R=0,2м и массой m=50 кг раскручен до частоты вращения n₁=480 мин^-1 и предоставлен сам

себе. Под действием сил трения маховик остановился через t=50c. Найти момент М сил трения.

Решение. Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде

(1)

– 16 –

где М_г –момент внешних сил (в данном случае момент сил трения), действующих на маховик относительно оси z, J_z –момент инерции маховика относительно оси z; Dw – изменение угловой скорости маховика за время .

Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле

Изменение угловой скорости Dw=w₂-w₁ выразим через конечную n₂ и начальную п₁ частоты вращения, пользуясь соотношением w = 2pn:

Dw=w₂-w₁ =2pn₂-2pn₁=2p(n₂-n₁).

Подставив в формулу (1) выражения J_z и Dw, получим

M_z=pmR²(n₂-n₁)/Dt. (2)

Проверим, дает ли расчетная формула единицу момента силы (Н×м). Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:

Подставим в (2) числовые значения величин и произведем вычисления, учитывая, что n₁ =480мин^-1=480/60с^-1 = 8с^-1:

Знак минус показывает, что момент сил трения оказывает на маховик тормозящее действие.

Пример 8. Платформа в виде сплошного диска радиусом R=1,5 м и массой m₁=180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n=10 мин^-1. В центре платформы стоит человек массой m₂=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь, человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция L_z момента импульса системы платформа – человек остается постоянной:

 

 

– 17 –

L_z=J_zw = const, (1)

где J_z – момент инерции платформы с человеком относительно оси z; w – угловая скорость платформы. Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии J_z=J₁+J₂, а в конечном состоянии .

С учетом этого равенство (1) примет вид

(2)

где значения моментов инерции J₁ и J₂ платформы и человека соответственно относятся к начальному состоянию системы; и – к конечному.

Момент инерции платформы относительно оси z пpи переходе человека не изменяется

Moмент инерции человека относительно той же оси будет изменяться.

Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J₂ в начальном состоянии (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека J₂’=m₂R². Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (w = 2pn) и конечной угловой скорости ( = /R, где – скорость человека относительно пола) ( m₁R²+0) 2pn = ( m₁R² + m₂R²) /R.

После сокращения на R² и простых преобразований находим скорость:

= 2pnRm₁ /(m₁+2m₂).

Произведем вычисления:

Пример 9. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в

вертикальном направлении. При какой минимальной скорости , сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу

 

– 18 –

Земли (R = 6.37×10⁶ м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.

Решение: Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являющаяся потенциальной силой. При неработающем двигателе под действием потенциальной силы механическая энергия ракеты изменяться не будет. Следовательно.

Т₁ + П₁ = Т₂ + П₂, (1)

где Т₁, П₁ и Т₂, П ₂ – кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях. Согласно условию задачи П₁=0, Т₂=0, T₁= m ² / 2, П₂=mgR. Следовательно, и .

Пример 10. Точка совершает гармонические колебания с частотой v=10Гц. В момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение: x_max= 1 мм. Написать уравнение колебаний точки и начертить её график.

Решение. Уравнение колебаний точки можно записать в виде

x = Asin(wt + j₁), (1)

где А – амплитуда колебаний; w – циклическая частота, t – время; j₁ – начальная фаза.

По определению, амплитуда колебаний A = x_max. (2)

Циклическая частота w связана с частотой n соотношением

w = 2pn, (3)

Для момента времени t=0 формула (1) примет вид x_max= Asinj₁, откуда начальная фаза

j₁ = arcsin = arcsin 1, или j₁=(2k+l)×p/2 (k= 0, 1, 2,...).

Изменение фазы на 2p не изменяет состояния колеблющейся точки, поэтому можно принять j₁ = p/2. (4)

С учетом равенств (2)-(4) уравнение колебаний примет вид

– 19 –

x=Asin(2pnt+p/2), или x = Acos2pnt,

где А=1мм=10^-3м,

График соответствующего гармонического колебания приведен на рис.5.

 

 

Рис.5

 

 

Пример 11. Частица массой т= 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т= 2с. Полная энергия колеблющейся частицы

 

E=0,1мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы F_max, действующей на частицу.

Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы:

Е = ½ mw²A²,

где w = 2p/Т. Отсюда амплитуда

(1)

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F= – kx, где k – коэффициент квазиупругой силы; х – смещение колеблющейся точки. Максимальной сила будет при максимальном смещении x_max равном амплитуде:

F_max=kA. (2)

Коэффициент k выразим через период колебаний:

k = mw²=m4p² /T². (3)

Подставив выражения (1) и (3) в (2) и произведя упрощения, получим

.

– 20 –

Произведем вычисления:

Пример 12. Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями

где A₁ = 3см, A₂ =2см, t₁, = 1/6с, t₂=1/3с, T = 2с. Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и написать уравнение результирующего колебания.

Решение. Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления надо фиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени t = 0. Преобразовав оба уравнения к канонической форме x=Acos(wt+j), получим

Отсюда видно, что оба складываемых гармонических колебания имеют одинаковую циклическую частоту

w = 2p/T.

Начальные фазы первого и второго колебаний соответственно равны

Произведем вычисления:

– 21 –

Изобразим векторы a₁ и А₂. Для этого отложим от резки длиной А₁ = 3 см и А₂ = 2 см под углами j₁= 30° в j₂=60° к оси Ох. Результирующее колебание будет происходить с той же частотой w и амплитудой А, равной

геометрической сумме амплитуд a₁ и A₂: A = A₁ +A₂ Согласно теореме косинусов,

Начальную фазу результирующего колебания можно также определить непосредственно из векторной диаграммы (рис 6):

Произведем вычисления:

или j=0,735 рад.

 

Рис.6.

Так как результирующее колебание является гармоническим, имеет ту же частоту, что и слагаемые колебания, то его можно записать в виде

x=Acos(wt+j) где A = 4.84см, w = 3,14 с^-1, j-=0,735рад.

Пример 13. Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью = 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях x₁=12м и x₂ = 15м от источника волн, колеблются с разностью фаз Dj=0,75p. Найти длину волны l написать уравнение волны и найти смешение указанных точек в момент t=1,2 с, если амплитуда колебаний A = 0,1 м.

Решение: Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны l, колеблются с разностью фаз, равной 2p; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии Dx, колеблются с разностью фаз, равной

Dj = Dx×2p/l = (x₂-x₁) ×2p/l..

Решая это равенство относительно l, получаем

l=2p(x₂-x₁)/Dj. (1)

 

– 22 –

Подставив числовые значения величин, входящих в выражение (1), и выполнив арифметические действия, получим

Для того чтобы написать уравнение плоской волны надо еще найти циклическую частоту w. Так как w=2p/T (T=l/ – период колебаний), то w=2pv/l.

Произведем вычисления:

Зная амплитуду А колебаний, циклическую частоту w и скорость v распространения волны, можно написать уравнение плоской волны для данного случая:

y=Acosw(t-x/ ), (2)

где А=0,1 м, w=5pс^-1, =20 м/c.

Чтобы найти смещение y указанных точек, достаточно в уравнение (2) подставить значения t и x.

y₁=0,1cos5p(1,2-12/20)м=0,1cos3p м=-0,1 м;

y₂=0,1cos5p(1,2-15/20)м=0,1cos2,25p м=0,1cos0,25p м=0,071 м=7,1 см.

Контрольная работа 1

Таблица вариантов

Вариант	Номера контрольных работ

 

– 23 –

101. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью м/с. Когда оно достигло верхней точки полета из того же начального пункта, с той же начальной скоростью , вертикально вверх брошено второе тело. На каком расстоянии h от начального пункта встретятся тела? Сопротивление воздуха не учитывать.

102. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением а=5м/с². Определить, на сколько путь, пройденный точкой в п -ю секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую секунду. Принять = 0.

103. Две автомашины движутся по дорогам, угол между которыми a=60° Скорость автомашин =54 км/ч и =72км/ч. С какой скоростью удаляются машины одна от другой?

104. Материальная точка движется прямолинейно с начальной скоростью =10м/с и постоянным ускорением а= – 5м/с². Определить, во сколько раз путь Ds, пройденный материальной точкой, будет превышать модуль ее перемещения спустя t=3с после начала отсчета времени.

105. Велосипедист ехал из одного пункта в другой. Первую треть пути он проехал со скоростью =18 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью =22 км/ч, после чего до конечного пункта он шел пешком со скоростью =5 км/ч. Определить среднюю скорость < > велосипедиста.

106. Тело брошено под углом a=30° к горизонту со скоростью =30м/с. Каковы будут нормальное а_n, тангенциальное а_t ускорения тела через время t= 1c после начала движения?

107. Материальная точка движется по окружности с постоянной угловой скоростью w=p/6 рад/с. Во сколько раз путь Ds, пройденный точкой за время t=4с, будет больше модуля ее перемещения ? Принять, что в момент начала отсчета времени радиус-вектор r, задающей положение точки на окружности, относительно исходного положения был повернут на угол j₀=p/3рад.

108. Материальная точка движется в плоскости xy согласно уравнениям

x =A₁+B₁t+C₁t² и у = A₂+B₂t+C₂t², где В₁=7м/с, C₁= – 2м/с², В₂= – 1м/с,

 

 

– 24 –

С₂=0,2 м/с². Найти модули скорости и ускорения точки в момент времени t = 5с.

109. По краю равномерно вращающейся с угловой скоростью w=1 рад/с платформы идет человек и обходит платформу за время t= 9,9с. Каково наибольшее ускорение а движения человека относительно Земли! Принять радиус платформы R = 2м.

110. Точка движется по окружности радиусом R = 30 см с постоянным угловым ускорением e. Определить тангенциальное ускорение а_t точки, если известно, что за время t=4c она совершила три оборота и в конце третьего оборота ее нормальное ускорение а_n=2,7 м/с².

111. При горизонтальном полете со скоростью =250 м/с снаряд массой т=8 кг разорвался на две части. Большая часть массой m₁ = 6 кг получила скорость u₁= 400 м/с в направлении полета снаряда. Определить модуль и направление скорости и₂ меньшей части снаряда.

112. С тележки, свободно движущейся по горизонтальному пути со скоростью =3 м/с, в сторону, противоположную движению тележки, прыгает человек, после чего скорость тележки изменилась и стала равной u₁=4 м/с. Определить горизонтальную составляющую скорости u₂ человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки m₁ = 210 кг, масса человека m₂=70 кг.

113. Орудие, жестко закрепленное на железнодорожной платформе, производит выстрел вдоль полотна железной дороги под углом a=30° к линии горизонта. Определить скорость u₂ отката платформы, если снаряд вылетает со скоростью u₁ =480 м/с. Масса платформы с орудием и снарядами m₂=18 масса снаряда т₁ =60 кг.

114. Человек массой m₁=70 кг, бегущий со скоростью =9км/ч, догоняет тележку массой m₂=190кг, движущуюся со скоростью =3,6 км/ч, и вскакивает на нее. С какой скоростью станет двигаться тележка с человеком? С какой скоростью будет двигаться тележка с человеком, если человек до прыжка бежал навстречу тележке?

115. Конькобежец, стоя на коньках на льду, бросает камень массой т₁=2,5 кг под

 

– 25 –

углом a= 30° к горизонту со скоростью = 10м/с. Какова будет начальная скорость движения конькобежца, если масса его m₂=60 кг? Перемещением конькобежца во время броска пренебречь.

116. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса его т₁ = 60 кг, масса доски m₂ = 20 кг. С какой скоростью (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль нее со скоростью (относительно доски) =1м/с? Массой колес и трением пренебречь.

117. Снаряд, летевший со скоростью = 400 м/с, в верхней точке траектории разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40% от массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоростью u₁ = 150 м/с. Определить скорость и₂ большего осколка.

118. Две одинаковые лодки массами т = 200 кг каждая (вместе с человеком и грузами, находящимися в лодках) движутся параллельными курсами навстречу друг другу с одинаковыми скоростями =1м/с. Когда лодки поравнялись, то с первой лодки на вторую и со второй на первую одновременно перебрасывают грузы массами т₁ = 200 кг. Определить скорости u₁ и u₂ лодок после перебрасывания грузов.

119. На сколько переместится относительно берега лодка длиной l=3,5 м и массой m₁=200кг, если стоящий на корме человек массой т₂=80кг переместится на нос лодки? Считать лодку расположенной перпендикулярно берегу.

120. Лодка длиной l=3м и массой т=120кг стоит на спокойной воде. На носу и корме находятся два рыбака массами т₁=60кг и т₂= 90кг. На сколько сдвинется лодка относительно воды, если рыбаки поменяются местами?

121. В деревянный шар массой m₁ =8кг, подвешенный на нити длиной l=1,8 м, попадает горизонтально летящая пуля массой m₂ = 4г. С какой

скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклонилась от вертикали на угол a = 3°? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, центральным.

 

– 26 –

122. По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой m₁ =300кг, ударяет молот массой т₂ =8кг. Определить КПД удара, если удар неупругий. Полезной считать энергию, затраченную на дефор­мацию куска железа.

123. Шар массой m₁ =1кг движется со скоростью = 4м/с и сталкивается с шаром массой m₂ = 2кг, движущимся навстречу ему со скоростью ₂=3м/с. Каковы скорости u₁ и u₂ шаров после удара? Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

124. Шар массой т₁ =3 кг движется со скоростью =2м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m₂=5 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным.

125. Определить КПД неупругого удара бойка массой т₁ =0,5 т, падающего на сваю массой m₂ = 120 кг. Полезной считать энергию, затраченную на вбивание сваи.

126. Шар массой т₁ =4кг движется со скоростью =5м/с и сталкивается с шаром массой т₂ =6кг, который движется ему навстречу со скоростью =2м/с. Определить скорости и₁ и u₂ шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

127. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой m₁= 10 г со скоростью =300м/с. Затвор пистолета массой m₂ = 200 г прижимается к стволу пружиной, жесткость которой k = 25 кН/м. На какое расстояние отойдет затвор после выстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен.

128. Шар массой т₁ = 5 кг движется со скоростью = 1м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m₂ = 2 кг. Определить скорости и₁ и u₂ шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

129. Из орудия, не имеющего противооткатного устройства, производилась стрельба в горизонтальном направлении.