Закон взаимосвязи массы и энергии.

Динамика поступательного движения материальной точки и твердого тела.

 

Законы Ньютона. Принцип суперпозиции сил. Основные типы сил и взаимодействий. Механический принцип относительности. Механическая система. Центр масс системы материальных точек и закон его движения.

Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С,положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее ра­диус-вектор равен

где m_i и r_i — соответственно масса и радиус-вектор i -й материальной точки; n — число материальных точек в системе; – масса системы. Скорость центра масс

 

 

 

 

3.

Механическая работа. Кинетическая энергия. Потенциальная энергия. Законы сохранения в механике.

Определение и геометрический смысл работы. Работа силы. Работа силы тяжести и упругой силы. Связь работы с кинетической и потенциальной энергией. Движение точки в центральном поле. Закон сохранения.

Работа

 

Связь работы с кинетической и потенциальной энергией.

 

Связь работы с кинетической энергией

= = =
.

 

 

Связь работы с потенциальной энергией

Потенциальная энергия

Условие потенциальности силового поля
,

оператор набла

 

Работа силы упругости, силы тяжести.

Сила упругости

силы тяжести




Закон сохранения энергии. Закон сохранения импульса. Закон сохранения момента импульса.

1) Закон сохранения энергии является следствием однородности времени. Время однородное означает, что все законы физики в любые моменты времени одинаковы.

Обозначим потенциальную энергию через , тогда:

 

 

Потенциальная энергия- энергия взаимодействия, мера несвободности движения.

Кинетическая энергия является мерой свободного движения.

 

- однородное время

Закон сохранения импульса.

 

Закон сохранения импульса является следствие однородности пространства. Пространство однородное означает, что все точки пространства эквивалентны физически.

 

Пример. Удар абсолютно упругих и неупругих тел

Абсолютно упругий удар.

 

 

 

Закон сохранения момента импульса.

 

Пример: Движение Луны вокруг Земли является примером сохранения момента импульса.

 

Закон сохранения момента импульса является следствием изотропности пространства. Пространство изотропно означает, что любые направления от данной точки пространства физически эквивалентны.

 

С другой стороны

 

 

 

Т.о.

Движение в центральном поле.

Пример использования закона сохранения энергии и момента импульса. Примером движения в центральном поле, является вращение Земли вокруг солнца, где центром силового поля является Солнце.

 

Е- константа; U- потенциальная энергия.

 

М- константа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На примере Земли принимаем, что

 

=

 

 

 

- где р- параметр кривой

 

- где – е - эксцентриситет

 

Отсюда получаем уравнение конического сечения.

 

 

4.
4.Момент силы и момент импульса.

Момент силы относительно точки. Момент силы относительно оси. Момент импульса материальной точки и системы материальных точек. Теорема об изменении и сохранении момента импульса системы.

Момент силы и момент импульса.

 

 

J- момент инерции

- некоторая постоянная зависящая от формы

вращающегося тела, m- масса тела, r- радиус вращения, - табличная величина.

=1 (точка)

= (диск)

= (шар)

= (стержень)

5.

Исходя из этих двух уравнений напишем основное уравнение динамики вращательного движения:

или

- основное уравнение динамики вращательного движения.

5.
5.Вращательное движение твердого тела.

Угловые скорость и ускорение и их связь с линейной скоростью и ускорением. Момент инерции материальной точки и твердого тела. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела. Момент инерции стержня. Теорема Штейнера.

 

Вращение твёрдого тела.

Момент силы. Момент импульса.

Момент инерции.

 

Рассмотрим любое твёрдое тело, которое вращается вокруг своей оси.

(угол поворота)

Поворот тела может быть против часовой стрелки и по часовой стрелке.

>0 против часовой стрелки.

<0 почасовой стрелки.

2) (угловая скорость), является вектором.

из формулы видно, что лежит на оси вращения.

 

 

Для абсолютно твёрдых тел величина является постоянной.

 

3) - угловое ускорение

направлен по оси вращения.

 

Если - то тело вращается с замедлением.

Если - то тело ускоряется.

 

 

4) (квадратные скобки обозначают векторное умножение)

 

 

 

5)

- кинетическая энергия вращ. движения тв.тела.

-- теорема Штейнера,
6.
6.Механические колебания и волны.

Примеры гармонических колебаний: масса на пружине, физический маятник, математический маятник. Свободное колебание. Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс. Сложение колебаний с помощью векторной диаграммы. Понятие волнового процесса. Волновое уравнение. Типы волн. Характеристики волн. Продольный эффект Доплера.

Свободные, затухающие и вынужденные колебания.

Свободные колебания.

Согласно второму закону Ньютона

 

- дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний.

 

Решение:

 

S₁, S₂ – корни характеристического уравнения

 

 

 

 

Уравнение

можно привести к виду:

 

Найдём полную энергию колеблющийся точки

 

 

 

так как

 

Затухающие колебания.

Согласно второму закону Ньютона проекция на ось х:

- сила сопротивления среды.

 

 

 

- дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

 

Составим характеристическое уравнение:

 

 

 

 

Рассмотрим случай слабого сопротивления среды.

 

- среда со слабым затуханием.

 

 

 

= A (t) для затухающих колебаний.

 

 

Найдём отношение

- размерность обратно времени.

 

 

 

- степень затухания.

 

 

 

- добротность системы.

 

 

2)

 

 

В данном случае имеют место апериодические колебания (непериодические) из-за того, что l₁, l₂ имеют отрицательные знаки, тогда х уменьшается всегда с увеличением t.

 

Вынужденные колебания.

Для вынужденных колебаний используем второй закон Ньютона в одномерной системе.

 

 

 

 

 

- дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

 

- частное решение, неоднородное уравнение.

 

 

 

 

 

- комплексное число.

- фаза; - модуль комплексного числа.

 

 

 

 

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

 

 

 

Резонанс

 

 

 

 

 

 

 

 

Волновое уравнение. Фазовая и групповая скорости.

У равнение сферической волны — волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записывается как

или

где

 

Физический и математический маятники.

Математический маятник

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

 

Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз a. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:

1) a = mp (m =0, ±1, ±2,...). В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой

 

где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т (рис. 205, а), а знак минус — нечетным значениям т (рис. 205, б). Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой w и амплитудой , совершающимся вдоль прямой (145.3), составляющей с осью х угол j= arctg . В данном случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями;

2) a = (2 m+ 1) (m =0, ± 1, ±2,...). В данном случае уравнение примет вид

 

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 206). Кроме того, если А=В, то эллипс (145.4) вырождается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризо­ванными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

 

 

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые тра­ектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. * Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 207 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху; разность фаз принимается равной j).

 

 

7.

 

7. Движение в неинерциальных системах отсчета.

 

Кинематика относительного движения. Силы инерции. Явления, обусловленные неинерциальностью земной системы отсчета.

Движение в неинерциальной системе отсчета.

V²(t) есть заданная функция времени; она может быть предста­влена как полная производная по t от некоторой другой функции, и потому третий член в написанном выражении может быть опущен.

(

8.
8. Основы релятивистской механики.

Преобразования Галилея и Лоренца. Сокращение длины. Замедление времени, измеряемого движущимися часами. Релятивистская динамика.

 

 

Преобразования Галилея.

Преобразования Лоренца.

Сокращение длины.

Замедление времени.

Релятивистский закон сложения скоростей.

 

 

 

Основной закон релятивистской динамики

Материальной точки.

 

 

Закон взаимосвязи массы и энергии.

Т=(m-m₀)с²

DE=с²Dm.

 

 

Е = m₀с² + Т,

Е₀=m₀с²