А1А2 Х, А2А3 Z.
Из рис 1.12 видно, что точки, расположенные в различных октантах, имеют определенные знаки координат.
В таблице приведены знаки координат точек, расположенных в различных октантах
Таблица знаков координат
| Октанты | Знаки координат | ||
| Х | Y | Z | |
| + | + | + | |
| + | - | + | |
| + | - | - | |
| + | + | - | |
| - | + | + | |
| - | - | + | |
| - | - | - | |
| - | + | - |
Вопросы для самоконтроля
1. В чем заключается идея метода проецирования?
2. В чем заключается сущность центрального проецирования и каковы его основные свойства?
3. В чем заключается сущность параллельного проецирования и каковы его основные свойства?
4. В чем заключается сущность ортогонального (прямоугольного) проецирования?
5. Как формулируется теорема о проецировании прямого угла?
Лекция 2. Точка, прямая и плоскость на комплексном чертеже
2.1. Точка. Прямая. Способы задания
2.2. Свойства прямой на комплексном чертеже
2.3. Частные положения прямой в пространстве
2.4. Следы прямой линии
2.5. Плоскость. Способы задания
2.6. Частные положения плоскостей в пространстве
2.7. Следы плоскости
2.1. Точка. Прямая. Способы задания
Точка. как математическое понятие не имеет размеров. Очевидно, если объект проецирования является нульмерным образом, то говорить о его проецировании бессмысленно.
В геометрии под точкой целесообразно понимать физический объект, имеющий линейные измерения. Условно за точку будем принимать шарик с бесконечно малым радиусом. При такой трактовке понятия точки можно говорить о ее проекциях.
Прямая на комплексном чертеже может быть задана проекциями прямой; проекциями двух точек, принадлежащих прямой; проекциями отрезка прямой.
2.2. Свойства прямой на комплексном чертеже
- Прямая линия определяется двумя точками, поэтому на комплексном чертеже всякая прямая может быть задана проекциями двух ее точек. Прямую на комплексном чертеже можно задать и ее проекциями.
- Всякая непрофильная прямая вполне определяется двумя своими проекциями, для определения же профильной прямой необходимо задать на проекциях прямой проекции ее двух точек
- Чтобы задать на одной профильной прямой какую-нибудь точку, достаточно задать ее проекции на одноименных проекциях данной прямой.
- Для деления данного отрезка в данном отношении достаточно разделить в этом отношении одну из проекций данного отрезка, а затем спроецировать делящую точку на другую проекцию отрезка.
5. 2.3. Частные положения прямой в пространстве
6. 
.
7. Рис. 2.1. Прямые общего положения
8. На рис. 2.1 показаны прямые общего положения, т. е. прямые, произвольно расположенные относительно плоскостей проекций.
9. Особый интерес представляют прямые частного положения, т. е. прямые, расположенные определенным образом относительно плоскостей проекций: параллельные, перпендикулярные и принадлежащие плоскостям проекций.
10. Рассмотрим изображение на эпюре и отметим основные свойства этих прямых.
11. Прямые, параллельные плоскостям проекций.
12. 1. Горизонтальная прямая h (рис. 2.2) – горизонталь
13. Горизонтальная прямая – это прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций π1.
14. Так как все точки этой прямой равноудалены от плоскости проекций π1 (координаты Z всех точек прямой одинаковы), то фронтальная и профильная проекции прямой соответственно параллельны координатным осям Х и Y. На плоскость проекций π1 проецируются без искажения отрезок прямой АВ (А1В1=АВ) и углы наклона прямой к плоскостям проекций π2 и π3 (углы β0 и γ0).
15. 2. Фронтальная прямая f (рис. 2.3) – фронталь
16. Фронтальная прямая – это прямая параллельная фронтальной плоскости проекций π2. Так как все точки этой прямой равноудалены от плоскости проекций π2 (координаты Y всех точек прямой одинаковы), то горизонтальная и профильная проекции прямой соответственно параллельны координатным осям Х и Z. На плоскость проекций π2 проецируются без искажений отрезок этой прямой CD (C2D2+CD) и углы наклона прямой к плоскостям проекций π1 и π3 (углы α 0 и γ 0)
17. 
.
18. Рис. 2.2. Горизонтальная прямая
19. 3. Профильная прямая p (рис. 2.4)
20. Профильная прямая – это прямая, параллельная профильной плоскости проекций π3 . Так как все точки этой прямой равноудалены от плоскости проекций π3 (координаты Х всех точек прямой одинаковы), то горизонтальная и фронтальная проекции прямой соответственно параллельны координатным осям Y и Z. На плоскость проекций π3 проецируется без искажения отрезок этой прямой EF (E3F3=EF)и углы наклона прямой к плоскостям проекций π1 и π2 (углы α 0 и β 0).
21. Прямые, принадлежащие плоскостям проекций
22. Прямые, принадлежащие плоскостям проекций, являются частным случаем горизонтальных, фронтальных и профильных прямых. Характерным признаком для эпюра, на котором изображена подобная прямая будет принадлежность одной из проекций прямой соответствующей оси.
23. 
.
24. Рис. 2.3. Фронтальная прямая
25. 
.
26. Рис. 2.4. Профильная прямая
27. На рис. 2.5, 2.6, 2.7 показаны прямые, принадлежащие соответственно горизонтальной плоскости проекций (частный случай горизонтальной прямой Z=0), фронтальной плоскости проекций (частный случай фронтальной прямой Y=0) и профильной плоскости проекций (частный случай профильной прямой Х=0).
28. 
.
29. Рис. 2.5. Прямая, принадлежащая горизонтальной плоскости проекций
30. 
.
31. Рис. 2.6. Прямая, принадлежащая фронтальной плоскости проекций
32. 
.
33. Рис. 2.7. Прямая, принадлежащая профильной плоскости проекций
34. Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций.
35. Проецирующие прямые
36. На рис. 2.8 и 2.9 показаны прямые, перпендикулярные соответственно горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций
37. Прямая перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций – горизонтально-проецирующая прямая. Такая прямая проецируется на плоскость π1 в точку; ее фронтальная проекция перпендикулярна оси Х (рис. 2.8).
38. Прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций – фронтально-проецирующая прямая. Эта прямая проецируется на плоскость π2 в точку, а ее горизонтальная проекция перпендикулярна оси Х (рис. 2.9).
39. Прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций – профильно-проецирующая прямая. Эта прямая проецируется на плоскость π3 в точку, а ее фронтальная проекция перпендикулярна оси Z.
40. Эти прямые являются частными случаями фронтали и горизонтали.
41. 
.
42. Рис. 2.8. Прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций
43. 
.
44. Рис. 2.9. Прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций
45. 
.
46. Рис. 2.10. Прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций
2.4. Следы прямой линии
.
а
.
б
Рис. 2.11. Изображение следов прямой линии: а – в пространстве; б – на эпюре
Следом прямой линии называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций.
В системе двух плоскостей проекций π1 и π2 прямая в общем случае имеет два следа:
- Горизонтальный Н (Н1, Н2);
- Фронтальный F (F1, F2)
Это точки пересечения прямой соответственно с горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций.
Установим правило нахождения следов прямой.
Для нахождения горизонтального следа прямой необходимо:
1) продолжить фронтальную проекцию прямой а до пересечения с осью Х (получим точку НХ ≡ Н2)
2) восстановить перпендикуляр в точке НХ к оси Х (провести линию связи перпендикулярную к оси Х);
3) продолжить горизонтальную проекцию прямой а до пересечения с перпендикуляром;
4) полученная точка пересечения и будет являться горизонтальным следом прямой а Н ≡ Н1
Для нахождения фронтального следа прямой необходимо:
1) продолжить горизонтальную проекцию прямой а до пересечения с осью Х (точка FX ≡ F1);
2) восстановить перпендикуляр в точке FX к оси Х;
3) продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с перпендикуляром;
4) полученная точка пересечения F ≡ F2 является фронтальным следом прямой а
В начертательной геометрии считается, что наблюдатель расположен в первом пространственном углу на бесконечном расстоянии от плоскостей проекций, поэтому видимыми геометрическими фигурами будут только те, которые расположены в первом октанте.
Проекции этих фигур в ортогональных и аксонометрических проекциях показываются сплошными линиями. Фигуры, расположенные в других пространственных углах, не видны наблюдателю, и их проекции показываются штриховыми линиями.
2.5. Плоскость. Способы задания
На эпюре плоскость может быть задана графически одним из следующих способов, показанных на рис. 2.12.
.
а
.
б
.
в
.
г
.
д
.
е
.
ж
Рис. 2.12. Способы задания плоскости: а − тремя точками не лежащими на одной прямой; б − прямой и точкой вне ее; в − двумя пересекающимися прямыми; г − двумя параллельными прямыми; д, е − плоской фигурой; ж − следами плоскости.
2.6. Частные положения плоскостей в пространстве
Плоскость общего положения
Плоскость, которая занимает произвольное положение по отношению к плоскости проекций (углы наклона этой плоскости к плоскостям проекций – произвольные, но отличные от 0° и 90°) называется плоскостью общего положения (рис. 2.16.а).
На комплексном чертеже следы плоскости общего положения составляют с осью проекций также произвольные углы.
Рассмотрим изображение на комплексном чертеже и свойства плоскостей частного положения: плоскости, перпендикулярные и параллельные плоскостям проекции.
Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций (проецирующие плоскости).
1. Горизонтально-проецирующая плоскость a 
π1.
.
Рис. 2.13. Горизонтально-проецирующая плоскость
Плоскость α, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекции π1, называется горизонтально-проецирующей (рис. 2.13).
Основным свойством горизонтально-проецирующей плоскости является то, что любая фигура, расположенная в этой плоскости, проецируется на π1 в прямую линию (горизонтальный след плоскости h0a).
Угол β, который составляет горизонтальный след плоскости h0a c координатной осью Х, равен углу наклона плоскости a к плоскости проекций π2. Фронтальный след такой плоскости перпендикулярен оси Х (f0a X).
2. Фронтально-проецирующая плоскость β π2. Плоскость b перпендикулярная фронтальной плоскости проекций π2 называется фронтально проецирующей (рис. 2.14).
.
Рис. 2.14. Фронтально-проецирующая плоскость
Основным свойством фронтально-проецирующей плоскости является то, что любая фигура. Расположенная в этой плоскости, проецируется на π2 в прямую линию (фронтальный след плоскости f0b). Угол α, который составляет фронтальный след плоскости f0b с координатной осью Х, равен углу наклона плоскости β к плоскости проекций π1. Горизонтальный след такой плоскости перпендикулярен оси Х.
Плоскости, параллельные плоскостям проекций (плоскости уровня)
1. Горизонтальная плоскость γ 
π1.
Плоскость γ, параллельная плоскости π1, называется горизонтальной (рис. 2.15).
.
Рис. 2.15. Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций
Любая фигура, расположенная в такой плоскости, проецируется на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину (Δ А1В1С1= ΔАВС, рис. 17). Фронтальный след этой плоскости параллелен оси Х (f0γ Х).
2. Фронтальная плоскость δ π2.
Плоскость δ, параллельная плоскости π2, называется фронтальной.
Любая фигура расположенная в такой плоскости. Проецируется на фронтальную плоскость проекций без искажения, т. е. в натуральную величину.
Горизонтальный след фронтальной плоскости параллелен оси Х.
Примечание. Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, является частным случаем проецирующих плоскостей.
2.7. Следы плоскости
Следом плоскости a называется линия пересечения этой плоскости с плоскостью проекций.
.
а
.
б
Рис. 2.16. Пример изображения следов плоскости: а - в пространстве; б - на комплексном чертеже
В системе двух плоскостей проекций π1 и π2 плоскость в общем случае имеет два следа: горизонтальный ha0 и фронтальный fa0, которые являются пересечением плоскости a соответственно с горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций (рис. 2.16).
Точки пересечения плоскости a с координатными осями X, Y, Z называются точками схода следов и обозначаются соответственно Sx, Sy, Sz (рис. 2.16.а).
Вопросы для самоконтроля
1. В чем сущность построения эпюра точки?
2. Какие координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве?
3. Какие линии называют прямыми: а) общего; б) частного положения?
4. Какая прямая параллельна (перпендикулярна) плоскости проекций?
5. Как строят профильную проекцию точки?
6. Что называется следом прямой и как он определяется?
7. Какие плоскости являются плоскостями частного положения?
8. Что называется следом плоскости и как он определяется?
9. Как называется прямая, которая принадлежит плоскости и перпендикулярна линиям уровня этой плоскости?
Лекция 3. Взаимное расположение геометрических элементов. Основные позиционные задачи
3.1. Определение позиционных задач
3.2. Метод конкурирующих точек
3.3. Прямая и точка
3.4. Взаимное положение прямых
3.5. Прямая и точка на плоскости
3.6. Взаимное положение прямой и плоскости
3.7. Пересечение прямой и плоскости
3.1. Определение позиционных задач
Позиционными задачами называются такие задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга.
3.2. Метод конкурирующих точек
Метод конкурирующих точек используется в начертательной геометрии для определения взаимной видимости двух геометрических фигур.
Конкурирующими точками называются такие точки пространства, у которых совпадают какие-либо две одноименные проекции.
На рис. 3.1 показаны конкурирующие точки А и В (совпадают горизонтальные проекции А1≡В1) и C и D (совпадают фронтальные проекции С2≡D2).
Метод конкурирующих точек заключается в определении взаимной видимости точек (фигур) по их несовпадающим проекциям. Точка В находится выше точки А относительно плоскости π1 (ZB>ZA), поэтому на плоскости π1 видна точка В, которая закрывает точку А (считается, что наблюдатель смотрит на плоскости проекций из бесконечности и направление луча зрения параллельно проецирующему лучу S).
На плоскости π2 видна точка D, так как она находится ближе к наблюдателю (дальше от плоскости π2, YD>YC) и закрывает невидимую точку С.
Методом конкурирующих точек пользуются при определении видимости пересекающихся геометрических фигур.
3.3. Прямая и точка
Из инвариантного свойства 3 параллельного проецирования следует, что проекции точки К (К1, К2 и К3) принадлежащие прямой а, должны принадлежать соответствующим проекциям этой прямой, т. е. если хотя бы одна проекция точки не принадлежит соответствующей проекции прямой, то эта точка не принадлежит прямой.
Из инвариантного свойства 4 следует, что проекции точки К (К1, К2 и К3), принадлежащие прямой АВ, делят соответствующие проекции отрезка в том же отношении, в каком точка К делит отрезок АВ (рис. 3.2).
.
Рис. 3.1. Конкурирующие точки
Точки А и В, принадлежащие прямой а, и точки C, D и E, которые лежат вне этой прямой показаны на рис. 3.3.
.
Рис. 3.2. Изображение принадлежности точек А, В, К прямой а
.
Рис. 3. 3. Пример принадлежности точек прямой
3.4. Взаимное положение прямых
Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны.
1. Пересекающиеся прямые
Пересекающимися прямыми называются такие прямые, которые имеют одну общую точку.
Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения проекций прямых а и b есть точка пересечения этих прямых (рис. 3.4).
.
Рис. 3.4. Пересекающиеся прямые
2. Параллельные прямые
На рис. 3.5 изображены параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке (прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке).
Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны.
3. Скрещивающиеся прямые
Скрещивающиеся прямые – это прямые, не лежащие в одной плоскости, это прямые не имеющие ни одной общей точки.
На комплексном чертеже (рис. 3.6) точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпендикуляре к оси Х (в отличие от пересекающихся прямых, см. рис. 3.4).
.
Рис. 3.5. Изображение параллельных прямых
.
Рис. 3.6. Скрещивающиеся прямые
3.5. Прямая и точка на плоскости
Прямая АВ принадлежит плоскости α, если две ее точки А и В принадлежат этой плоскости α. (ΔКLM) Справедливо и обратное утверждение: если точки А и В принадлежат плоскости α ((ΔКLM), то пряма АВ, проходящая через эти точки, принадлежит плоскости α.
Прямые АВ и CD, принадлежащие разным плоскостям показаны на рис. 3. 7. Прямая АВ принадлежит плоской фигуре LKM, потому что на проекциях прямой и плоской фигуры имеются две общих точки. Прямая CD принадлежит плоскости, заданной параллельными прямыми с и d, т. к. она проходит через точки С и D, расположенные на этих прямых.
Прямая принадлежит плоскости, если ее следы принадлежат одновременно следам плоскости.
Справедливо и обратное утверждение: если следы прямой принадлежат следам плоскости, то эта прямая принадлежит плоскости.
Кроме того, существует еще одно свойство, определяющее взаимное положение точки и плоскости: точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, принадлежащей этой плоскости (рис. 3.7).
.
а
.
б
Рис. 3.7. Изображение прямых, принадлежащих плоскостям
3.6. Взаимное положение прямой и плоскости
Рассмотрим два случая взаимного положения прямой и плоскости: прямая параллельная и перпендикулярная плоскости.
1. Прямая параллельная плоскости.
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой b, принадлежащей этой плоскости.
Прямые, параллельные плоскостям, заданным различными способами показаны на рис. 3.8.
2. Прямая перпендикулярная плоскости.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Подробно перпендикулярность прямых рассмотрена в лекции № 4.
.
а
.
б
.
в
Рис. 3.8. Прямые, параллельные плоскостям, заданным:
а – плоскостью треугольника АВС; б – двумя пересекающимися прямыми а∩b; в – горизонтальным h0α и фронтальным f0α следами
3.7. Пересечение прямой и плоскости
Линия пересечения двух плоскостей – прямая линия. Рассмотрим сначала частный случай (рис. 3.9), когда одна из пересекающихся плоскостей параллельна горизонтальной плоскости проекций (α π1, f0α Х). В этом случае линия пересечения а, принадлежащая плоскости α, будет также параллельна плоскости π1, (рис. 3.9. а), т. е. будет совпадать с горизонталью пересекающихся плоскостей (а ≡ h).
Если одна из плоскостей параллельна фронтальной плоскости проекций (рис. 3.9. б), то линия пересечения а, принадлежащая этой плоскости, будет параллельна плоскости π2 и будет совпадать с фронталью пересекающихся плоскостей (а ≡ f).
.
а
.
б
Рис. 3.9. Частный случай пересечения плоскости общего положения с плоскостями: а – горизонтального уровня; б – фронтального уровня
Пример построения точки пересечения (К) прямой а (АВ) с плоскостью α (DEF) показан на рис. 3.10. Для этого прямая а заключена в произвольную плоскость β и определена линия пересечения плоскостей α и β.
В рассматриваемом примере прямые АВ и MN принадлежат одной плоскости β и пересекаются в точке К, а так как прямая MN принадлежит заданной плоскости α (DEF), то точка К является и точкой пересечения прямой а (АВ) с плоскостью α. (рис. 3.11).
.
Рис. 3.10. Построение точки пересечения прямой с плоскостью
Для решения подобной задачи на комплексном чертеже необходимо уметь находить точку пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения.
Рассмотрим пример нахождения точки пересечения прямой АВ c плоскостью треугольника DEF представленный на рис. 3.11.
Для нахождения точки пересечения через фронтальную проекцию прямой А2В2 проведена фронтально-проецирующая плоскость β которая пересекла треугольник в точках M и N. На фронтальной плоскости проекций (π2) эти точки представлены проекциями M2, N2. Из условия принадлежности прямой плоскости на горизонтальной плоскости проекций (π1) находятся горизонтальные проекции полученных точек M1 N1. В пересечении горизонтальных проекций прямых А1В1 и M1N1 образуется горизонтальная проекция точки их пересечения (К1). По линии связи и условиям принадлежности на фронтальной плоскости проекций находится фронтальная проекция точки пересечения (К2).
.
Рис. 3.11. Пример определения точки пересечения прямой и плоскости
Видимость отрезка АВ относительно треугольника DEF определена методом конкурирующих точек.
На плоскости π2 рассмотрены две точки N 
EF и 1 АВ. По горизонтальным проекциям этих точек можно установить, что точка N расположена ближе к наблюдателю (YN>Y1), чем точка 1 (направление луча зрения параллельно S). Следовательно, прямая АВ, т. е. часть прямой АВ (К1) закрыта плоскостью DEF на плоскости π2 (ее проекция К212 показана штриховой линии). Аналогично установлена видимость на плоскости π1.
Вопросы для самоконтроля
1) В чем заключается сущность метода конкурирующих точек?
2) Какие свойства прямой вы знаете?
3) Каков алгоритм определения точки пересечения прямой и плоскости?
4) Какие задачи называются позиционными?
5) Сформулируйте условия принадлежности прямой плоскости.
Лекция 4. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Метрические задачи.
4.1. Условие перпендикулярности двух прямых на комплексном чертеже
4.2. Условие перпендикулярности прямой и плоскости
4.3. Условие перпендикулярности двух плоскостей
4.4. Определение длины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций
4.5. Линия наибольшего наклона (ската)
4.1. Условие перпендикулярности двух прямых на комплексном чертеже
Особый интерес с точки зрения решения задач начертательной геометрии представляют перпендикулярные прямые.
Из классической Евклидовой геометрии известно следующее свойство перпендикулярности двух прямых:
Две прямые перпендикулярны, если угол между ними составляет 90°.
Кроме того, в начертательной геометрии существует еще одно утверждение на эту тему:
Две прямые перпендикулярны, если одна из них линия уровня.
Для подтверждения этого заключения рассмотрим примеры, приведенные на рис. 4.1.
Предположим что необходимо через точку А провести прямую 
, пересекающую горизонталь h прямым углом h (рис. 4.1.а).
Так как одна из сторон h прямого угла параллельна плоскости π1, то на эту плоскость прямой угол спроецируется без искажения. Поэтому через горизонтальную проекцию А1 проведем горизонтальную проекцию искомой прямой 1 h1. Отметим горизонтальную проекцию точки пересечения прямой и горизонтали N1= 1 ∩ h1. Найдем по принадлежности фронтальную проекцию точки пересечения N2. Точки А2 и N2 определяют фронтальную проекцию искомой прямой . Две проекции прямой определяют ее положение в пространстве.
Если вместо горизонтали будет задана фронталь f, то геометрические построения по проведению прямой f аналогичны рассмотренным с той лишь разницей, что построения неискаженной проекции прямого угла следует начинать с фронтальной проекции (рис. 4.1.б).
4.2. Условие перпендикулярности прямой и плоскости
Прямая а перпендикулярна плоскости α, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и с этой плоскости.
Если прямые b и с, принадлежащие плоскости α, расположены произвольно относительно плоскостей проекций, то прямые углы между прямой а и прямыми b и с спроецируются на плоскость проекций с искажениями.
.
а б
Рис. 4.1. Примеры построения перпендикулярных прямых: а - h; б - f
Для того чтобы эти прямые углы спроецировались в натуральную величину, прямые b и с должны быть параллельны плоскостям проекций, т. е. являться соответственно горизонталью и фронталью плоскости α..
Прямая а перпендикулярна плоскости α, если она перпендикулярна пересекающимся горизонтали h и фронтали f этой плоскости.
При этом прямые углы между прямой а и прямыми h и f на соответствующие плоскости проекций спроецируются без искажений.
Кроме вышесказанного существует теорема:
Для того чтобы прямая в пространстве была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы на эпюре горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция − к фронтальной проекции фронтали этой плоскости.
.
а
.
б
Рис. 4.2. Изображение прямых, перпендикулярных к плоскостям заданным: а - плоскостью фигуры АВС; б - прямыми c, d
Следовательно, прямая а перпендикулярна плоскости α, если ее проекции перпендикулярны соответствующим проекциям горизонтали h и фронтали f этой плоскости.
На рис. 4.2 изображены прямые, перпендикулярные плоскостям, заданным различными способами.
Если плоскость задана следами, то горизонталью и фронталью плоскости являются ее пересекающиеся следы.
Следовательно, прямая а перпендикулярна плоскости α, если ее проекции перпендикулярны соответствующим пересекающимся следам плоскости (рис. 4.3).
.
Рис.4.3. Изображение прямой а перпендикулярной к плоскости, заданной следами
4.3. Условие перпендикулярности двух плоскостей
Плоскости α и β перпендикулярны, если одна плоскость проходит через перпендикуляр другой плоскости.
На рис. 4.3 показана прямая а перпендикулярная плоскости α, (следовательно, любая плоскость, проходящая через прямую а, будет перпендикулярна плоскости α). На рис. 4.4 изображены две проецирующие плоскости β и γ и произвольная плоскость δ, следы которой проходят через следы прямой а.
.
Рис. 4.4. Условие перпендикулярности плоскостей
На рис. 4.5 изображена прямая b, перпендикулярная плоскости Δ АВС, следовательно, любая плоскость, проходящая через прямую b, будет перпендикулярна плоскости Δ АВС.
.
Рис. 4.5. Условие перпендикулярности плоскостей
4.4. Определение длины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций
.
Рис. 4.6. Определение углов наклона и натуральной величины отрезков
На рис. 4.6 показаны в аксонометрической проекции отрезок АВ и его горизонтальная проекция А1В1. Проведя прямую ВВ’, параллельную горизонтальной проекции отрезка А1В1, получим прямоугольный треугольник Δ АВВ’.
Длина отрезка АВ равна гипотенузе этого треугольника, катетами которого являются горизонтальная проекция отрезка А1В1 и разность координат z точек А и В (Δz = zA- zB).
Как известно, угол наклона прямой к плоскости равен углу между этой прямой АВ и ее проекцией на плоскость (А1В1).
Следовательно, угол Δ АВВ’, лежащий против катета Δz, равен углу наклона отрезка АВ и горизонтальной плоскости проекций π1 (угол α°).
.
Рис. 4.7. Определение углов наклона и натуральной величины отрезка
Аналогично рассуждая (рис. 4.7), можно показать, что длина отрезка АВ равна гипотенузе треугольника, катетами которого являются фронтальная проекция отрезка А2В2 и разность координат Y точек А и В (ΔY =YA- YB).
Угол этого треугольника, лежащий против катета ΔY, равен углу наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций π2 (угол β°).
По аналогии длина отрезка АВ может быть определена и как гипотенуза треугольника, катеты которого профильная проекция отрезка А3В3 и разность координат Х (Δ Х = ХА – ХВ) точек А и В. Угол γ° этого треугольника, лежащий против катета Δ Х, определяет угол наклона отрезка АВ к профильной плоскости проекций π3.
На рис. 4.8 показан пример определения длины отрезка АВ и углов наклона его к плоскостям проекций.
4.5. Линия наибольшего наклона (ската)
Линией наибольшего ската плоскости γ называется прямая g, принадлежащая этой плоскости и перпендикулярная ее линиям уровня: горизонтали h и фронтали f (рис.4.9).
.
Рис. 4.8. Определение длины отрезка и углов наклона к плоскостям проекций
.
Рис. 4.9. Пример построения линии наибольшего наклона
На комплексном чертеже горизонтальная проекция линии наибольшего наклона перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости, а фронтальная − фронтальной проекции фронтали.
Главным свойством этой линии наибольшего ската является то, что она образует с горизонтальной плоскостью проекций π1 угол α°, равный углу наклона плоскости γ к плоскости π1.
Это свойство линии наибольшего наклона (ската) используется для определения углов наклона плоскостей к плоскостям проекций.
Вопросы для самоконтроля
1. Назовите условия перпендикулярности прямых линий на комплексном чертеже.
2. Назовите условия перпендикулярности прямой к плоскости на комплексном чертеже.
3. Какова сущность способа прямоугольного треугольника?
4. Какое свойство линии наибольшего наклона является основным?
5. Как можно определить действительную величину отрезка, находящегося в общем положении по отношению к плоскостям проекций?
6. Как определяется угол наклона плоскости к плоскостям проекций?
Лекция 5. Способы преобразования комплексного чертежа
5.1. Необходимость преобразований комплексного чертежа
5.2. Задачи преобразований комплексного чертежа
5.1. Необходимость преобразований комплексного чертежа
Трудоемкость и, как следствие, точность графического решения задач часто зависят не только от сложности задач, но и от того, какое положение занимают геометрические фигуры, входящие в условие задачи, по отношению к плоскостям проекций.
Проецируемая фигура может занимать по отношению к плоскостям проекций произвольное, или частное положение.
В первом случае, как правило, получаются проекции, неудобные для решения задач. Решение задачи значительно упрощается, когда мы имеем дело с частным расположением геометрических фигур относительно плоскостей проекций. Наиболее выгодным частным положением проецируемой фигуры при ортогональном проецировании следует считать:
1) положение, перпендикулярное к плоскости проекций – при решении позиционных задач;
2) положение, параллельное плоскости проекций – для решения метрических задач.
Таким образом, при решении той или иной задачи бывает целесообразно привести фигуру к частному положению.
Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществлять изменением взаимного положения проецируемой фигуры и плоскости проекции. При ортогональном проецировании это может быть достигнуто двумя путями:
1) перемещением в пространстве проецируемой фигуры, по отношению к плоскости проекций.
2) выбором новой плоскости проекций, по отношению к проецируемой фигуре.
Первый путь лежит в основе плоскопараллельного перемещения; второй – составляет теоретическую базу способа замены плоскостей проекций.
5.2. Задачи преобразований комплексного чертежа
Все метрические и позиционные задачи можно свести к одной из следующих четырех задач.
Задача №1. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы прямая общего положения АВ оказалась параллельной одной из плоскостей проекций т.е. прямой уровня (горизонталь или фронталь) новой системы.
Для решения задачи необходимо заменить плоскость проекций П1, или П2 новой плоскостью проекций П4, параллельной прямой АВ и перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. Для того чтобы прямая АВ в новой системе плоскостей проекций стала, например, фронталью, нужно заменить фронтальную плоскость проекций П2 новой плоскостью П4 
П1 и параллельной прямой АВ.
Рассмотрим подробно этапы построения на комплексном чертеже (рис. 5.1), необходимые для решения первой основной задачи на преобразование комплексного чертежа:
.
а б
Рис. 5.1. Изображение преобразования прямой общего положения в прямую положения уровня: а - в пространстве; б – на комплексном чертеже
1) провести новую ось проекций х14 параллельно А1В1 на произвольном расстоянии от нее; такое положение оси х14 обусловливается тем, что П4 параллельна АВ. В частном случае, если плоскость П4 проведена непосредственно через прямую АВ, ось х14 = А1В1;
2) выбрать на прямой две точки А(А1А2) и В(В1В2);
3) построить проекции точек А и В на плоскости П4.
Прямая А4В4 является проекцией прямой АВ на плоскость П4. Прямая AB в новой системе плоскостей проекций П1/П4 является фронталью.
Отрезок [АВ] прямой проецируется на плоскость П4 в истинную величину, т.е. | А4В4 | = | АB |, a- величина угла наклона прямой АВ к плоскости П1.
3адача 2. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы линия общего положения АВ стала проецирующей.
.
Рис. 5.2 Преобразование прямой АВ общего положения в горизонтально-проецирующую.
Для решения задачи заменить плоскость П2 исходной системы П2/П1 плоскостью П4 // А1В1, при этом плоскость П4 будет перпендикулярной П1 так как АВ // П4 и образует с ней новую систему плоскостей проекций П1/П4.
Построения на комплексном чертеже:
1) провести новую ось проекций х14 // А1В1;
2) построить проекции точек А и В на плоскости П4, взяв координаты точек из плоскости П2;
3) заменить плоскость П1 на новую П5, которая будет П4 и А4В4. Для этого нужно провести новую ось проекций х4,5.
Так как расстояния точек А и В до плоскости П4 одинаковы, то проекции их на плоскости П5 совпадут, А5 ≡ В5, прямая АВ (А5В5) в новой системе плоскостей проекций заняла проецирующее положение и стала горизонтально проецирующей. Прямую общего положения преобразовать в проецирующую заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П5 перпендикулярная прямой, не будет перпендикулярна ни одной из «старых» плоскостей проекций, и, следовательно, не сможет образовать ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.
Для того чтобы прямую общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. Прямую общего положения следует преобразовать в линию уровня, а затем линию уровня преобразовать в проецирующую (рис. 5.2).
Задача №3. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей (рис. 5.3).
Для решения задачи необходимо заменить плоскость П1 или П2 исходной системы П2/П1 новой плоскостью П4, перпендикулярной плоскости 
(АВС). Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости , преобразовать в проецирующую, то плоскость в новой системе плоскостей проекций станет проецирующей.
Проще всего для этой цели воспользоваться линией уровня.
.
Рис. 5.3. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую
На чертеже плоскость (АВС) преобразована во фронтально проецирующую (см. рис. 5.3) путем преобразования горизонтали h(h1,h2), принадлежащей плоскости, во фронтально- проецирующую прямую. В новой системе плоскостей проекций П1/П4 плоскость является фронтально проецирующей ( 4), и поэтому ее проекция на П4 вырождается в прямую линию 4 (С4, А4, В4).
α – величина угла наклона плоскости к плоскости П1.
Задача №4. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала плоскостью уровня (параллельной одной из плоскостей проекций) новой системы.
.
Рис. 5.4. Решение 4-й задачи на преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня
Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П4, параллельная ей, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.
Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций.
Вначале плоскость необходимо преобразовать в проецирующую, т. е. решить задачу 3 на преобразование комплексного чертежа, а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня. На рис. 5.4 показано преобразование плоскости Δ(АВС) в горизонтальную плоскость уровня.
Допустим, что заданная плоскость Г является фронтально проецирующей (рис. 5.5). Заменим плоскость П1 новой плоскостью проекций П4, параллельной плоскости Г (ΔАВС) и, перпендикулярной незаменяемой плоскости П2. В новой системе плоскостей проекций П2/П4 плоскость Г (АВС) станет горизонтальной плоскостью уровня.
.
Рис. 5.5. Решение четвертой задачи на преобразование комплексного чертежа
Построения на комплексном чертеже:
1) проводим новую ось проекций х24 параллельно А2С2 на произвольном от нее расстоянии; такое положение оси проекций х24 обусловливается тем, что П4 параллельна Г (АВС). Ось х24 совпадает с прямой (А2С2), если плос- кость П4 совмещается с плоскостью Г (АВС);
2) построим проекции точек А, В и С на плоскость П4;
3) треугольник А4В4С4 является проекцией треугольника АВС на плоскость П4.
Примечание. Так как плоскость треугольника АВС параллельна П4, значит отображение этого треугольника на П4 будет в натуральную величину.
В данном конспекте лекций рассматривается только способ замены плоскостей проекций.
Вопросы для самоконтроля
1. Как нужно располагать дополнительные плоскости проекций, чтобы прямую общего положения преобразовать в: а) прямую уровня; б) проецирующую прямую.
2. Как нужно располагать дополнительные плоскости проекций, чтобы плоскость общего положения преобразовать в: а) проецирующую; б) плоскость уровня?
3. Какие основные метрические задачи можно решать с помощью дополнительного проецирования?
4. Какие метрические задачи относят к основным?
Лекция 6. Метрические задачи
6.1. Общие положения
6.2. Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами
6.3. Задачи на определение действительных величин плоских геометрических фигур и углов между ними
6.1. Общие положения
Метрическими называются задачи, связанные с измерением расстояний и углов. В них определяются действительные величины и форма геометрических фигур, расстояния между ними и другие характеристики по их метрически искаженным проекциям. Решение метрических задач основано на том, что геометрическая фигура, принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проекций, проецируется на нее в конгруэнтную ей фигуру (см. аксиомы параллельного проецирования). Поэтому при решении метрических задач широко используются способы преобразования комплексного чертежа.
Рассмотрим три группы метрических задач. К первой относятся задачи, в которых требуется найти расстояние между двумя геометрическими фигурами; ко второй - задачи на определение действительных величин плоских фигур и углов; к третьей группе принадлежат задачи, связанные с построением в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам.
6.2. Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами
Искомое расстояние во всех задачах этой группы измеряется длиной отрезка, заключенного между заданными геометрическими фигурами и перпендикулярного к одной из них или одновременно к обеим. Этот отрезок проецируется в конгруэнтный ему отрезок на плоскость проекций, которая будет перпендикулярна одной или обеим геометрическим фигурам, между которыми определяется расстояние. Алгоритм решения задач этой группы будет следующим:
1. Одним из способов преобразования комплексного чертежа привести обе заданные геометрические фигуры (или одну из них) в положение, перпендикулярное какой-либо плоскости проекций.
2. Построить проекцию искомого отрезка на эту плоскость.
Выбирая способ преобразования комплексного чертежа при составлении алгоритма, следует учитывать требования к компактности чертежа, четкость и возможную простоту графических операций.
Задача 1. Определение расстояния от точки М до прямой АВ общего положения (рис. 6.1). Искомое расстояние измеряется длиной отрезка /МN/ перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую АВ. Отрезок [МN] спроецируется в конгруэнтный ему отрезок на плоскость проекций, перпендикулярную прямой АВ. Составляем алгоритм решения:
1. Преобразовать прямую АВ в проецирующую прямую способом замены плоскостей проекций.
2. Построить проекцию отрезка [МN] на плоскость П5 АВ, длина которого М5N5 определяет искомое расстояние.
.
Рис. 6.1. Определение расстояния от точки до прямой
Построение. Для преобразования прямой АВ общего положения в проецирующую выполнены две последовательные замены плоскостей проекций: вначале прямая АВ преобразована в линию уровня, затем линия уровня преобразована в проецирующую прямую. Построены проекций М4 и М5 точки М в системе П4/П5.
Отрезок [М5N5] является искомым: [М5N5] 
[МN] и /М5N5/ = /МN/. На рис. 6.1 показано построение проекций [М4N4], [М1N1] и [М2М2] отрезка [МN] обратным преобразованием.
Задача 2. Определить расстояние между параллельными прямыми а и b.
Для решения задачи необходимо выполнить две замены плоскостей проекций. Вначале прямые a и b необходимо сделать прямыми уровня. Для этого П4 необходимо расположить параллельно a1 и b1. Затем названные прямые необходимо расположить перпендикулярно П5. Расстояние между а5 и b5 будет натуральной величиной между параллельными прямыми a и b (рис. 6.2).
Задача 3. Определение расстояния от точки до плоскости.
Решение задачи приведено на рис. 6.3.
Для определения расстояния от точки М до плоскости треугольника Δ АВС необходимо плоскость треугольника общего положения ΔАВС преобразовать в плоскость проецирующую. Для этого нужно произвести замену плоскости проекций П2 на П4 перпендикулярно h1.
.
Рис. 6.2. Определение расстояния между параллельными прямыми
Плоскость ΔАВС преобразуется в линию С4А4В4. На эту же плоскость П4 спроецируется точка М (М4). Перпендикуляр из М4 на линию С4А4В4 будет натуральной величиной расстояния от точки М до плоскости Δ АВС. Проекции перпендикуляра переносятся в плоскости проекций П1 и П2 по соответствующим линиям связи, расстояния от точки М до плоскости Δ АВС. Проекции перпендикуляра переносятся в плоскости проекций П1 и П2 по соответствующим линиям связи.
Примечания: 1) Проекция перпендикуляра М1N1 в П1 располагается параллельно П4, потому что в плоскости П4 имеется ее натуральная величина.
2) Задачи 1- 3 можно также решать по следующей схеме: вначале определить метрически искаженные проекции искомого отрезка, а затем способом прямоугольного треугольника определить его действительную величину.
.
Рис. 6.3. Определение расстояния от точки до плоскости
6.3. Задачи на определение действительных величин плоских геометрических фигур и углов между ними
Общей схемой решения задач этой группы является приведение заданной плоской фигуры или плоскости угла в положение, параллельное одной из плоскостей проекций.
При выборе способа преобразования комплексного чертежа следует стремиться к простоте графических операций, их четкости и наименьшему количеству. Наиболее часто при решении задач применяются способы замены плоскостей проекций и вращения вокруг линии уровня. Способ вращения вокруг линии уровня является наиболее целесообразным для решения большинства задач данной группы, так как дает решение путем одного преобразования комплексного чертежа. К задачам данной группы можно отнести:
3адача 1. Определение действительной величины плоской фигуры. Решение задачи дано на рис. 5.4, 5.5, лекции 5. Задача решается аналогично задаче 1.
Задача 2. Определение угла, образованного двумя пересекающимися прямыми.
Задача 3. Определение величины угла, образованного прямой и плоскостью.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее прямоугольной проекцией на данную плоскость. Решение задачи приведено на рис. 6.4.
Для определения угла между прямой АВ и плоскостью ∑ (а || b) необходимо:
1. Определить направление горизонтальной проекции горизонтали h1 и фронтальной проекции фронтали плоскости ∑ (а || b).
2. Из произвольной точки М, принадлежащей прямой АВ (М АВ) провести прямую М252 f2 и М151 h1.
.
Рис. 6.4. Определение величины угла, образованного прямой и плоскостью.
3. Определить величину угла y вращением его вокруг горизонтали до положения, параллельного плоскости П1.
4. Вычислить значение искомого угла φ = 900 - Ψ0
Задача 4. Определение величины угла между двумя пересекающимися плоскостями.
Мерой угла между двумя плоскостями служит линейный угол, образованный двумя прямыми – сечениями граней этого угла плоскостью, перпендикулярной к их ребру.
В задаче необходимо линию пересечения АВ плоскостей ∑ и Γ преобразовать в прямую уровня, а затем в линию проецирующую.
Общей схемой решения задач на построение в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам является:
1) преобразование заданной плоскости общего положения в плоскость уровня;
2) решение в плоскости уровня заданной метрической задачи.
Вопросы для самоконтроля
1. Как нужно располагать дополнительные плоскости проекций, чтобы прямую общего положения преобразовать в: а) прямую уровня; б) проецирующую прямую.
2. Как нужно располагать дополнительные плоскости проекций, чтобы плоскость общего положения преобразовать в: а) проецирующую; б) плоскость уровня?
3. Какие основные метрические задачи можно решать с помощью дополнительного проецирования?
4. Какие метрические задачи относят к основным?
Лекция 7. Поверхности
7.1. Понятия и определения
7.2. Линейчатые поверхности
7.3. Неразвертывающиеся (косые) линейчатые поверхности
7.1. Понятия и определения
В начертательной геометрии фигуры задаются графически, поэтому целесообразно рассматривать поверхность как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии. Образование поверхности с помощью линии позволяет дать иное определение поверхности, базирующейся на таких основных элементарных геометрических понятиях, как точка и множество. В свою очередь, линия определяется как непрерывное однопараметрическое множество точек, поэтому можно дать следующее определение поверхности:
Поверхностью называется непрерывное двупараметрическое множество точек.
Для получения наглядного изображения поверхности на чертеже закон перемещения линии целесообразно задавать графически в виде совокупности линий и указаний о характере перемещения линии. Эти указания могут быть заданы графически, в частности с помощью направляющей поверхности. В процессе образования поверхностей линия может оставаться неизменной или менять свою форму. Такой способ образования поверхности называется кинематическим, а сама поверхность − кинематической. Закон перемещения образующей линии, как правило, задается при помощи направляющих линий и алгоритма перемещения образующей по направляющим.
На чертеже кинематическая кривая поверхность задается при помощи ее определителя. Определителем поверхности называют совокупность условий, необходимых и достаточных для задания поверхности в пространстве.
Подвижная линия называется образующей, неподвижные линии и поверхность – направляющими.
Примером такого способа образования могут служить все технологические процессы обработки металлов режущей кромкой, когда поверхность изделия несет на себе «отпечаток» профиля резца.
Режущие кромки являются неотъемлемой частью исполнительных механизмов многих строительных и дорожных машин, применяемых не только для разработки и перемещения грунта (бульдозеры, грейдеры и т. п.), но и рытье траншей, котлованов, проходка траншей, профилирование откосов и многое другое.
Но режущие кромки во многих случаях начинают уступать место производящей поверхности, с которой связано развитие прогрессивных производительных процессов обработки металлов давлением и обкаткой. Геометрическая сущность этих процессов – метод огибания.
Рассмотрим некоторые кривые поверхности.
Кривые поверхности широко применяются в различных областях науки и техники при создании очертаний различных технических форм или как объекты инженерных исследований. Существуют три способа задания кривых поверхностей:
Аналитический - при помощи уравнений;
При помощи каркаса;
