Закон сохранения импульса
В подразделе (5.8) было введено понятие импульса произвольного тела и получено уравнение (5.19), описывающее изменение импульса под действием внешних сил. Так как изменение импульса обусловлено только внешними силами, то уравнение (5.19) удобно применять для описания взаимодействий нескольких тел. При этом взаимодействующие тела рассматривают как одно сложное тело (систему тел). Можно показать, что импульс сложного тела (системы тел) равен векторной сумме импульсов его частей:
p = p1+p2+… (9.13)
Для системы тел уравнение вида (5.13) записывается без всяких изменений:
dp = F·dt. (9.14)
Изменение импульса системы тел равно импульсу действующих на нее внешних сил.
Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие действие этого закона.
На рис. 9.10, а спортсменка стоит, опираясь правой ногой на скейтборд, а левой отталкивается от земли. Достигнутая при толчке скорость зависит от силы толчка и от времени, в течение которого эта сила действует.
На рис. 9.10, б изображен метатель копья. Скорость, которую приобретет копье данной массы, зависит от силы, приложенной рукой спортсмена и от времени, в течение которого она приложена.
Рис. 9.10. а) Спортсменка на скейтборде; б) метатель копья
Рис. 9.11.
Толкание ядра
Поэтому перед броском копья спортсмен заносит руку далеко назад. Более детально подобный процесс разобран ни примере спортсмена, толкающего ядро, рис. 9.11.
Из равенства (9.14) вытекает одно важное для практического применения следствие, называемое законом сохранения импульса. Рассмотрим систему тел, на которую не действуют внешние силы. Такую систему называют замкнутой.
Система тел, которые взаимодействуют только между собой и не взаимодействуют с другими телами, называется замкнутой.
Для такой системы внешних сил нет (F = 0 и dp = 0). Поэтому имеет место закон сохранения импульса.
Векторная сумма импульсов тел, входящих в замкнутую систему, остается неизменной (сохраняется).
Иными словами, для любых двух моментов времени импульсы замкнутой системы одинаковы:
p1=p2 (9.15)
Закон сохранения импульса — это фундаментальный закон природы, не знающий никаких исключений. Он абсолютно точно соблюдается и в макромире и в микромире.
Конечно, замкнутая система — это абстракция, так как практически во всех случаях внешние силы есть. Однако для некоторых типов взаимодействий с очень малой длительностью наличием внешних сил можно пренебречь, так как при малом интервале действия импульс силы можно считать равным нулю:
F·dt 0→dp 0.
К процессам малой длительности относятся
• соударения движущихся тел
• распад тела на части (взрыв, выстрел, бросок).
Примеры
В боевиках часто присутствуют сцены, в которых после попадания пули человека отбрасывает по ходу выстрела. На экране это выглядит довольно эффектно. Проверим, возможно ли это? Пусть масса человек М =70 кг и он в момент попадания пули находится в состоянии покоя. Массу пули примем равной т = 9 г, а ее скорость v = 750 м/с. Если считать, что после попадания пули человек приходит в движение (в действительности этому может помешать сила трения между подошвами и полом), то для системы человек— пуля можно записать закон сохранения импульса: р 1 = р2. Перед попаданием пули человек не движется и в соответствии с (9.9) импульс системы р1 = m∙v +0. Будем считать, что пуля застревает в теле. Тогда конечный импульс системы р 2 = (М + т)∙и, где и — скорость, которую получил человек при попадании пули. Подставив эти выражения в закон сохранения импульса, получим:
Полученный результат показывает, что ни о каком отлетании человека на несколько метров не может быть и речи (кстати, тело, брошенное вверх со скоростью 0,1 м/с, поднимется на высоту всего 0,5 мм!).
2) Столкновение хоккеистов.
Два хоккеиста массой М1 и М2 двигаются навстречу друг другу со скоростями, соответственно, v1, v2 (рис. 9.12). Определить общую скорость их движения, считая столкновение абсолютно неупругим (при абсолютно неупругом ударе тела «сцепляются» и двигаются далее как одно целое).
Рис. 9.12. Абсолютно неупругое столкновение хоккеистов
Применим закон сохранения импульса к системе, состоящей из двух хоккеистов. Импульс системы перед столкновением p1=M1∙v1 — M2v2. В этой формуле стоит знак «—» потому, что скорости v1 и v2 направлены навстречу друг другу. Направление скорости v1 считается положительным, а направление скорости v2 — отрицательным. После неупругого столкновения тела движутся с общей скоростью v и импульс системы р2 = (Ml + M2)∙v. Запишем закон сохранения импульса и найдем скорость v:
Направление скорости v определяется ее знаком.
Обратим внимание на одно важное обстоятельство: закон сохранения импульса можно применять только к свободным телам. Если движение одного из тел ограничено внешними связями, то общий импульс сохраняться не будет.
Реактивное движение
На использовании закона сохранения импульса основано реактивное движение. Так называют движение тела, возникающее при отделении от тела с какой-то скоростью некоторой его части. Рассмотрим реактивное движение ракеты. Пусть ракета и ее масса вместе с топливом М покоится. Первоначальный импульс ракеты с топливом равен нулю. При сгорании порции топлива массы т образуются газы, которые выбрасываются через сопло со скоростью и. По закону сохранения импульса общий импульс ракеты и топлива сохраняется: р2 = p1 → т∙и +(М - m)∙v = 0, где v — скорость, полученная ракетой. Из этого уравнения находим: v = ─т∙и /(М ─ т). Мы видим, что ракета приобретает скорость, направленную в сторону противоположную направлению выброса газа. По мере сгорания топлива скорость ракеты непрерывно возрастает.
Примером реактивного движения является и отдача при выстреле из винтовки. Пусть винтовка, масса которой m1 = 4,5 кг, стреляет пулей массой т2 = 11 г, вылетающей со скоростью v1 = 800 м/с. Из закона сохранения импульса можно высчитать скорость отдачи:
Такая значительная скорость отдачи возникнет, если винтовка не прижата к плечу. В этом случае стрелок получит сильный удар прикладом. При правильной технике выстрела стрелок прижимает винтовку к плечу и отдачу воспринимает все тело стрелка. При массе стрелка 70 кг скорость отдачи в этом случае будет равна 11,8 см/с, что вполне допустимо.
