Эти уравнения самые простые. При решении какого-либо уравнения его стараются свести к уравнению с разделяющимися переменными.
А. Уравнение с разделенными переменными
Уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида:
(1)
Переменные разделены, каждая из них находится только в той части равенства, где ее дифференциал. 
и 
– заданные функции.
Теорема. Общим интегралом уравнения (1) служит соотношение 
. (2)
Пример. Найти общий интеграл уравнения 
.
Решение. 
или 
– общий интеграл.
Теорема. Частным решением уравнения (1), удовлетворяющим начальному условию 
будет функция 
, определенная из равенства 
. (4)
Пример. Найти решение уравнения 
, удовлетворяющего условию 
Решение. 
.
В. Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: 
(5)
В этом уравнении легко разделить переменные. Для этого поделим уравнение на произведение 
. Тогда получим: 
. (6)
Это уравнение с разделенными переменными. При переходе от уравнения (5) к уравнению (6) мы могли потерять некоторые решения, которые обращают в нуль произведение 
, именно 
или 
. (7)
Уравнение (7) есть конечное (без производных) уравнение относительно 
. Его решением служат 
, 
, … и т.д. Заметим, что константы 
служат решениями уравнения (5), т.к. 
и 
.
Общим интегралом (5) будет 
. (8)
Если решения 
получаются из (8) при подходящем выборе С, то такие решения суть частные, если же подобрать нужное С невозможно, то они особые решения.
Следовательно, если у уравнения (5) есть особые решения, то соответствующие им графики, т.е. интегральные кривые – это прямые параллельные оси ОХ.
Частным решением уравнения (5), удовлетворяющим начальному условию 
будет функция 
, определенная уравнением:
. (9)
Пример. Для уравнения 
найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее условию 
.
Решение.
а) Общий интеграл. Делим на 
. 
.
Отсюда 
или 
– общий интеграл.
б) Частное решение. 
Частное решение: 
.
с) Особое решение. 
 |
Возможна потеря решений
. Оба эти решения особые.
Однородные уравнения.
Определение. Уравнение 
(1) называется однородным, если 
может быть представлена как функция отношения своих аргументов, т.е. 
. (2)
Таким образом, однородное уравнение имеет вид: 
(3)
Теорема. Однородное уравнение (3) имеет общий интеграл: 
. (4)
Замечание 1. В доказательстве теоремы мы предполагаем, что 
. Рассмотрим тот случай, когда 
. Здесь имеются две возможности.
а) 
Тогда 
и уравнение (3) принимает вид: 
.
Это уравнение с разделяющимися переменными 
и здесь никаких преобразований делать не нужно.
б) уравнение 
удовлетворяется лишь при определенных значениях 
. В этом случае могут быть потеряны решения 
. Интегральные кривые суть прямые, проходящие через начало.
Пример. Решить уравнение 
.
Решение. Уравнение однородное. Полагаем 
. 
.
Если 
, то 
. Отсюда 
.
– общий интеграл.
Может быть потеряно решение 
или 
.
Действительно, есть решение рассматриваемого уравнения и оно не может быть получено из общего интеграла ни при каком значении С, следовательно есть особое решение.
Замечание 2. Формулу (4) запоминать не следует. Надо уметь ее выводить в каждом конкретном случае, как это сделано в примере.
Замечание 3. Для интегрирования уравнения более общего вида, чем (3) 
. (6)
(обобщенное однородное) сначала делают замену неизвестной функции и независимой переменной по формулам 
; выбирая 
и 
такими, чтобы исчезли свободные члены в числителе и знаменателе аргумента 
в (6), тогда (6) приводится к однородному уравнению.
Линейные уравнения
Определение. Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется дифференциальное уравнение вида: 
(1),
где – неизвестная функция аргумента.
Уравнение (1) линейно относительно и 
.
Если 
, то уравнение (1) примет вид: 
(2), и называется линейным однородным. При этом уравнение (1) называется линейным неоднородным.
Уравнение (2) называется линейным однородным, соответствующим линейному неоднородному уравнению (1).
